Reprenons les équations du n

avec p degrés de liberté. D'après ce que nous avons vu au n° 42, ces équations admettront des solutions périodiques telles que. quand t augmente de la période T, les variables jK), r^-, • • • ? JK/j augmentent respectivement de

Les entiers A| , A":>, . . . , /cp peuvent être quelconques .

Mais cela n'est vrai que si le hessien de Fq par rapport aux x n'est pas nul. La démonstration du n" 42 est en défaut, quand ce hessien est nul, et en particulier quand Fo ne dépend pas de toutes les variables x.

Or, c'est précisément ce qui ai'rive dans le problème des trois corps. Je rappelle que jKi, .Xa ; y-i-, y^'-, y^-i jKc représentent alors respectivement les longitudes moyennes des planètes, celles des périhélies et celles des nœuds, et que Fq déjDend seulement des deux premières variables x^ et X2 qui sont proportionnelles aux racines carrées des grands axes.

Considérons alors une solution périodique; d'après les conventions faites, une solution sera regardée comme périodique pourvu que les différences des jk a^gn^entent de multiples de 271, quand / augmente d'une période, et en effet F ne dépend que de ces différences.

Soient donc

a/iiTL, aA-oTT, a/i'sTT, 2/14-, 2/1571

les quantités dont augmentent

ri—7&, r-i—y&- ys—js, y^—yo, js— jg,

quand t augmente d'une période.

Tout ce que nous avons pu établir au Chapitre III, c'est qu'il existe des solutions périodiques correspondant à des valeurs quelconques de A-, et A";,, J7iais en supposant A's, kr, et A5 nuls.

On peut se demander s'il existe encore ici, comme dans le cas général, des solutions périodiques correspondant à des valeurs quelconques des cinq entiers A", solutions que je pourrai appeler de deuxième espèce.

386. Ces solutions de deuxième espèce existent-elles? On sera tout d'abord tenté de répondre affirmativement, en s'appujant sur des raisons de continuité et en réfléchissant qu'il suffit de modifier très peu la forme de la fonction F pour retomber sur des équations canoniques auxquelles s'appliquent les raisonnements du n° 42.

Mais alors une difficulté se présente : que deviennent ces solutions quand on annule la quantité que nous avons appelée [x et qui est proportionnelle aux masses perturbatrices?

Si les masses perturbatrices sont nulles, les deux planètes suivent les lois de Kepler; les périhélies et les nœuds sont fixes, de sorte que les nombres A'g, A/, et A 5 ne peuvent avoir, semble-t-il, d'autre valeur que zéro.

Voici comment celle difficulté peut être résolue. Si les masses sont infiniment petites, les deux planètes suivront les lois de Kepler, à moins que leur distance ne devienne elle-même à certains moments infiniment petite.

Supposons, en effet, que les deux planètes, d'abord très éloignées l'une de l'autre, décrivent l'une et l'autre une ellipse képlérienne. Il pourra arriver que ces deux ellipses se rencontrent, ou passent très près l'une de l'autre, et cela de telle façon qu'à un certain moment la distance des deux planètes devienne très petite; à ce moment, leur action perturbatrice mutuelle pourra devenir sensible et les deux orbites subiront des perturbations importantes. Puis les planètes, s'étant de nouveau éloignées l'une de Tautre, décriront de nouveau des ellipses képlériennes.

364 CHAPITRE XXXIl.

Seulement ces nouvelles ellipses différeront beaucoup des anciennes; les périhélies et les nœuds auront subi des variations considérables.

Je désignerai sous le nom de clioc ce phénomène, bien qu'il ne s'agisse pas d'un choc au sens propre du mot, puisque les deux planètes ne viennent pas au contact et qu'il suffit que leur distance devienne assez petite pour que l'attraction soit sensible malgré la petitesse des masses.

Quoi qu'il en soit, si l'on tient compte de ces orbites avec chocs, il n'est plus vrai de dire que, pour ]j. =: o, les périhélies et les nœuds sont fixes et que, par conséquent, les nombres A3, A"., et k^i doivent être nuls.

Nous sommes ainsi conduits à penser que les solutions de deuxième espèce existent et que, si l'on fait tendre ]x vers zéro, elles tendent à se réduire à des orbites avec une série de chocs. Mais cet aperçu ne saurait suffire et un examen plus approfondi est nécessaire.

387. Rendons-nous compte d'abord de l'effet d'un choc; soient E et E' les ellipses décrites par la première planète avant et après le choc; soient E, et E', les ellipses décrites par la seconde planète. Il est clair que ces quatre ellipses doivent se couper en un même point et de telle façon que les deux planètes en décrivant ces quatre orbites passent au point de rencontre à l'instant du choc.

En effet, tant que leur distance est sensible, les deux planètes décrivent des courbes peu différentes d'une ellipse; pendant le temps très court où leur distance est très petite, elles décrivent au contraire des orbites très différentes d'une ellipse. Ces orbites se réduisent à de petits arcs de courbe G de rayon de courbure très petit et très peu différents d'arcs d'hjperbole. A la limite, le temps très court du choc se réduit à un instant; les petits arcs G se réduisent à un point et l'orbite, se réduisant à deux arcs d'ellipse, présente un point anguleux.

Pour achever de définir les orbites E, E', E,, E', , il faut connaître en grandeur et en direction les vitesses des deux planètes P et P, avant et après le choc. Quelles relations j a-t-il entre ces vitesses? J'observe d'abord que la vitesse du centre de gravité des

deux corps P et P| doil être la même avant et après le choc et cela tant en grandeur qu'en direction.

Considérons maintenant la vitesse relative de P par rapport à P,, cette vitesse devra être la même en grandeur avant et après le choc; mais elle pourra différer en direction.

Voici la règle pour déterminer la direction de cette vitesse après le choc.

Considérons des axes mobiles dont l'origine est en P, , et considérons une droite AB qvii représente en grandeur et direction la vitesse relative de P par rapport à P, avant le choc. Cette droite AB doit passer par le point P,, jjuisque le corps qui est animé de la vitesse qu'elle représente doit venir choquer le point P, , fixe par rapport à nos. axes mobiles. Mais cela n'est vrai qu'à la limite, cela n'est vrai que parce que nous regardons comme des infiniment petits les masses d'une part, et d'autre part la distance à laquelle l'attraction mutuelle de P et P, commence à se faire sentir, c'est-à-dire ce qu'on pourrait appeler le rayon d'action. Il serait donc plus exact de dire que la distance ô de P, à la droite AB est un infiniment petit du même ordre que le rayon d'action.

Soit maintenant A'B' la droite qui représente la vitesse relative de P par rapport à P< après le choc; A'B' est égale en grandeur à AB et la distance de P, à A'B' est égale à o.

Voici enfin la règle pour déterminer la direction de A'B'. Le point P) et les deux droites AB et A'B' sont dans un même plan (à des infiniment petits près d'ordre supérieur); l'angle de AB et de A'B', est déterminé comme il suit : la tangente de la moitié de cet angle est proportionnelle à o et au carré de la longueur de AB.

On voit ainsi que la direction de A'B' peut être quelconque.

Les seules conditions auxquelles sont assujetties nos quatre vitesses sont donc les suivantes : permanence de la vitesse du centre de gravité en grandeur et en direction; permanence de la vitesse relative en grandeur seulement. Ces conditions peuvent encore s'énoncer ainsi :

La force vive et les constantes des aires ne doivent pas être altérées par le choc.

