Cherchons à généraliser et posons

F = FoM-sFi.

Fo est une fonction de /?, ^ et j-; et F, une fonction de p, q, X et y; ces deux fonctions étant d'ailleurs périodiques tant en x qu'en y.

Considérons les courbes

( i) Fo = const.

où nous regarderons/» comme un paramètre, ^ et j- comme les coordonnées d'un point.

Parmi ces courbes, celles qui doivent attirer notre attention, ce sont celles qui présentent des points doubles. Ces points doubles en effet correspondent aux solutions périodiques des équations canoniques quand on suppose que e est nul et que F se réduit à Fq.

Nous avons une double infinité de courbes (i) dont l'équation

générale est

Fo = h.

et qui dépendent de deux paramètres/? et h.

Je viens de dire que les plus intéressantes sont celles qui ont un point double; surtout dans le cas où quelques-unes de ces

courbes ont deux ou plusieurs points doubles. C'est alors en effet que nous rencontrerons les solutions hétéroclines.

Cherchons comme au n" 225 à former la fonction S de Jacob i et posons

La fonction So se forme immédiatement; nous aurons

q étant une fonction dejK définie par l'équation (i) et dépendant des deux paramètres p et h.

On trouve ensuite

dp dx dq dy

DffFn dY n . T^ 1 ,,

ans -1—5 —j— et 1:^ 1, on regarde/? comme une constante et 1 on

remplace q par sa valeur tirée de l'équation (i). L'équation (2) est donc une équation linéaire par rapport aux dérivées de S) dont les coefficients sont des fonctions données de x et de y^ dépendant en outre des paramètres li et/?. Comme F, est périodique en x^ je poserai

Fi = 2<ï»,„e''«^,

OÙ $TO de même que les dérivées de Fo ne dépendent que dey-

Je pose de même

Si= 2it;„,e''«^

et la fonction ^^rn sera donnée par l'équation

^Fo , c/Fq d^j„

dont les coefficients sont des fonctions données de j'.

Cette équation peut évidemment s'intégrer par quadratures.

Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques. Nous devrons d'abord choisir les constantes h et/? de telle sorte que la courbe (i) ait un point double; je supposerai de plus quie ces constantes soient telles qu'à chaque valeur de y correspondent deux valeurs réelles de q (c'est ce qui arrive dans l'exemple du n° 22o).

SOLUTIONS DOUBLEJIENT AS YM PTOT IQU ES. 899

Ces deux \'aleiirs de q sont des fonctions périodiques de j^, qui de\àennent égales entre elles au point double, soit par exemple

pourjK=yo-

Nous pouvons également, comme nous l'avons fait au n° 225, considérer ces deux valeurs de q comme la continuation analytique l'une de l'autre.

La fonction q nous apparaît alors comme uniforme en y et

périodiqlie de période 4'?^ à la façon de sin- •

Cette fonction uniforme prendra la même valeur pourjK=y() etJK=yo + 2T:.

Si au lieu d'un point double, on en avait plusieurs, nous pourrions encore regarder q comme une fonction uniforme de y de période 4^j si le nombre des points doubles- était impair. Si au contraire ce nombre était pair, nous aurions pour q deux valeurs qui ne s'échangeraient pas entre elles quand y augmenterait de 271, et qu'on pourrait par conséquent regarder comme deux fonctions uniformes distinctes àe y ayant pour période air.

Nous supposerons pour fixer les idées que nous avons deux points doubles correspondant aux valeurs jko et /i àey.

Il résulte de là que, pour j' =yo et pour j- ^=y\, l'équation (i) doit avoir une racine double puisque les deux valeurs de q se

confondent et par conséquent que — ^ doit s'annuler.

L'équation (3) est une équation linéaire à second membre dont l'intégration se ramène à celle de l'équation sans second membre et par conséquent à celle de l'équation

' - dp aq dy

d'où

I dp

La fonction Q ainsi définie est une fonction holomorphe de y pour toutes les valeurs réelles de cette variable sauf pour les valeurs jK =jKoî y =J'o tjui correspondent aux points doubles. Pour ces valeurs la fonction Q, qui joue un rôle analogue à celui

de ^ = tangy au n'" 226, devient nulle ou infinie.

4oo CHAPITRE XXXI II.

On trouve ensuite

J dp

Cm étant une constante d'intégration, d'où

dp

Pour trouver les équations des surfaces asjmptotiques, nous écrirons

dx' dy

en attribuant aux constantes d'intégration des valeurs convenables.

Négligeons d'abord s; nous prendrons donc S =; Sq, et nous donnerons aux constantes h et/>=/?o les valeurs qui correspondent à la courbe qui a deux points doubles.

Avec cette approximation, les équations différentielles admettent comme solutions périodiques

oùj^oj ^olJKi, cj^K sont les coordonnées des deux points doubles. Nous pouvons, pour représenter nos surfaces asymptotiques, prendre le point de l'espace à quatre dimensions dont les coordonnées sont

(/> -i- a) cosa?, (/>-^a)sin^, {q -r- b) cosy, (q -\- b)s\ny,

a el b étant deux constantes positives assez grandes pour que l'on n'ait à envisager que des valeurs positives de p -+- a el q -i- b .

Les équations (5) et (6) représentent alors deux courbes fermées de cet espace à quatre dimensions, correspondant aux deux solutions périodiques.

Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques, une de la première, l'autre de la seconde famille.

