C II A 1> I T R !•: XXXIII
Soit en effet Mo un point appartenant à un système périodique; soient MqAo et MqBo deux courbes asymptotiques aboutissant à ce point Mo, l'une de la première, l'autre de la seconde famille. Nous venons de voir comment ces courbes se coupent de façon à déterminer des solutions doublement asymptotiques homoclines.
Soit maintenant M|, un point appartenant à un autre système périodique; soient M^AJ,, M^B^ deux courbes asymptotiques, M'Aq de la première, M'B^, de la seconde famille.
Supposons que MqA|, coupe MqBo en Qo ; cette intersection correspondra à une solution doublement asymptotique hétérocline.
Mais si ces deux courbes se coupent en Qo elles se couperont également en une infinité de points Q^ conséquents de Qo-
Je précise; je suppose par exemple que le système périodique dont fait partie Mo se compose de cinq points Mo, M,, Mo, M3, M/,; alors le cinquième conséquent d'un point quelconque de la courbe MqBq se trouvera encore sur celte courbe, et en général si Qo est sur celte courbe, il en sera de même de son /i"^™^ conséquent Q«, pourvu que n soit multiple de cinq.
Supposons de même que le système périodique dont fuit partie M|^ se compose de sept points; alors, si Qo est sur la courbe M'^A'^, il en sera de même de son ji^''"^'^ conséquent Q,, pourvu que 11 soit multiple de 7.
Si donc les deux courbes ont une intersection en Qq, elles en auront encore une en Q„ pourvu que n soit multiple de 35.
Soient donc QoHoQ« un arc de MoBq, et QoKo(^« un arc de M'gA'y; l'ensemble de ces deux arcs ayant mêmes extrémités formei^a une courbe fermée. Sur cette courbe fermée nous pourrons raisonner comme au n° 396; nous verrons donc que, si les deux arcs n'ont d'autre point commun que leurs extrémités, cette courbe fermée n'a pas de point double et limite une aire analogue à l'aire a.^ des n°^ 395 et 396. Si les deux arcs ont d'au lies points communs que leurs extrémités, on peut trouver deux autres arcs faisant partie des deux arcs QoHqQ^, Qo^-oQ// n'ayant d'autres points communs que leurs extrémités et limitant une aire analogue à ag.
Sur cette aire v.q on raisonnera comme aux n""* 395 et 396 et l'on verra que sur chacune des deux courbes, entre deux points
SOLUTIONS DOUBLEMKNT A S V M P T 0 TI Q U E S. 0Ç)3
quelconques d'intersecllon avec l'autre courbe, on peut en trouver une infinité d'autres.
Ce raisonnement montre que, s'il y a une solution hétérocline, il y en a une infinité.
400. S'il y a une solution hétérocline, le réseau dont nous avons parlé au n" 397 devient encore plus compliqué; au lieu d'une seule courbe Mo A.ose repliant sur elle-même sans jamais se recouper ellemême et de façon à couper une infinité de fois l'autre courbe MoBo, nous aurons deux courbes Mo Aq, M'y A'^ qui sans jamais se recouper mutuellement doivent couper une infinité de fois MqBo.
Nous avons défini au n° 397 l'ensemble E'^ relatif au point Mo et aux courbes asymptoliques MqAo, MqBo; nous pourrions définir un ensemble analogue par rapport au point M,, et aux deux courbes asymptotiques M'^A'^,, M'^B'^.
S'il n'y a pas de solution hétérocline ces deux ensembles doivent être extérieurs l'un à l'autre; ils ne peuvent donc remplir le demi-plan.
Si au contraire il existe une solution hétérocline, ces deux ensembles coïncideront. On voit que l'existence d'une pareille solution, si elle venait à être établie, serait un argument contre la stabilité.
Au Chapitre XIII nous avons étudié les séries de MM. Newcomb et Lindstedt, nous avons démontré au n'^ 149 que ces séries ne peuvent converger pour toutes les valeurs des constantes qui y entrent. Mais une question restait douteuse; ces séries ne pourraient-elles converger pour certaines valeurs de ces constantes et, par exemple, ne pouvait-il arriver que la convergence eiit lieu
quand le rapport — est la racine d'un nombre commensurable non
carré parfait? (C/. t. II, p. io4, in fine.)
Mais s'il existe une solution hétérocline, la réponse à cette question devra être négative. Supposons, en effet, que pour certaines valeurs du rapport -^ les séries de Newcomb et Lindstedt
convergent et revenons à notre mode de représentation. Les solutions des équations différentielles qui correspondraient à cette
valeur de — seraient représentées par certaines courbes trajec-
toires. L'ensemble de ces courbes formerait une surface, admettant les mêmes connexions que le tore, et cette surface couperait notre demi-plan suivant une certaine courbe fermée C.
L'ensemble E|^ dont nous venons de parler devrait être tout entier extérieur à cette courbe, ou tout entier intérieur.