388. Cherchons à construire les orbites avec chocs qui sont les

limites vers lesquelles tendent les solutions de deuxième espèce quand [j. tend vers zéro.

J'observe d'abord que pour qu'une semblable orbite soit périodique, il faut supposer au moins deux chocs. Supposons d'abord que deux chocs consécutifs n'aient jamais lieu au même point. Soient donc E et E, les ellipses décrites par les planètes P et P| dans l'intervalle de deux chocs consécutifs. Ces deux ellipses devront se couper en deux points et, comme elles ont un foyer commun, elles sont dans un même plan, à moins que les deux points d'intersection et le foyer ne soient en ligne droite.

Supposons-nous placés dans ce cas d'exception; soient Q et Q' les deux points d'intersection des ellipses E et E| que je ne suppose pas dans le même plan; ces deux points sont en ligne droite avec le foyer F; soient E et E', les ellipses décrites par les deux planètes après le choc. Elles passeront par le point Q, où le choc vient de se produire, et elles ne seront pas en général dans un même plan; leurs plans se couperont suivant la droite FQ, de sorte que leur second point d'intersection (qui doit exister si deux chocs consécutifs n'ont jamais lieu au même point) se trouvera sur cette droite FQ. J'ajoute que les deux ellipses E et E, auront même paramètre. En effet, les points F, Q et Q' étant en ligne droite, l'inverse du paramètre de l'ellipse E ou de l'ellipse E,

sera

2FQ ' 2FQ'

Cela posé, voici comment il conviendra d'opérer. Supposons quatre chocs pour fixer les idées; soient Q,, Qo, Q3, Q4 les points où ont lieu ces quatre chocs.

Nous pouvons nous donner arbitrairement ces quatre points, pourvu, bien entendu, qu'ils soient sur une même droite passant par F.

Nous devons construire deux ellij)ses E et E, se coupant en Q, et Qo, deux ellipses E' et E'^ se coupant en Qo et Q3, deux autres E" et E'I se coupant en Q3 et Q4 ; deux autres enfin, E'" et E'j' se coupant en Q^ et Q, .

L'orbite de P se compose d'arcs appartenant aux quatre ellipses E, E', E", E'" et celle de P, d'arcs appartenant aux quatre ellipses

Nous nous donnerons arbitrairement la constante des forces

vives et celles des aires; ces constantes devront être les mêmes pour l'intervalle entre les deux premiers chocs (orbites E et E^) pour l'intervalle suivant et pour tous les autres intervalles; c'est d'api'ès le numéro précédent la seule condition que nous ayons à remplir.

Pour construire E et E,, voici comment nous procéderons : envisageons le mouvement des trois corps; comme nous supposons a = 0, ce mouvement est képlérien et le corps central peut être regardé comme fixe en F. Nous connaissons la force vive totale du système. Les deux planètes P et Pi doivent partir simultanément du point Qj pour arriver siniidtanément au point Qo. Quand P et P, vont de Qi à Qo, la longitude vraie de P augmenle de [im + 1)71: et celle de P< augmente de (a/??, + i)-rr. Nous pouvons encore nous donner arbitrairement les deux entiers m et m,. Le problème est alors entièrement déterminé; il importe de remarquer que l'inclinaison des orbites n'y intervient pas : on peut, pour le résoudre, supposer le mouvement plan. Le problème peut toujours être résolu; il suffît, en effet, d'appliquer le principe de Maupertuis et l'action maupertuisienne, essentiellement positive, a toujours un minimum.

Il reste à déterminer les plans des deux ellipses. Nous connaissons les constantes des aires; nous connaissons donc le plan invariable qui passe par la droite FQiQo; la vitesse aréolaire du système est représentée par un vecteur perpendiculaire au plan invariable et qui nous est connu en grandeur et en direction; il est la somme géométrique des vitesses aréolaires des deux planètes, représentées par deux vecteurs qui nous sont connus en grandeur puisqu'ils sont respectivement égaux à mp et m\p, m çXnii étant les masses des deux planètes et/? le paramètre commun des deux ellipses EetE,. Nous pouvons donc construire les directions de ces deux vecteurs composants qui sont perpendiculaires respectivement au plan de E et à celui de E,.

On déterminerait de même E' et E', , E" et E'^, ....

389. Supposons maintenant que tous les chocs successifs aient lieu en un même point Q. La période sera divisée en autant d'intervalles qu'il y aura de chocs; envisageons l'un de ces intervalles pendant lequel les deux planètes déci^ivent les deux ellipses E

et E, . INous nous donnons, comme dans le numéro précédent, les constantes des forces vives et des aires qui doivent être les mêmes pour tous les intervalles et il s'agit de construire E et E).

Supposons que, pendant l'intervalle envisagé, la planète P ait fait m, et que la planète P, ait fait in^ révolutions complètes; nous pourrons nous donner arbitrairement les deux entiers m et nii. Connaissant ces deux entiers nous connaîtrons le rapport des grands axes, et comme nous connaissons, d'autre part, la constante des forces vives, nous connaîtrons les grands axes euxmêmes.

Nous connaissons, d'autre part, les constantes des aires et, par conséquent, le vecteur qui représente la vitesse aréolaire du système. Ce vecteur peut être décomposé d'une infinité de manières en deux vecteurs composants représentant les vitesses aréolaires de P et Pf Nous nous donnerons arbitrairement cette décomposition. Connaissant ces deux vecteurs composants nous connaîtrons les plans des deux ellipses et leurs paramètres. Il reste à connaître l'orientation de chacune des ellipses dans son plan \ nous la déterminerons de façon à faire passer l'ellipse par le point Q.

En résumé nous avons pu choisir arbitrairement :

i" Le point Q et le nombre des intervalles;

2° Pour tous les intervalles, la constante des forces vives et celle des aires;

3° Pour chaque intervalle, les entiers m et /??, et la décomposition du vecteur aréolaire.

Pour que le problème soit possible, ces arbitraires doivent cependant satisfaire à certaines inégalités que je n'écrirai pas.

390. Laissons de côté ces cas exceptionnels, où tous les chocs ont lieu sur une même droite ou en un même point, et passons au cas du mouvement plan. Soient Q,, Qo, . . . , les points où se font les chocs successifs; nous nous donnerons arbitrairement la constante des forces vives et celle des aires qui devront être les mêmes pour tous les intervalles.

Considérons l'un des intervalles, par exemple celui où les deux planètes vont de Q) en Qo. Nous nous donnerons arbitrairement les grandeurs des deux rayons vecteurs FQ, et FQo, mais non pas l'angle de ces deux rayons vecteurs, ni la durée de l'intervalle.

SOLUTIONS PÉRIODIQUES DE DEUXIÈME ESPÈCE. SCg

Nous savons que dans cet intei^valle, la différence de longitude des deux planètes a augmenté de2mTz. Nous nous donnerons arbitrairement l'entier m.

Connaissant cet entier, les deux longueurs FQi et FQ^, les deux constantes des forces vives et des aires, nous avons tout ce qu'il faut pour déterminer les orbites E et E,. Cela revient à appliquer le principe de Maupertuis, mais en définissant l'action hamiltonienne comme au n° 339 et en en déduisant l'action maupertuisienne par le procédé, des n"^ 336 et 337. Malheureusement cette action maupertuisienne n'étant pas toujours positive, on n'est pas certain qu'elle ait toujours un minimum.