Mais au degré d'approximation adopté, c'est-à-dire en négli-

P^ Po.

q = go,

y = yi

SOLUTIONS DOUBLEMENT AS YM PTOTIQU ES. 4oi

géant s, ces quatre surfaces asympto tiques se confondent deux à deux.

Les équations des surfaces asymptotiques seront en effet

/>=/»o, Fo=/i.

L'équation Fo= h admet comme nous l'avons vu deux racines qui se confondent pourj>^ =JKo et pour j/ =J^o qui ne s'échangent pas quand y augmente de in et qui sont périodiques en y de période 27c. Soient q' et q" ces deux racines; les équations de nos surfaces asymptotiques deviennent ainsi

, , ■ \ p=po, q = q\

( p=Po, q = q ■

Mais pour bien préciser la signification de ces équationSi distinguons les diverses nappes de nos surfaces. Nous avons quatre surfaces asymptotiques; chacune d'elles passe par une des courbes (5) ou (6) et est partagée par cette courbe en deux nappes, que je désignerai parles notations suivantes :

La surface de la première famille passant par la courbe (5) sera partagée en deux nappes N, et N'^ .

La surface de la seconde famille passant par la courbe (5) sera partagée en deux nappes No et N!^.

La surface de la première famille passant par la courbe (6) sera partagée en deux nappes N3 et N'3.

La surface de la seconde famille passant par la courbe (6) sera partagée en deux nappes N4 et N'^.

Alors, au degré d'approximation adopté, ces nappes auront pour équation

Ni; /'=/>o, q = q\ y>yo'^ n;; p=po, q = q\ y<yo;

N-2; p = po, q = q", jk>jo; n',; p=po, q = q", y<yo;

N3; p=Po, q = q", y>y\] n;; p=po, q = q", y<yi;

N4; p-=po, q = q', y>yi; N^; p=pç, q = q', y<yi-

On voit qu'à ce degré d'approximation, les deux surfaces

N< + N', et N/, + N', se confondent, de même que les deux surfaces No + N', etNa'+N;.

Passons donc à l'approximalion suivante et prenons

S := Sq -T- £ Sj.

Pour achever de définir S,, il faut choisir les constantes Cm-

Pour les nappes Ni et N'^, nous devons choisir ces constantes de telle sorte que les fonctions '\im se comportent régulièrement pour q^q'^ y^zy^-^ il suffit de se reporter à l'analyse de la page 466, tome II, pour comprendre que cette condition suffît pour déterminer complètement ces constantes. J'appellerai S,.i la fonction S, ainsi déterminée.

Pour les nappes N2 et N^ nous choisirons les Cm de telle sorte que les <];^ soient régulières pour q = q'^, y =yo7 et nous appellerons Si. 2 la fonction S( ainsi déterminée.

Pour les nappes No et N'^ nous choisirons les C^ de telle sorte que les ^m soient régulières pour q = q" , y=yi; pour les nappes N4 et N', les <lm devront être régulières pour q =^ q' , y=yf. Nous désignerons par S^s et Si.4 les deux fonctions Si ainsi déterminées.

Les équations de nos c[uatre surfaces deviennent ainsi

NiH-N',;

P=Po

Nî-l-N'^;

p = Po

Ns + N-

P =Po

P = Po

<^Si.3 „ «Si. 3

aSi 4 , mSi.4.

dx ' ^~ ' dy

Mais il importe d'observer que la fonction S,.!, par exemple, qui se comporte régulièrement poury=yo5 se comporte d'une façon irrégulière pour jj/=j/i; il en résulte que nos équations cessent d'être valables, même comme première approximation, dès qu'on dépasse la valeur yi.

Pour le faille mieux comprendre, je me bornerai à la remarque suivante.

Soient jk' et j'" deux valeurs dejK telles que

J'o<JK'<7i<7"- Soit Mo le point de notre courbe asjmplotique qui correspond à la valeur j'; soit M/j son z?*^'"'' conséquent; et je suppose que l'on

SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYM PTOTIQU E S. 4o3

prenne n assez grand pour que la valeur correspondante dej^ soit plus grande que y" .

La valeur qu'il faut attribuer à n dépend évidemment de £ et elle croît indéfiniment quand s tend vers zéro.

Voici en général les valeurs de j>^ pour lesquelles nos équations peuvent servir de première approximation :

Ni et N2; 7i>r>J'o; N'ietN'.; y^>y>yi — iiz.

N3 et N4; jo-H->.T^>r>7i; N'jetN',.; 7i>j>jo-

Si les surfaces N, et N^ par exemple se coupent, l'intersection correspondra à une solution doublement asjQiptotique liétérocline qui pour ^ = — ^ co sera très voisine de la solution périodique (5) et pour ^ = -f- go très voisine de la solution périodique (6).

Pour rechercher cette intersection, rapprochons les équations de N, et N;

l'intersection nous sera évidemment donnée par

^(Si.i — Si. 4)

dx

Si., — Sk4 est une fonction de x et de j-, développable suivant les puissances entières positives et négatives de

Ce qui nous importe c'est que c'est une fonction périodique de x\ elle admet donc au moins un maximum et un minimum; l'équation (9) admet donc au moins deux solutions, ce qui revient à dire qu'il y a au moins deux solutions hétéroclines.

On démontrerait de même qu'il y a deux solutions correspondant aux intersections des surfaces N/, et N!,, deux correspondant aux surfaces N2 et N'g, et deux aux surfaces N3 et N', .

L'analyse précédente ne donne pas les solutions homoclines.