Soient alors Mo et M'^ deux points, appartenant à deux systèmes différents. Si Mo est intérieur à la courbe C etMJ, extérieur à cette courbe, l'ensemble Ë|, relatif à Mq devrait lui être tout entier intérieur, tandis que l'ensemble E'^ relatif à Mj, lui serait tout entier extérieur.
Ces deux ensembles ne pourraient donc avoir aucun point commun et il ne pourrait exister de solution doublement asymptotique hétérocline allant de Mo à M'^.
Or, si l'on admettait l'hypothèse du Tome II, page io4, que je viens de rappeler, c'est-à-dire si la convergence avait lieu pour
une infinité de valeurs du rapport — ? par exemple, pour celles
dont le carré est commensurable, il existerait une infinité de courbes C qui sépareraient les uns des autres les points appartenant à des systèmes périodiques différents. Cette hypothèse est donc incompatible avec l'existence des solutions hétéroclines
(au moins si les deux points Mo et M|, que l'on considère, ou
plutôt les solutions périodiques correspondantes, correspondent
à deux valeurs différentes du nombre — ) •
Comparaison avec le n° 223.
401. Avant d'essayer de former des exemples de solutions hétéroclines, nous allons revenir sur l'exemple du n° 225, où l'existence des solutions doublement asymptotiques homoclines peut être mise en évidence.
Nous avions posé
— F = p -^ g^ — v.p. sin^;^ ps ^{y) cosar
(/?, x; Çiy) étant les deux paires de variables conjuguées.
SOLUTIONS DOUBLEMENT ASl MP TOT I QUES. 39^
Nous avons formé ensuite la fonction S de Jacobi et nous l'avons développée suivant les puissances de s
O = OQ ~t~ Oi £. — (— Oo £" ~t~ ....
Arrêtons-nous au second ternie en négligeant s- et écrivons
O = iSo -r- Oi £.
Nous avons trouvé ensuite
So = A.o.r -f- /a [j. I \/ h -\- sin^^ dy, ou, en attribuant aux constantes Aq et h la valeur zéro
So = =t i' s -i. [j. CCS — ; puis nous avons trouvé
Si = partie réelle 6e'^,
où di est une fonction de j/- définie par l'équation
Nous avons ]30sé
tang^ = ;, et supposant
/i = o, cp(y) = sinjK, « =
nous avons trouvé (p. 4^4 et 465, t. II) deux valeurs de 'I* correspondant aux deux courbes asjniptotiques des deux familles. L'une de ces valeurs est
, / — t . , r"^ v-'^dt
et l'autre
,, / — t . „ r'^f-^dt
^'=J%[j. jif-2a i .
Les équations des deux surfaces asjmptotiques seront alors p = z -j- partie réelle [<l^e'-^]; q = ^/'j.ixsin- '- ^ 7- partie réelle [J;e'*] ;
Sgfi CHAPITRE \XXIII.
el
^r = y/'2 [x sin— H- £ -j- partie réelle [(j^'e'^].
Pour trouver les solutions doublement asjniptotlques, il faut chercher l'intersection de ces deux surfaces asjmptotiques; il nous suffira donc d'égaler les deux valeurs de p et les deux valeurs de q.
Soit
Nous trouverons
11 = 1 log?.
-y- partie réelle [J je-«'*+'*^] = o,
-V- partie réelle fJ ie-a"+'-^] — o, ay ■'
ou, en posant J = pe'*^,
K. étant entier.
Telle est l'équation des solutions doublement asymptotiques.
Cette équation nous donne en réalité deux solutions distinctes, l'une correspondant aux valeurs paires, l'autre aux valeurs impaires de K.
402. On peut s'étonner de ne trouver ainsi que deux solutions doublement asjmptotiques, tandis que nous savons qu'il y en a une infinité.
Les approximations suivantes ne nous donneraient non plus qu'un nombre fini de solutions doublement asymptotiques. Quelle est l'explication de ce paradoxe?
ISous avons vu dans les numéros précédents que les diverses solutions doublement asjmptotiques en nombre infini correspondent aux diverses intersections d'un certain arc AnHoCo avec les divers conséquents d'un autre arc AoKoCo.
SOLUTIONS DOUBLEMENT A SYMPTOTIQU E S. o97
Supposons que le premier de ces conséquents qui rencontre AoHqCo soit le conséquent d'ordre N. Le nombre N dépendra évidemment de la constante e, et il sera d'autant plus grand que cette constante sera plus petite. // deviendra infini quand e sera nul.
Or, en développant suivant les puissances de e et nous arrêtant à un terme quelconque du développement, c'est comme si nous considérions s comme infiniment petit.
L'arc AoHoGo ne rencontre plus alors que les conséquents d'ordre infiniment grand de l'autre arc AqKoGo, et c'est ce qui fait que la plupart des solutions doublement asympto tiques échappent à notre analyse.
Exemples de solutions hétéroclines.