En résumé nous pouvons choisir arbitrairement :

1° Le nombre des intervalles et les longueurs FQ,, FQo. . . .;

2° Les constantes des aires et des forces vives;

3° Pour chaque intervalle, l'entier m.

Les orbites à chocs ainsi obtenues sont toutes planes; parmi les orbites périodiques de deuxième espèce qui se réduisent à ces orbites à chocs pour u. = o, il y en a certainement qui sont planes ; il est possible également qu'il y en ait qui ne soient pas planes pour [j. >> o et ne le deviennent qu'à la limite.

391. Voyons maintenant comment on peut démontrer l'existence des solutions périodiques de deuxième espèce qui se réduisent à la limite aux orbites à chocs que nous venons de construire.

Considérons l'une des orbites à chocs et soit tç, un instant antérieur au premier choc et ^, un instant compris entre le premier et le second choc. Soit de même ?2 ^^^ instant compris entre le second et le troisième choc. Je suppose pour fixer les idées qu'il j ait trois chocs et j'appelle T la période de telle façon qu'à l'instant Iq -\-T les trois corps se trouvent dans la même situation relative qu'à l'instant ^o-

Je prends pour variables les grands axes, les inclinaisons et les excentricités, et les différences des longitudes moyennes, des longitudes des périhélies et des nœuds ; soit en tout onze variables, de telle façon que l'orbite soit regardée comme périodique si les trois corps se retrouvent dans la même situation relative à la fin de la péi'iode.

Soient x\^ x\^ . . . , x?, les valeurs de ces variables à l'instant ^o

370 ' CHAPITRE xxxn.

pour l'orbite à chocs envisagée et par conséquent pour jj. = o ; soient a;}, les valeurs de ces variables à l'instant f, pour cette même orbite à chocs, xj leurs valeurs à l'instant ^o et x' leurs valeurs à l'instant ^o + T. On aura

xf = a-? -+- iniiT.

iHi étant un entier qui devra être nul en ce qui concerne les grands axes, les excentricités et les inclinaisons.

Considérons maintenant une orbite peu différente de l'orbite à chocs, et donnons à li. une valeur très petite quoique différente de zéro. Dans cette nouvelle orbite, nos variables prendront les valeurs x^ -\- [3° à l'instant t^^ x\ + [3/ à l'instaut ^,, ^ • h- [3j à l'instant t~ et enfin x] + [i? à l'instant ^o + T + 7.

La condition pour que la solution soit périodique de période T H- -ï c'est

R? — PO ?i — Hi •

Pour qu'en supposant [j. = o un choc se produise entre l'instant t^ et l'instant ^,, les variables {3" doivent satisfaire à deux conditions.

Soient

ces deux conditions.

Posons

/i(p?)=Tîi^' /2(p°)=ïi[^; n=r, (A-=3,4, •••, II);

on voit que les (3^? sont des fonctions holomorphes des y" et de [jl; en applicpiant les principes du Chapitre II on démontrerait qu'il en est de même des [3] .

Pour qu'il y ait un choc entre les instants t^ et t^ (en supposant [j. = o) il faut deux conditions que j'écris

Remplaçant dans les relations (i) les [3j par leurs valeurs en fonction des y^^ et de ]x et faisant ensuite [j. = o, je trouve

Posons alors

ei(T«)=TÎt^, e,(YO)=Yli.; p| = y^ (/: =3, . . ., 1 1 ) ;

je verrais que les ,3^- et les [^? sont des fonctions holoniorphes des yj et de ix.; il en est de même des y" et par conséquent des ^^.

Enfin, pour qu'il y ait un choc entre les instants ?o et t^-^-Tx, il faut deux conditions que j'écris

En y remplaçant les ^'j par leurs valeurs en fonction des y^' et de [j. et faisant ensuite a=z o, elles deviennent

Je pose

'1i(t/)= TiM-» ■'i2(Y-)=Tl[^. P|-=T| (/^ = 3, ..., Il)

et je vois encore que les ^1, les ^l, les ^J sont fonctions holoniorphes des yj et de [j. ; de même les (3? sont fonctions holornorphes des y^- , de [j. et de -z.

Les relations [ij = [3" sont donc des égalités dont les deux membres sont holomorphes par rapport aux y?, à pi et à t. La discussion de ces équations se ferait comme au Chapitre IIL Elle démontrerait l'existence des solutions de deuxième espèce.

Je ne crois pas devoir insister davantage, car ces solutions s'écartent trop des orbites réellement parcourues par les corps célestes.

372 CHAPITUE XXKIII.

Modes divers de représentation géométrique.

392. Pour l'étude des solutions doublement asjmplotiques, nous allons nous borner à un cas très particulier, celui du n° 9, masse de Ja planète troublée nulle, orbite de la planète troublante circulaire, inclinaisons nulles. Le problème des trois corps admet alors l'intégrale bien connue sous le nom à' intégrale de Jacobi.

Revenant au n" 299 sur l'étude de ce problème du n° 9, nous avons été amenés à distinguer plusieurs cas. Nous avons vu à la page i58 que l'on doit avoir l'inégalité

Nous avons distingué ensuite le cas où m^ est beaucoup plus petit que m^ et où — h est suffisamment grand (p. 1^9) et nous avons vu que la courbe

se décompose en trois branches fermées que nous avons appelées C,, G2 et C3; donc, en vertu de l'inégalité ( i ), le point i, t) doit rester toujours à l'intérieur de C|, ou toujours à l'intérieur de Co, ou toujours à l'extérieur de C3 (i, 'r\ sont les coordonnées rectangulaires de la planète troublée par rapport aux axes mobiles).

Dans ce qui va suivre, nous supposerons que la valeur de la constante — h est assez grande pour que la courbe (2) se décompose ainsi en trois branches fermées et que le point ^, 'r\ reste toujours à l'intérieur de Co. De cette façon, la distance ro de la

SOLUTIONS DOUBLEMENT A S YM PTOT I Q U ES. 3y3

planète troublée au corps central peut s'annuler, mais il n'en est pas de même de la distance /*, des deux planètes.

Cette hypothèse correspond à la suivante que nous avons faite aux pages 198 et 199; à savoir que la courbe F=C présente l'aspect de la /?o-. 9 et que le point a:^ , X2 reste sur l'arc utile AB.

Nous allons adopter les notations du n° 313; nous introduirons donc les variables képlériennes L, G, /, g\ Mais il y a deux manières de définir ces variables képlériennes. Nous pourrions, comme au n° 9, rapporter le corps troublé au centre de gravité du corps troublant et du corps central, et envisager l'ellipse osculatrice décrite autour de ce centre de gravité. Mais il est préférable de rapporter le corps troublé au corps central lui-même et d'envisager l'ellipse osculatrice décrite autour de ce corps central.

Ces deux procédés sont également légitimes; nous avons vu en effet au n° 11 que l'on peut rapporter le corps B au corps A et le corps G au centre de gravité de A et de B. Il est clair qu'on pourrait également rapporter G à A et B au centre de gravité de A et G. Si A représente le corps central, B le corps troublant et G le corps troublé, on voit que la première solution est celle qui a été adoptée au n° 9 et que dans la seconde solution, que nous adopterons désormais, les deux corps B et G sont rapportés tous deux au corps central, puisque, la masse de G étant nulle, le centre de gravité de A et de G est en A.

