Xi^ l — ff^ t, 1fi= / -T-ff~-f
F' = R-h G = Fo-h [^Fi-^...,
p ^ 2 ^ X^—Ti
La quantité L doit être de même signe que G {Cf. p. 200, in fine^ et l'excentricité très petite; comme x^ est de l'ordre du carré de l'excentricité, cette variable sera également très petite.
Comme il ne s'agit que de déterminer le nombre des solutions périodiques et leur stabilité, nous pouvons nous contenter d'une approximation.
Nous négligerons donc u-Fo et les termes suivants. Dans le terme piF| , nous ne tiendrons compte que des termes séculaires et des termes à très longue période et nous négligerons, en outre, les puissances supérieures de x^. Nous aurons ainsi
Fi = a -4- 6a7i -f- ca'i cosoj,
OÙ a, b, c sont des fonctions de x^ seulement et où cx^cono esl le terme à très longue période conservé.
Les termes à très longue période sont les termes en l-h?) g — 3^, c'est-à-dire les termes en ly^ — y\ ] nous avons donc
w = 472 — 271- Il vient alors
O ^rt ^,
F'= 1 — H- a(a + ôa-i -t- cj:-iC0sw)
et nous pouvons appliquer la méthode de Delaunay.
Les équations canoniques admettent l'intégrale
d'où
F = \ h ii.(a -i- oxy-i- cxicosià).
Avecrapproximation adoptée, nous pouvons remplacer «, 6, c par
«0 — '2Xla^j, Oç), Cq,
en désignant par ciq, a„, Oo, Cq ce que deviennent a, -^^ ù, c quand on y remplace x-y par k.
Ainsi
désignent des constantes dépendant de k et nous avons
F = — ; i i- ui(a -!- pxi-i- yxi cosw).
Heeardons A- comme une constante; v/x, cos-? \,'x,^ sin— comme
les coordonnées rectangulaires d'un point dans un plan et construisons la courbe
C désignant une seconde constante.
Cette courbe dépend ainsi des deux constantes k et C. Si elle présente un point double, ce point double correspondra à une solution périodique, qui sera stable si les deux tangentes au point double sont imaginaires, et instable si les deux tangentes sont réelles.
Observons que la courbe est symétrique par rapport aux deux axes de coordonnées et que deux points doubles symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine ne correspondent pas à deux solutions périodiques véritablement distinctes.
Les points doubles ne peuvent se trouver que sur l'un des axes de coordonnées, de telle sorte qu'on les trouvera tous en faisant
Si l'on fait
co =
la courbe F' = G passe par l'origine et y présente un point double. Les tangentes au point double sont données par l'équation
-/^i — '^ I-i? -^ M-T cosw = o.
Si donc
les tangentes sont imaginaires. Si
les tangentes sont réelles. Si enfin
les tangentes sont de nouveau imaginaires.
Le coefficient [i est positif; j'ai écrit les inégalités précédentes en supposant aussi y positif. Si v était négatif, on n'aurait d'ailleurs qu'à changer o) en to + tz.
he point double à l'origine correspond à la solution de la première sorte, c'est-à-dire à la planète A de M. Darwin. On voit que cette solution est stable quand les inégalités (i) ou (3) ont lieu et instable quand les inégalités (2) ont lieu.
Etudions maintenant les points doubles qui peuvent se trouver sur la droite (0 = 0.
Si l'on fait co r= o, la fonction F' devient
(4) F'=-^^— ^^-'^iH-î.a+..^,(P-hv)=G.
Si, laissant k constant, on fait varier ^, depuis o jusqu'à /.-, on voit que les maxima et minima de F' sont donnés par l'équation
laquelle admet une solution si l'inégalité (3) a lieu et n'en admet pas dans le cas conti^aire.
Si donc l'inégalité (3) n'a pas lieu, la fonction F' est constamment décroissante si elle a lieu ; la fonction F' d'abord croissante atteint un maximum et décroît ensuite.
PROPRIÉTÉS DES SOLUTIOAS DU DEUXIÈME GENRK. oâÇ)
Ce maximum correspond à un point double situé sur la droite w = o, ou plutôt à deux points doubles symétriques par rapport à l'origine.
Mais il nous faut chercher combien nous trouvons de ces points doubles pour une valeur donnée de la constante C; l'équation (5) nous donne x^ en fonction de k; il faut en déduire .r, en fonction deC.
Or les équations (4) et (5) peuvent s'écrire
t — L, — — — o dxi
d'où
^G ^ , dV dk^ dV^ dJc dxi dxi dk dxi dk dx^ d'-F' , d'-F' dk dx\ dk dxi dxi
Or on a, en négligeant les termes en [j.,
d'où
dF'
dk
dF'
dF'
dk ~ ^'
dk dxi
d-^F' dx\
rf2F' T2
dx'f {k — Xi )
^-il
dk
dC
dxi
dxi
d'où
d'où il résulte que x^ est une fonction constamment décroissante de C.
Donc pour une valeur de C, nous avons seulement au plus un maximum, c'est-à-dire que nous avons au plus deux points doubles symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine sur la droite co = o.
Soit donc Go la valeur de (] qui satisfait à la double égalité
Co
3Go CHAPITRE XXXI.
nous verrons que, pour C >> Cq, il n'y aura pas de point double sur la droite (o = o et que, pour G -< Cq, il y en aura deux.
La même discussion est applicable au cas des points doubles situés sur la droite to = 7:. Les valeurs de Xi seront données par l'équation
laquelle admet une solution si les inégalités (2) ou (3) ont lieu. Si alors Ci est la valeur de C qui satisfait à la double égalité
-a(P-Y) = o, la condition pour qu'il existe deux points doubles sur la droite
c'est que C <C G, .
INous remarquerons que Gj >> Gq ; que Go est la valeur de G pour laquelle on passe de l'inégalité (a) à l'inégalité (3) et que (j, est celle pour laquelle on passe de l'inégalité (i) à l'inég-alité (2).
D'ailleurs en construisant les courbes, on reconnaît aisément que pour les points doubles situés sur (0=0 les tangentes sont réelles et que, pour les points doubles situés sur oj = 71, elles sont imaginaires.
Nous pouvons donc résumer nos résultats comme il suit :
Premier cas
C>Ci.
L'inégalité (1) a lieu.
La solution de la première sorte (planète A) est stable. Il n'y a pas de solution de la deuxième sorte (orbite à point double).
Deuxième cas
Cl > G > Cq.
Les inégalités (2) ont lieu.
La solution de la première sorte est devenue instable.
Il y a une solution de la deuxième sorte qui est stable.
PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE. 36l
Troisième cas
C<Co.
L'inégalilé (3) a lieu.
La solution de la preinièie sorte est redevenue stable.
Il y a deux solutions de la deuxième sorte, Tune stable et l'autre instable : la première correspondant aux deux points doubles situés sur la droite w := -, et la seconde aux deux points doubles situés sur la droite oj = o.
Ces conclusions sont vraies pourvu que p. soit suffisamment
petit; la valeur adoptée par M. Darwin, jj. = — 5 est-elle suffisamment petite?
Je ne l'ai pas vérifié, mais cela semble très probable.
Il est donc vraisemblable que, si M. Darwin avait continué l'étude des planètes A pour des valeurs de C plus petites que 38, il aurait retrouvé des orbites stables.
362 CHAPITUE XXXII.
