Soit, en général
deux invariants quelconques des équations (i), le premier d'ordre /?, le second d'ordre q.
Je suppose que Fi et F2 soient des fonctions linéaires et homogènes, la première par rapport aux produits de p différentielles dx, la seconde par rapport aux produits de q différentielles.
Soient
Si ) si J • • • ) Ci )
p -\- q solutions des équations (2). Ces solutions satisferont au système d'équations différentielles
.,3) ^^y^-|f (.•,Â: = i,2, ...,/i;,a = i,2, ...,/> + ^). ^ ' dt ^ dxi
Soit alors F'^ ce que devient F< quand on y remplace chaque produit de p différentielles par le déterminant correspondant formé à l'aide des p solutions
fc(l) £(2) Mp)
Sj 5 S; 5 • • • ) Çj *
INVARIANTS INTÉGRAUX. a5
Soit de même F'^ ce que devient F2 quand on j remplace chaque produit de q difFérenlielles par le déterminant correspondant formé à l'aide des q solutions
Si ) ?i ' • • • ) Ci Alors le produit
sera une intégrale du système (i3).
Cela posé, faisons subir aux p -\- q lettres
t(i) t(2) Hp+q^i
Si 5 Ci ) ■ • • ) sj
une permutation quelconque. Le produit F', F^ deviendra
et ce sera encore là une intégrale du système (i3).
Nous affecterons ce produit du signe +; si la permutation considérée appartient au groupe alterné, c'est-à-dire si elle se ramène à un nombre pair de permutations entre deux lettres.
Nous affecterons, au contraire, le produit du signe — , si la permutation n'appartient pas au groupe alterné, c'est-à-dire si elle se ramène à un nombre impair de permutations entre deux lettres.
Dans tous les cas, l'expression
sera une intégrale du système (i3).
Nous avons (/> + ^) ! permutations possibles ; nous obtiendrons donc {p + q)^- expressions analogues à ( 1 4 ) . Mais il n'y en aura que
qui seront distinctes; car l'expression (i4) «e change pas quand on permute seulement entre elles les p lettres qui entrent dans F'j[ et entre elles, d'autre part, les q lettres qui entrent dans F.%
Faisons maintenant la somme de toutes les expressions (i4)- Nous aurons encore une intégrale de système (i3). Mais cette intégrale sera linéaire et homogène par rapport aux déterminants d'ordre/? -f- q que l'on peut former avec les lettres
iip+i)
Oïl pourra donc en déduire un invariant d^ ordre p -\- q des équations (i).
Si /> = ^ et que Fi soit identique avec Fo, l'invariant ainsi obtenu sera identiquement nul si p est impair; mais il n'en sera plus de même si /> est pair ainsi que je l'ai expliqué à la fin du numéro précédent.
Autres relations entre les invariants et les intégrales.
249. Voyons maintenant comment, de la connaissance d'un certain nombre d'invariants, on peut déduire celle d'une ou plusieurs intégrales.
Je suppose d'abord que l'on connaisse deux invariants du n'"""^ ordre
/ M dxi dx^ . . . dx,i, et
/ W dxi clxi . . . dXfi,
M' où M et M' sont des fonctions des x; je dis que le rapport ^ sera
une intégrale des équations (i).
En eiï'et, considérons les équations aux variations (2) et soient
£(1) t(2) tin)
'il 1 Çj 7 • • • : Çj )
71 solutions quelconques linéairement indépendantes de ces équations.
Ces n solutions satisferont à un système d'équations différentielles, analogue aux systèmes (6) et (^), que j'appellerai le système S.
Soit A le déterminant formé à l'aide des n^ lettres i'/''. Alors
MA et M'A
seront des intégrales du système S ; il en sera donc de même du
rapport
et comme ce rapport ne dépend que des x et pas des ^, il devra être une intégrale des équations (i).
INVARIANTS INTEGRAUX.
Faisons le changement de variables du n° 237. Nos deux inva-
On peut démontrer le même résultat d'une autre manière. Faisons le changement de riants intégraux deviendront
/ MJ dyi dy^... dyn-\ dz, / M' J rf/i (ijK2 • • . c(7„i dz,
et
J désignant le jacobien ou déterminant fonctionnel des variables anciennes x^, x-^,^ . . . , x,i par rapport aux variables nouvelles jKh
D'après le n° 237, MJ et M'J ne doivent dépendre que de
yu 72, •••, 7«-i;
M' il en est donc de même du rapport vr et comme toute fonction
desy^- est une intégrale des équations (i), ce rapport est une intégrale des équations (i). c. q. f. d.
250. On peut varier ce procédé de plusieurs manières. Soient, par exemple,
Jp.idxi), jY^Xdooi), ..., j¥p{dxi),
p invariants linéaires du premier ordre. Supposons que l'on ait identiquement
Fi = M2 F, + M3 F3 -F . . . + M^ ¥p,
les M/ dépendant seulement des x^ et non des différentielles dx.
Je dis que les M/, si/?^/^ + 1 seront des intégrales des équations (i).
En effet, soit hih le coefficient de dxk dans F^-; on devra avoir
Ai.^=M2A2./.+ M3A3./, + ... + MpAp.^..
Faisons le changement de variables du n° 237; nos invariants deviendront
jF\(dx'i), jF',{dx'i), ..., jY'pidx'i).
Si d'ailleurs on pose
F'- — S A'- 7 dx',
on devra avoir
Nous aurons là n équations linéaires d'où nous pourrons tirer les Mj pourvu qu e /? ^ 7i + i .
Or, d'après le n" 237, les A^^ ne dépendent que des y et pas de z] il en est donc de même des M/ ce qui veut dire que les M,sont des intégrales des équations (i).