Tl vient alors

K' R . p \/' — [-^ , p , i-t y/j — iJ- jj- , „, .

V = ii H- (j -— — n (jr H ; ( ' I — I — ''2 )

OÙ ij. et 1 — y. désignent les masses du corps troublant et du corps central, r^ la distance des deux planètes, i la distance constante du corps troublant au corps central, i\ celle du corps troublé au corps central.

Nous poserons, comme au n° 313,

.ri=L — G, ,r2=L-}-G,

2Ji = / — ^ + ^ 2 j2 =i^ g — t\

F'=Fo+[..F„ Fo=4,, +0= ^ ^flZl^.

2L- (^Ti + a^'a)- 2

On voit, et c'est le point important que je voulais signaler, que, dans la région d'où le point ^, -/^ ne peut pas sortir, la fonction F, reste toujours finie.

Nous adopterons le mode de représentation de la page 19g et nous représenterons la situation du système par le point de l'espace dont les coordonnées rectangulaires sont

/.r., cosjK-2 V ^^^ sinjK.2

\J Xi +4^1 — 2 \/xi COS/i sjx-i -\- /\Xi — 2 yxi COSJKl

2 \/xi sinjKi

\/x2 +4^1 — 2 \/xi COSJKl

On voit que quand le rapport — est constant, le point X, Y, Z

décrit un tore; que ce tore se réduit à l'axe des Z quand ce rapport est infini et au cercle

quand ce rapport est nul.

Les dérivées -7—^ et -7— restent unies dans la reerion considérée, axi ax=i °

de même que la fonction F, elle-même, sauf quand ^r, ou Xo est

, . ., , . -, ^ 1 1 ^ • ' clF i dFi

très petit, il n en serait pas de même des dérivées —. — ? ■-, — qui i ' ^ dji dyi ^

pourraient devenir infinies pour /-o^o. Il en résulte que

dF' dF' '•

dxi axi

I•/V^ V 1 dFn dF n TVT ^ 1

ditierent très peu de -^ — et —, — Wous avons vu a la page ^oo que, dans l'hypothèse où nous nous sommes placés, -r-^ et par consé-

(|uent n^ ne peuvent s'annuler parce que la constante C des forces vives (la constante G du n° 313 se ramène facilement à la constante h du n" 299) est plus grande que - (à la page 200, il faut

lire partout - au lieu de ^ ) •

Nous aurons donc, si Xi n'est pas très petit,

car -~ ne peut devenir infini que pour ^'2= o, d'où il suit quey2

est toujours croissant, sauf pour ^2 très petit.

Soit M un point X, Y, Z, tel quey2=-- o; il se trouvera sur le

demi-plan

Quand x^, ^o, j'i, JK2 varieront conformément aux équations différentielles, le point X, Y, Z décrira une certaine trajectoire; quand jKa qui croît constamment atteindra la valeur stï, le point X, Y, Z venu en M,, se trouvera de nouveau sur le demi-plan Y=o, X>o.

Le point M, est alors le conséquent de M, d'après la définition du n° 305. Comme JK2 est toujours croissant, tout point du demiplan a un conséquent et un antécédent; il n'y a exception que pour rr2 très petit, c'est-à-dire pour les points du demi-plan qui sont très éloignés de l'origine ou très voisins de l'axe des Z.

Nous aurons un invariant intégral au sens du n° 305; cherchons à former cet invariant.

Les équations étant canoniques admettent l'invariant intégral

/ dxi dcr.2 dyi dy=i.

Posons ^ = -^ et prenons pour variables nouvelles F', -3, y 1 , y-x ; l'invariant deviendra

[^x\ d¥' dzdyidy^ /'"^i dF' dzdyj dy^

An ('

dF' J

dF' dF' J Xini-\-Xz?io

Xi — ■ -1- Xi -- —

ctx i ClX^

De cet invariant quadruple nous déduirons (à cause de l'existence de l'intégrale F'= C) l'invariant triple

^f dzdfi dyi

XiHi -h X2 «2

^ . , , . , dF' dF' Dans cette intégrale triplent , .iCo, Ji, = ~, — ? /?o=: -, — sont

supposés remplacés en fonctions de -s, j>^i , y^ a l'aide des équations

x-i = xiz, F' = C.

Prenons maintenant pour variables X, Y, Z et appelons A le

jacobien de X, Y, Z par rapport à z, j,, y^^ rinvarianl deviendra

,r? d\ dY dZ

Soit

V/T+4 — 2 COSJKl /^ H- 4 — ■! COSJi

d'où

X = R cos/-, Y = R sinj'2.

Posons encore

D==[(R-i)^ + Z-2][(R + ir- + Z-^J;

un calcul simple donne

RD

Notre invariant s'écrira donc

'8.rf \/z{z-^ 4)<iX fi?Y c/Z

(a?! /Il H- :r2 iii) RD

Les principes du n° 305 nous permettent d'en déduire l'invariant suivant au sens du n° 305

D a?i /Il -1- a" .2/1-2

Ici /?2 et R jouent le rôle que jouaient 0 et p dans l'analyse du n" 305.

La quantité sous le signe / est essentiellement positive, sauf

pour x-î très petit, c'est-à-dire pour les points du demi-plan très éloignés de l'origine ou très voisins de l'axe des Z.

393. Cette circonstance (qu'un point n'aura plus de conséquent s'il est trop éloigné ou s'il est trop près de l'axe des Z) pourrait causer quelque gêne et il peut être utile de tourner cette difficulté par un artifice quelconque.

Nous pourrions d'abord utiliser la remarque du n° 311 et rem- |)Iacer notre demi-plan par une aire courbe S simplement connexe. Voici comment nous choisirions celte aire courbe.

Si X2 est très petit, l'excentricité est très petite et les deux planètes circulent en sens contraire; les principes du n° 40 sont

applicables et nous permettent d'affirmer l'existence d'une solution périodique de la première sorte qui satisfera évidemment aux conditions suivantes : les quantités

sont des fonctions périodiques du temps t] ces fonctions dépendent en outre de [x et de la constante des forces vives C; elles sont développables suivant les puissances de \x; la période T dépend aussi de y, et de C. L'angle y^ augmente de 2 7r quand t augmente d'une période. Enfin y/^To cosj'2 et ^x^ sinj'o sont divisibles par ij., de sorte que pour [j. = o on a ^o = o.

Avec notre mode de représentation, cette solution périodique ([ue j'appelle o- est représentée par une courbe fermée K; comme Xo est très petit quand [x est très petit, cette courbe s'écarte très peu de l'axe des Z; je veux dire qu'elle s'en écarte peu de même qu'un cercle de rayon très grand s'écarte peu d'une droite. Tout point de la courbe K est, ou très éloigné de l'origine ou très voisin de l'axe des Z.

Cela posé, notre aire courbe S aurait pour périmètre la courbe K, elle s'écarterait peu du demi-plan Y = o, X >> o, sauf dans le voisinage immédiat de la courbe K. Il serait facile d'ailleurs d'achever de la déterminer de telle manière que tout point de cette aire eût un conséquent sur cette aire elle-même. 11 suffirait pour cela que si j'appelle (T) une trajectoire quelconque, c'est-à-dire une des courbes définies dans notre mode de représentation par les équations différentielles, il suffirait, dis-je, que la surface S ne fût tangente en aucun point à aucune des trajectoires (T).

