Passons au second cas, celui où

Alors, aucun des exposants caractéristiques ne s'annulant pour

sauf les deux qui sont toujours nul, il n'existe pas de solution périodique de période T se confondant avec la première pour

Mais en revanche, en vertu des principes du Chapitre XXVIII, il existe des solutions périodiques du deuxième genre, de période aT, qui, pour p. ^ o, se confondent avec la solution donnée dont la période est T.

Que dirons-nous de leur stabilité? Pour u. >> o, nous aurons par exemple une solution stable de période T qui deviendra instable pour jji << o.

Pour a >o, soient p' et p" le nombre des solutions stables et celui des solutions instables qui admettent la période 2T sans admettre la période T. Soient q' et q" les nombres correspondants pour jj. <; o.

Considérant alors toutes les solutions de période 2T, qu'elles admettent ou non la période T, et leur appliquant les principes du n" 378, je reconnaîtrai que je puis faire au sujet de ces quatre nombre les trois hypothèses suivantes :

Mais si l'on se reporte aux principes du Chapitre XXVIII on verra que ces quatre nombres ne peuvent pas prendre toutes les valeurs compatibles avec les trois hypothèses. On trouvera au n° 335 l'étude des cas les plus simples et les plus fréquents.

Application aux orbites de Darwin.

381. Dans le Tome XXI des Acta mathematica, M. G.- H. Darwin a étudié en détail certaines sohitions périodiques. Il se place dans les hypothèses du n° 9 et considère une planète troublante qu'il appelle Jupiter et à laquelle il attribue une masse dix fois plus petite que celle du Soleil. Cette planète fictive décrit autour du Soleil une orbite circulaire, et une petite planète troublée de niasse nulle se meut dans le plan de cette orbite.

Il a reconnu ainsi l'existence de certaines solutions périodiques qui rentrent dans celles que j'ai appelées de première sorte et dont il a fait une étude détaillée. Ces orbites sont rapportées à des axes mobiles, tournant autour du Soleil avec la même vitesse angulaire que Jupiter; dans le mouvement relatif par rapport î\ ces axes mobiles, ces orbites sont des courbes fermées.

La première classe d'orbites périodiques est celle que M. Darwin appelle celle des planètes A. L'orbite est une courbe fermée entourant le Soleil, mais n'entourant pas Jupiter. L'orbite est stable quand la constante de Jacobi est plus grande que Sg et instable dans le cas contraire. L'instabilité correspond à un exposant

^ > ■ ^- ^ .... ITT

caractéristique ayant pour partie imaginaire -^r*

Donc pour les valeurs de la constante de Jacobi voisines de Sp, il existe des solutions périodiques de deuxième genre dont la période est double.

L'orbite correspondante sera une courbe fermée avec un point double faisant deux fois le tour du Soleil. Les deux boucles de cette courbe sont très peu différentes l'une de l'autre et toutes deux peu différentes d'un cercle.

Nous étudierons plus loin, plus en détail, ces solutions du deuxième genre.

M. Darwin a trouvé également des satellites oscillants qu'il appelle a et 6 et qui sont ceux dont nous avons parlé au n° 52. Us sont toujours instables.

Enfin, il a trouvé des satellites proprement dits qui, par rap-

port au sjstème d'axes mobiles envisagés, décrivent des courbes fermées entourant Jupiter, mais n'entourant pas le Soleil.

Pour C = 4o (G est la constante de Jacobi), on n'a qu'un satellite A qui est stable. Pour 0 = 89, 5, le satellite A est devenu instable avec un exposant a réel; mais nous avons deux satellites nouveaux B et C, le second stable, le premier instable avec un exposant a réel. Pour 0 = 89, on retrouve le même résultat; pour C = 38,5, le satellite C est devenu instable avec un exposant a complexe (dont la partie imaginaire est -7^' ); enfin, pour

C= 38, on retrouve le même résultat.

Nous avons donc à envisager trois passages :

1° Le passage du satellite A de la stabilité à l'instabilité;

2° L'apparition des satellites B et C;

3° Le passage du satellite C de la stabilité à l'instabilité.

Les deux derniers passages ne soulèvent aucune difficulté.

Nous voyons apparaître simultanément deux solutions périodiques B et C d'abord très peu différentes l'une de l'autre; l'une est stable et l'autre instable; l'exposant a pour la solution instable est réel. Tout cela est conforme aux conclusions du n" 378.

Le passage de la stabilité à l'instabilité du satellite G ne soulève pas non plus de difficulté; car l'exposant a dans le cas de l'instabilité est complexe; on se trouve donc dans les conditions du n° 380. Il existe donc des solutions périodiques du deuxième genre, correspondant à des courbes fermées faisant deux fois le tour de Jupiter.

382. En revanche, le passage du satellite A de la stabilité à l'instabilité présente de grandes difficultés puisque dans le cas de l'instabilité, l'exposant a est réel. Il devrait donc j avoir, d'après le n° 378, échange de stabilité, avec d'autres solutions périodiques correspondant à des courbes fermées faisant une seule fois le tour de Jupiter. C'est ce qui ne parait pas résulter des calculs de Darwin.