Mais il j a un autre moyen, qui au fond ne diff"ère pas du premier. La difficulté, pour peu qu'on j réfléchisse, rappellera celle du Chapitre XII; nous sommes donc conduits à faire un changement de variables analogue à celui du n° 1 i5.

Posons d'abord

b = s/'iX', cosj'-a, fti = /'-i^i sinj2,

Jl. P. - III. 25

378 ciiAPiTRii: xxxiri.

où Sj est une fonclion de ^.',, r,o, ^', , j',. Soit ensuite

dS ,, dSi dr, 2 dr^ 2

dS , i/S,

xi =-r- = '^1 -^ !^ -, — ;

dS dS , dS dS 1

et enfin

^'2 = \/'j.x'.2 COSJK21 '^-2 = V'2^'2 sinjo.

J'observe d'abord que la forme canonique des équations ne sera pas altérée quand des variables ^,, j^i ? -2^25 JK2j je passerai à .2;,, r<, ^2, '^^2, puis à ^',, 7,, ^;, r,;, puis enfin à ^^, JK<, x'.^, /.,.

Il me reste à choisir la fonction S|.

Je sais que F' est dans le domaine envisagé une fonction liolomorplie de y/2^,cosj-,, y^a^isinj-,, y/a^scosy,, y/a^osiny^. Je veux qu'elle reste fonction holomorphe des nouvelles variables

^ix'icosy'i, /ââ^-sinj;-.

Pour cela je veux que les variables anciennes \lixi . yi soient

fonctions holomorphes des variables nouvelles \/2x'- . y\ et de y..

A cet effet, il nous suffira de supjioser que S, est fonction holomorphe de

et est divisible par x\ .

Je veux ensuite que pour notre solution périodique t, on ait

J'2 = r/, = o, x\ = arj = const. Soient donc

les équations de la solution périodique; A, B, C sont des fonctions dey,, périodiques de période 2- et développables suivant les puissances de [x.

Alors C — -y — B sera aussi une fonction périodique de y\ ;

soit x\ sa valeur moyenne; on pourra trouver une autre fonction périodique a telle que

SOLUTIO.XS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES. 879

Nous n'aurons plus alors qu'à supposer que, pour x\^^ x\^ la fonclion ixSi se réduise à

(2) a-B^;-hAr,,.

Cela suffira pour que les écpiations de la solution périodique se réduisent avec les nouvelles variables à

Il est évidemment possible de trouver une fonclion aS, qui soit

développable suivant les puissances de \lix\ . y^ et divisible

par x\ et qui, en même temps, se réduise à l'expression (2) pour x\ = ^1 .

Adoptons les variables nouvelles x\ , y\ , x'.,, y'.,.

La fonction F', qui était holomorphe par rapport ày^2.r, . y,,

cos sin cos

\Jo.x-2, . jKo, sera de même holomorphe par rapport a y/a ^, . y^^

\jix.^ . y'.^. D'autre part, comme une des solutions des équations différentielles est

on devra avoir pour ql = '{^.^--=^0, x\ = .r*^, les relations suivantes r/F' clF' dF'

Pour les petites valeurs de ^[, et r,^, F' est développable suivant les puissances de ^'., etr/^. En vertu des relations (3), pour^-', = ^r^, les termes du premier degré de ce développement disparaissent et les termes de degré zéro se réduisent à une constante indépendante de ij-i.

Cette constante ne peut d'ailleurs être autre chose que la constante des forces vives C; de sorte que les conditions ^', = 71', = 0, x\ = x'^^ peuvent être remplacées par les suivantes

Ainsi, pour F'= C, les termes du premier degré en ç', et r,', disparaissent dans le développement de F'.

La difficulté provenait de ce que F' et F, contenaient des termes

38o CHAPITRE XXXIII.

(lu premier degré en

/ 11'"' dFi ,

et que, par conséquent, la cierivee ~ — , contenant des termes

en -7=' devenait infinie pour x.^ = o.

Toi cette difficulté n'existe plus; nous n'avons plus de termes

du premier degré en ç!,, r/, ; donc la dérivée j—^ reste finie, même

pour X., = o, et -j—r^ qui dittere très peu de -j—r^ conserve toujours

le même signe. Donc, avec nos nouvelles variables qui, d'ailleurs, ne diffèrent des anciennes que de quantités 1res petites de l'ordre de [J-, nous aurons constamment

Faisons, avec nos variables nouvelles, une convention analogue à celle du numéro précédent et représentons la situation du système par le point de l'espace dont les coordonnées sont

\J x\^c.Q)%y\2, v \/a?'2 silljKj

s/ x'^ -1- 4 -^1 — 2 \/ x\ cos 7\ \J x'^ -\- 4 t\ 2 s/ x\ COSJ^'i

1 \J x\ sinjKi

\l x\ -(- l\x\ — 1 \/x\ co?,y\

Tout ce que nous avons dit subsistera; seulement comme —r-^

ne peut jamais s'annuler, tout point du demi-plan, sans exception, aura un conséquent. • Je dis maintenant que l'invariant intégral est toujours positif. Il ne pourrait j avoir de doute que pour le dénominateur qui, avec les mêmes variables, était x^n^-\- x^n^ et qui serait maintenant

d¥^ ' ^\ ^ dx\ ' dx'.2 )

ce qui, en regardant F' comme fonction des quatre variables,

ç- = s/'ix\ cos//, /// = \/'2 x\ si n j-'/,

peut s'écrire

Sous cette forme, on voit aisément que le dénominateur est holomorphe par rapport aux ^', aux r/ et à p.. Or, pour a = o. Y' se réduit à

et il est aisé de vérifier que le dénominateur est toujours positif. Il l'est donc encore pour les petites valeurs de p..

394. Dans ce qui va suivre, nous adopterons donc les variables définies au numéro précédent. Nous supprimerons d'ailleurs les accents devenus inutiles et nous écrirons F, Xi et j/au lieu de F', X- etj)/-^-. Nous avons alors l'invariant intégral (au sens du n°30o),

fZX dZ

ou

rfF

x\ sji

li]

dV ^^ dx,

■ -+- Xt

dF

■ dx.

-FZ2

J'observerai d'abord que cet invariant intégral, toujours positif, reste fini quand on l'étend au demi-plan tout entier.

En effet, si \/(X — i)- + Z- est un infiniment petit du premier ordre, le numérateur ^^^5(2 + 4) est un infiniment petit du second ordre et il en est de même de D. Si \/(X — i)- + Z- est un i^ifiniment grand du premier ordre, le numérateur reste fini, tandis que D est très grand du quatrième ordre. Toutes les autres quantités restent finies.

J'appellerai Jo la valeur de l'invariant J étendue au demi-plan tout entier.

Ce qui caractérise les solutions périodiques et les courbes trajectoires qui les représentent, c'est que ces courbes coupent le demi-plan en des points dont les conséquents successifs sont en nombre fini; reportons-nous, par exemple, au n" 312 et, en particulier, à Istjig. 7 de la page 194.

382 CHAPITRE XXX m.

Sur celle figure, la li^ajecloire fermée qui représente une solution périodique coupe le demi-plan en cinq points Mq, M|, Mo, M3, M4, qui sont les conséquents Jes uns des autres. J'appellerai, pour abréger, un pareil système système de points périodiques ou système périodique.

A chaque solulion périodique instable, correspondent deux systèmes de solutions asymplotiques; ces solutions sont représentées par des trajectoires (au sens du n° 312) et l'ensemble de ces trajectoires forme ce que nous avons appelé des sui'faces asymplotiques. L'intersection d'une surface asymplotique avec le demi-plan s'appellera une courbe asymplotique. Ainsi que nous l'avons vu sur la fig. 7, page 194, à chacun des points M/ d'un système périodique instal)le aboutissent quatre branches de courbes asymplotiques (MA, MB, MP, MQ) qui sont deux à deux dans le prolongemenl l'une de l'autre.

Il y a une infinité de courbes asymplotiques, car il y a une infinité de solutions périodiques instables et, par conséquent, de systèmes de points périodiques instables, même en nous bornant aux solutions du premier genre, définies aux n°'' i2 et 44.

Nous distinguerons les courbes asymplotiques de première et de deuxième famille, suivant que l'exposant caractéristique correspondant sera positif ou négatif; celles de la première famille sont caractérisées par la propriété suivante; le /i"^'"^ antécédent d'un quelconque de leurs points est très voisin d'un point périodique si 11 est très grand; pour les courbes de la deuxième famille, ce serait le /^^'^'^'^ conséquent et non le /^''^"'^ antécédent qui serait très voisin d'un point périodique.

Sur la figure de la page 194 les courbes MA et MP sont de la première famille et les courbes MB et MQ de la seconde.

Ces courbes asymplotiques peuvent être regai^dées comme des courbes invariantes au sens du Chapitre XXVII, à la condition de faire l'une des deux conventions suivantes; revenons à la figure de la page 194, nous voyons la courbe MqAo qui a pour conséquentes successives M, A,, M2A0, M3A3, M, A.,,, MoAg. Alors si nous convenons d'envisager les cinq courbes MqAq, M, A,, MoAo, M3A3, M/, A/,, cet ensemble constituera évidemment une courbe invariante. Ou bien encore si nous convenons de n'envisager les conséquents que de 5 en 5, et d'appeler /;''^'""' conséquent celui

([ue nous appelions jusqu'ici le 5/)"^"^^ conséquent, il est clair que la courbe MoAoAg envisagée seule sera une courbe invariante.

Deux courbes de la même famille ne peuvent se couper. — En effet, ou Lien ces deux courbes aboutiront à un même point périodique, au point Mq par exemple; ces deux courbes coïncideront (puisque par Mo, ne passe, comme courbe de la jaremière famille, que Mo Aq avec son prolongement MoPo), il s'agit alors de savoir si une courbe asvmptotique peut avoir un point double; la question a été résolue négativement (n° 309, page i85).

Ou bien ces deux courbes aboutiront à deux points périodiques d'un même système périodique, par exemple, aux deux points Mo et M,. Si deux courbes cjui seraient alors MoAq et M, A) avaient un point commun Q, le 5/?"*"^^ antécédent de Q devrait être à la fois pour/? très grand très voisin de Mo, parce que Q appartiendrait à Mo Ao et très voisin de M, parce que Q appartiendrait à M, A,. Cela est encore absurde.

Ou bien enfin les deux courbes aboutiraient à deux points appartenant à deuK systèmes périodiques différents. Supposons par exemple que les deux courbes soient de la première famille et que Q soit leur point d'intersection.

Le /i''"^^ antécédent de Q, pourntrès grand, devrait être à la fois très voisin d'un des points du premier système périodique et d'un des points du second système; cela est encore impossible.

Au contraire, il 7i'y a pas de raison pour que deux courbes asymptotiques de familles différentes ne se coupent pas.

Soient S et S' deux solutions périodiques instables; T etT' les trajectoires fermées correspondantes, P et P' les systèmes périodiques correspondants.

Soient S et S' deux surfaces asymptotiques passant respectivement par T et T' et coupant le demi-plan suivant deux courbes asymptotiques G et C, l'une de la première, l'autre de la deuxième famille.

Qu'arrivera-t-il si G et G' ont un point commun Q? Les deux surfaces S et II se couperont suivant une trajectoire t, qui corx^espondra à une solution remarquable a. La trajectoire x appartiendra à deux surfaces asymptotiques ; de sorte que pour t ^ — oo elle se rapprochera beaucoup de T et que pour t=^-\-œ^ elle se

rapprochera beaucoup de T'. Pour n très grand, le 7?''™^ anlécédent de Q sera très voisin d'un des points du système P et son ,^i nie conséquent très voisin d'un des points du système P'.

La solution o- est donc doublement asyniptolique.

Toutes ces conséquences n'ont rien d'absurde.

Mais deux cas sont à distmguer. Ou bien les deux solutions S et S' coïncident, de sorte que t d'abord très rapprochée de T = T' s'en éloigne beaucoup et se rapproche ensuite de nouveau beaucoup de celte même trajectoire T = T'. Je pourrai dire alors que la solution (7 est homocline. Ou bien S diffère de S', et T de T', je dirai alors que a- est hétérocllne.

L'existence des solutions homoclines sera bientôt démontrée; celle des solutions liétéroclines reste douteuse au moins dans le cas du problème des trois corps.

Solutions homoclines.

39o. A la fin du n° 312, nous avons vu que « les arcs AoAg, el B0B5 se coupent. » Or, l'arc AqAj appartient à la courbe MoAoAg qui est une courbe asymptotique de la première famille el l'arc B0B5 fait partie de la courbe M3B0 qui est de la deuxième famille.

Le raisonnement est général et nous devons conclure que les deux surfaces asymptoticjues qui passent par une même trajectoire fermée doivent toujours se couper en dehors de celle ti'ajecloire. Les courbes asymptotiques de la première famille qui aboutissent aux points d'un système périodique coupent toujours les courbes de la deuxième famille qui aboutissent à ces mêmes points.

En d'autres termes, sur chaque surface asymptolique, il y a au moins une solution doublement asymptotique homocline; nous verrons bientôt qu'il y en a une infinité; mais nous allons voir Lout de suite cju'il y en a au moins deux.

Revenons pour cela à la figure de la page 194. D'après le raisonnement des n°^ 308 et 312, l'invariant intégral J étendu au quadrilatère A0B0A5B5 doit être nul; c'est pour celte raison que ce quadrilatère curviligne ne saurait être convexe et que les côtés

SOLUTIOXS DOUBLEMENT A SYMPTOT IQU E S. 385

opposés A0A5 et B0B5 doivent se couper. Soit Q l'un des points d'intersection de ces deux arcs. Remarquons que le point Bo a été choisi arbitrairement sur la courbe cTsymptotique MAq ; si l'on met le point Ao au point Q lui-même, ce point Aq se trouvera aussi sur la courbe M3B0 et coïncidera avec le point Bo- Si les deux points Ao et Bq coïncident, il en sera de même de leurs cinquièmes conséquents A5 et B5.

Le quadrilatère A0B0A5B3 se réduira donc à la figure formée par deux arcs de courbe ayant mêmes extrémités. Cette figure ne peut être convexe puisque l'invariant intégral étendu au quadrilatère doit être nul. Il faut donc que les deux arcs Aq Ag et B0B5 aient d'autres points communs que leurs extrémités.