On est naturellement conduit à penser que les satellites A instables découverts par Darwin ne sont pas la continuation analytique de ses satellites A stables.

D'autres considérations conduisent au même résultat.

Les satellites A stables ont pour orbites des courbes fermées ordinaires; les satellites A instables ont des orbites en forme de huit.

Comment aurait-on pu passer d'un cas à l'autre? Ce ne peut être que par une courbe présentant un point de rebroussement; mais au point de rebroussement la vitesse devrait être nulle, et, par raison de symétrie, ce point de rebroussement ne pourrait se trouver que sur l'axe des x\ il ne peut être entre le Soleil et Jupiter. Eu effet, dans \'d. jig. i, Darwin donne les courbes de vitesse nulle; pour C > 4O5 185 ces courbes coupent l'axe des x entre le Soleil et Jupiter; mais cela n'a plus lieu pour C <C 40i i^ et le passage a lieu entre C = l\o et C -=: 89, 5.

Il reste Ihypothèse que le point de rebroussement se trouve au delà de Jupiter; mais celle-là non plus n'est pas satisfaisante. Comparons les deux orbites correspondant à C= 4o 6t à C=39,5; la première coupe deux fois l'axe des x à angle droit, une fois au delà de Jupiter, une fois en deçà; soient P et O les deux points d'intersection ; de même, la seconde orbite, si on laisse de côté le point double, coupe deux fois l'axe des x à angle droit, une fois au delà et une fois en deçà de Jupiter; soient P' et Q' les deux points d'intersection. Considérons le point d'intersection P ou P'

qui est au delà de Jupiter et vojons le signe de -^; nous verrons

que pour une orJDJte comme pour l'autre ce signe est positif.

Or -^ aurait dû changer de signe au moment du passage par le

point de rebroussement.

Le point P, le point de rebroussement hypothétique, et le point P' ne peuvent donc pas être regardés comme la continuation analytique l'un de l'autre. Il faudrait alors supposer qu'à un moment donné, il y a eu échange entre les deux points d'intersection de l'orbite du satellite A et de l'axe des x, celui qui est à droite passant à gauche et inversement. Rien dans l'allure des courbes construites par M. Darwin n'autorise une semblable supposition.

Donc, je conclus que les satellites A instables ne sont pas la continuation analj'tique des satellites A stables. Mais alors que sont devenus les satellites A stables?

PROPRIETES DES SOLUTIONS DU DEUXIEME GENRE. J3a

Sur ce point, je ne puis faire que des hypothèses et, pour pouvoir faire autre chose, il faudrait reprendre les quadratures mécaniques de M. Darwin. Mais si l'on examine l'allure des courbes, il semble qu'à un certain moment l'orbite du satellite A a dû passer par Jupiter et qu'ensuite il est devenu ce que M. Darwin appelle un satellite oscillant.

383. Etudions de plus près les planètes A et le passage de ces planètes de la stabilité à l'instabilité.

Les orbites de ces planètes correspondent à ce que nous avons appelé solutions périodiques de la première, sorte (n° 40). L'orbite à point double qui fait deux fois le tour du Soleil et qui diffère peu de celle de la planète A au moment où l'orbite de cette planète vient de devenir instable; cette orbite à point double, dis-je, correspond à ce que nous avons appelé solutions périodiques de la deuxième sorte (47).

Et, en effet, si l'on applique aux solutions de la première sorte le procédé par lequel nous avons déduit les solutions périodiques du deuxième genre de celles du premier genre, on retombe précisément sur les solutions de la deuxième sorte.

Dans les solutions de la deuxième sorte, les moyens mouvements anomalistiques, peu différents des moyens mouvements proprement dits, sont dans un rapport commensurable. Nous devons donc nous attendre à ce que pour notre solution de la deuxième sorte (et, par conséquent, pour la planète A au moment du passage de la stabilité à l'instabilité), le rapport des moj'cns mouvements soit voisin d'un nombre commensurable simple et même ici, puisque l'orbite doit faire deux fois le tour du Soleil, il sera voisin d'un multiple de r.

En d'autres termes, au moment du passage, la quantité que M. Darwin appelle nï, doit être voisine d'un multiple de tî.

C'est, en effet, ce qui arrive; les tableaux de M. Dai^win nous donnent

G = 4o A stable, «T = i34°,

G = 39,5 A stable, «T = i6:j°,

G = 39 A instable, nT = 177",

G = 38,5 A instable, «T = igi°.

On voit que le passage a dû se faire environ pour nT = i-o", et ce nombre est voisin de i8o°.

Le mojen mouvement de la planète A est donc à peu près trois fois celui de Jupiter.

On pourrait songer à appliquer à l'étude de ces solutions de la deuxième sorte les principes du Chapitre XXX; mais on rencontrerait des difficultés parce qu'on se trouve dans un cas d'exception. Il vaut mieux reprendre celte élude directement.