Il y aura donc au moins deux points d'intersection distincts (en ne regardant pas comme distincts un point et un quelconque de ses conséquents).

Il y aura donc toujours au moins deux solutions doublement asymptotiques.

Supposons donc que les points Ao et Bo coïncident et prolongeons les arcs AqA^ et B0B5 jusqu'à leur premier point de rencontre en Co- Nous aurons ainsi déterminé une aire qui cette fois sera convexe (au point de vue de Y Analysis sitiis) et qui sera limitée par deux arcs faisant partie respectivement des deux arcs AoAg et BoBg et ayant mêmes extrémités, à savoir Ao;= Bq et Go-

Soit a.Q cette aire et a.,i sa n'''""^ conséquente; l'aire a.,i sera évidemment comme ao convexe et limitée par deux arcs de courbe, l'un de la première, l'autre de la deuxième famille.

L'intégrale J aura même valeur pour ao eta^^. Soit y cette valeur. Gomme la valeur Jq de l'invariant intégral pour le demi-plan entier est finie, on verrait, en raisonnant comme au n" 291, que, si

^ Jo

l'aire ao aura une partie commune au moins avec p des aires

ai, ao; . . . , «/;, et comme ii ne peut être pris aussi grand cpie l'on veut, je puis énoncer le résultat suivant :

Parmi les aires a,,, il y en a une infinité qui ont une partie commune avec ao.

386 CHAPITRK XXXIII.

(Comment peul-il arriver que ao ait une partie commune avec a„.

L'aire ao ne peut être tout entière intérieure à a„ puisque l'invariant intégral a même valeur pour les deux aires. Pour la même raison l'aire a,^ ne peut être tout entière intérieure à ap. Les deux aires ne peuvent non plus coïncider; si en effet une portion d'une courbe asymptotique (de la première famille par exemple) coïncidait avec sa n^'^'"^ conséquente, il en serait de même de sa ^'ème antécédente quelque grand que soit/?; or, si p est grand, cette ^leme antécédcnlc est très voisine des points périodiques et les principes du Chapitre YTI suffisent pour montrer que cette coïncidence n'a pas lieu.

Il faut donc supposer que le périmètre de ao coupe celui de a„; or, le périmètre de ao se compose d'un arc A^oHoCo appartenant à la courbe MqAo A.g de la première famille et d'un arc

Dû 1^0 Go '= Aq Kq Cq

appartenant à la courbe M3B5B0 de la seconde famille.

De même, le périmètre de a,i se composera de l'arc A„M,iC/,, ^^leme conséquent de AoHoCq, qui appartiendra à la même courbe asj'mptotique que AoHoCo, c'est-à-dire à une courbe de la première famille, et de l'arc A;^K„C„, n^'-'"'^ conséquent de AoKoCq, qui appartiendra à la même courbe asymptotique que AoKoCo, c'est-à-dire à une courbe de la seconde famille.

Deux courbes de même famille ne pouvant se couper, il faut que AoHoCo coupe A„K„C„, ou que AoKoCq coupe A;jH«Crt. Mais si les deux arcs AqKoCo et A„H„C« se coupent, leurs n^'^"'^^ antécédents A„K„C„ et AoHqCo se couperont également. Il faut donc que A0H0C0 coupe le Ji'"''" conséquent ou le n'^""^ antécédent de AoKoCq.

Mais l'arc AoKqCo, tous ses antécédents et tous ses conséquents appartiennent à une même courbe invariante de la deuxième famille, représentée sur la figure de la page 194 par l'ensemble des courbes M3B0, M, B3, M,B,, M2B-,, MoBo.

L'a/c AoPIoCo est donc coupé une infinité de fois par cet ensemble de courbes.

Les deux surfaces H et S' qui passent par la trajectoire fermée T ont donc une infinité d'autres courbes d'intersection.

Il y a donc sur la surface S une infinité de solutions doublement asymptotiques homoclines. c. q. f. d.

396. Soit AoHqCo ini arc quelconque de notre courbe asjmptotique de la première famille, et supposons que cet arc coupe une courbe asymptotique de seconde famille aux deux points extrêmes Ao et Cq. Je dis qu'entre ces deux points Aq et Co il y aura toujours d'autres points d'intersection avec la courbe de la seconde famille.

Soit en effet AoKqCo l'arc de la courbe de la seconde famille qui joint les deux points Aq et Cq.

Ou bien les deux arcs AqHoCo et A^KoCo ont d'autres points communs que leurs extrémités, et alors le théorème se trouve démontré.

Ou bien ces deux arcs n'ont pas d'autre point commun que leurs extrémités Aq et Cq ; alors les deux arcs limitent une aire ao analogue à celle que nous avons envisagée à la fin du numéro précédent; les mêmes raisonnements lui sont applicables et nous pouvons conclure que l'arc AoHqCo coupe une infinité de fois la courbe de la seconde famille.

Donc sur une courbe asymptotique de la première famille entre deux points d'intersection quelconques avec la courbe de la seconde famille, il y en a une infinité d'autres.

Sur une surface asymptoticiue quelconque, entre deux solutions doublement asymptoticjues quelconques, il y en a une infinité d'autres.

Nous n'avons pas encore le droit de conclure que les solutions doublement asymptotiques sont ilberalldicht sur la surface asymptotique; mais cela semble probable.

Les points d'intersection des deux courbes asymptotiques peuvent se répartir en deux catégories. En effet, on peut parcourir la courbe asymptotique dans deux sens opposés; nous considérerons ce sens comme positif, si l'on va d'un point à son conséquent. Soient alors A un point d'intersection des deux courbes, BAB', GAG' deux arcs de courbes asymptotiques se coupant en A. Supposons que BAB' soit de la première et GAG' de la seconde famille, et qu'en suivant les courbes dans le sens positif on aille

388 CIIAPITUE XXXIII.

de A en B' et de A en C Suivant que la direction AB' sera à droite ou à gaviche de AC, le point d'intersection A sera de la première ou de la deuxième catégorie.

Cela posé, soit AqHoCo un arc de la première famille, coupé en Ao et Go par un arc AoKoCq de la deuxième fnmille. A quelque catégorie qu'appartiennent Aq et Co, l'ensemble des deux arcs AoHoCoKq Ao formera une courbe fermée. Si les deux arcs n'ont pas d'autre point commun que leurs extrémités, cette courbe fermée n'a pas de point double et limite une aire c/.q. Si les deux arcs avaient d'autres points communs que leurs extrémités, et si par exemple les deux arcs AoHoDoHyCo, AoKoDoK[,Co se coupaient en Do, on remplacerait les points Ao et (Iq, par les points Ao et Do situés entre Aq et Co et les arcs AqHoCo, AqKoCo par les deux arcs AoHqDo et AqKoDo et l'on continuerait ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à deux arcs n'ayant d'autre point commun que leurs extrémités.

Supposons donc que les deux arcs limitent une aire ao. D'après ce que nous venons de voir, l'arc AoHqGo doit couper une infinité de fois la courbe asjmptotique de la seconde famille, il faut donc que la courbe de la seconde famille pénètre une infîmté de fois à l'intérieur de a.o et elle doit en sortir une infinité de fois. Elle ne peut y pénétrer ou en sortir qu'en coupant AoHoCo, car elle ne peut couper AoKoCq qui fait partie aussi de la courbe de la seconde famille. Or, il est clair C|ue les points par où elle pénétrera dans l'aire et ceux par où elle en sortira ne seront pas de la même catégorie.

Donc entre deux points quelconques d' intersection des deux courbes, il y en a une infinité d'autres appartenant à la première catégorie et une infinité d^ autres appartenant à la deuxième catégorie.

Désignons par (i), (2), (3), . . ., les points de rencontre successifs de la courbe de la seconde famille et de l'arc AoHyCo, comptés dans l'ordre où on les rencontre en suivant la courbe de la seconde famille dans le sens positif. Ils seront alternativement des deux catégories. Etudions l'ordre dans lequel on les rencontre en suivant l'arc AqHoCo-

SOLUTIONS DOUBLEMENT A S YM PTO T IQUES. 889

Cet ordre ne pourra être tout à fait quelconque et certaines successions se trouvent exclues, par exemple les suivantes :

(2m), (2/^), (iru ~hj), (2/J-t-i)

(a/n-i-i), (."ip), i'-i-'n), (^/^-ï-i)

(■im), t'2/>-+-i), (a/n-f-i), (2/> )

(■2m), (2/?), (2w — 1), (ap— 1)

ainsi que les mêmes successions renversées, et les successions analogues où 2m +i et 2/) + i sont remplacés par 2 m — i et 2p — I .

397. Que l'on cherche à se représenter la figure formée par ces deux courbes et leurs intersections en nombre infini dont chacune correspond à une solution doublement asymptotique, ces intersections forment une sorte de treillis, de tissu, de réseau à mailles infiniment serrées; chacune des deux courbes ne doit jamais se recouper elle-même, mais elle doit se replier sur elle-même d'une manière très complexe pour venir recouper une infinité de fois toutes les mailles du réseau.

On sera frappé de la complexité de cette figuie, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n'est plus propre à nous donner une idée de la complication du problème des trois corps et en général de tous les problèmes de Dynamique où il n'y a pas d'intégrale uniforme et où les séries de Bohlin sont divergentes.

Diverses hypothèses restent possibles.

1° On peut supposer que l'ensemble des points des deux courbes asymptotiques Eq, ou plutôt l'ensemble des points dans le voisinage desquels se trouvent une infinité de points appartenant à Eq, c'est-à-dire l'ensemble E|, « dérivé de Eq », on peut supposer, dis-je, que l'ensemble E^ occupe le demi-plan toul entier. Il faudrait alors conclure à l'instabilité du système solaire.

2° On peut supposer que l'ensemble E[, a une aire finie et occupe une région finie du demi-plan, mais ne l'occupe pas toul entier; soit qu'une partie de ce demi-plan reste en dehors des mailles de notre réseau, soit qu'à l'intérieur d'une de ces mailles reste une « lacune ». Soit par exemple Uq une de ces mailles limitée par deux ou plusieurs arcs de courbes asymptotiques des deux familles. Construisons ses conséquents successifs et appli-

quons-lui le procédé du n" 291. Formons comme à la page i^'S

Ua, u;, u'^, ui u;, ..., e.

L'aire E si elle est finie représentera une des lacunes dont nous venons de parler. Il semble qu'on puisse lui appliquer le raisonnement du n° 294 et conclure que cette aire doit coïncider avec un de ses conséquents. Mais cet ensemble E pourrait se composer d'une région d'aire finie et d'un ensemble situé en dehors de celte région et dont l'aire totale serait nulle. Tout ce que nous pourrions conclure, d'après la page 100, c'est que Ex (le \'^^'^'^ conséquent de E) contient E et que l'ensemble E), — Ea pour aire zéro. De même les ensembles E — E x, E x^ E ox, . . ,,E„x — ^-(,i+\)i auront pour aire zéro (nous entendons par aire d'un ensemble la valeur de l'intégrale J étendue à cet ensemble). Et d'autre part E(/^^ijx est une partie de E„x. Quand n croit indéfiniment Jij,ii tend vers un ensemble t qui comprend tous les points qui font partie à la fois de tous les ensembles E,iX. L'aire de cet ensemble s est finie et égale à celle de E. Enfin e coïncide avec son \"""^ conséquent.

3° On peut supposer enlin que l'ensemble EJ, ait pour aire zéro.

Il serait analogue alors à ces « ensembles parfaits qui ne sont condensés dans aucun intervalle ».

398. Nous pourrions représenter les divers points d'intersection des deux courbes de la façon suivante. Soit x une variable cjui varie de — 00 à -j- 00 quand on suit la courbe asjmptotique de la première famille MqAo, depuis le point Mq jusqu'à l'infini, et qui augmente de l'unité quand on passe d'un point à son cincjuième conséquent, de Aq à A5 par exemple (en nous supposant placés, pour fixer les idées, dans les conditions de la figure de la page 194)- Soit j)^ une autre variable qui varie de + ce à — 00 quand on suit la courbe de la seconde famille M3B5 depuis le point M3 jusqu'à l'infini et qui augmente de Tunité quand on passe d'un point à son cinquième conséquent.

Les différents points d'intersection des deux courbes sont caractérisés par un couple de valeurs de a; et de jk et chacun d'eux peut être représenté par le point du plan dont les coordonnées rectangulaires sont xety.

SOLUTIONS DOUBLEMENT A S YM PTOT IQ U E S. Sgi

Nous aurons ainsi dans le plau une infinité de points représentatifs des solutions doublement asjmptotiques; de chacun de ces points on peut en déduire une infinité d'autres; si en effet le point X, y correspond à une intersection des deux courbes, il en sera de même des points

a? -f- I, j' -f- I ; X -\-i, y -\- n: ...; x -^ n, y-hn,

OÙ 71 est entier positif ou négatif; pour connaître tous les points représentatifs, il suffirait de connaître tous ceux qui sont compris dans Ja bande o <^ :r << i, ou dans la bande o -<JK <C i •

Une autre remarque c'est que l'ordre dans lequel se succéderont les projections de ces points représentatifs sur l'axe des a; n'aura aucun rapport avec l'ordre dans lequel se succéderont leurs projections sur l'axe des y, et voici la conséquence.

Considérons plusieurs solutions doublement asjmptotiques; pour t négatif et très grand, elles seront toutes très voisines de la solution périodique et elles se présenteront dans un certain ordre, certaines d'entre elles étant plus voisines et d'autres moins voisines de la solution périodique.

Toutes ensuite s'éloigneront beaucoup de la solution périodique, puis, pour ^positif et très grand, elles en seront de nouveau toutes très voisines; mais elles se présenteront alors dans un ordre entièrement différent. Si de deux solutions la première est plus voisine que la seconde de la solution périodique pour t=. — cc^ il pourra arriver que pour f == + co, la première soit plus éloignée que la seconde de la solution périodique, mais il pourra arriver aussi que ce soit le contraire.

Cette remarque est encore de nature à nous faire comprendre toute la complication du problème des trois corps et combien les transcendantes qu'il faudrait imaginer pour le résoudre diffèrent de toutes celles que nous connaissons.

Solutions hétéroclines.

399. Existe-t-il des solutions hétéroclines? Ce que nous pouvons voir, c'est que s'il y en a une, il j en a une infinité.