Prenons par exemple

Fo = — /> — r/2-4- 2 a sin2 ^^^^^ sin2 =^1^1^ ,

Fi= [^cosa7sin(jK— 7o)sin(jK— Ji).

4o4 CHAPITRE XXXIII.

Les solutions périodiques (5) et (6) vers lesquelles tendent les solutions hétéroclines pour t= — Goet?=-(-co sont alors

X=t, p = g = o, 7= ri.

On remarquera que, pour [j. = o, F se réduit à — p — q'-. Donc, pour [j. =; o, la fonction F dépend seulement des variables de la première série p el q et ne dépend pas des variables de la deuxième série ce ely. La fonction F est donc bien de la forme envisagée aux n°* 13, 125, etc.

Nous ne nous contenterons pas toutefois de cet exemple qui prouve que les équations canoniques de la forme envisagée au n° 13 peuvent admettre des solutions hétéroclines.

En effet, les deux solutions (5) et (6) correspondent toutes

deux à la même valeur des ciuantités ^- et -r-; à savoir

'- at dt

dx dy

dt ' dt

Or, ces quantités -t-j -f- ne sont autre chose que les nombres

appelés plus haut /i, et /Zo.

Donc, nous voyons bien qu'il existe des solutions doublement asymptotiques qui pour t=^ — oo et pour ? =; -h co se rapprochent indéfiniment de deux solutions périodiqiies différentes; mais ces deux solutions périodiques correspondent aux mêmes valeurs des nombres n\ et 7^2-

Je vais donc former un autre exemple où nous verrons des équations de même forme jusqu'au n° 13, et qui possèdent des solutions doublement asymptotiques se rapprochant indéfiniment de deux solutions périodiques qui non seulement sont différentes,

mais correspondent à des valeurs différentes du rapport — •

Malheureusement, je pourrai montrer que ces solutions existent pour les valeurs de jj. voisines de i, mais je ne suis pas encore en mesure d'établir qu'elles existent également pour les petites valeurs de [Ji.

40d. Nous prendrons les deux paires de variables conjuguées

SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYM PTOTIQUE S. 4o5

OU bien encore

^i> yi'j ^2-, yii

en posant

^i = \/-i Xi cosjj ; -fii = sji Xi %\xvyi.

Ce changement de variables n'altère pas la forme canonique des équations. Nous prendrons

F = Fo(i-[JL)-+-[JiFi.

Nous supposerons que Fo est une fonction bolomorphe de x^ et de ^25 indépendante dey, et dejKo ; que pour ^, = — , ^o^ -> on ait

^ = o ^Fq ^ dx<i ' dxx '

et que pour iCo = ^ ? ^T) ^ — on ait

c/Fq __ ^

je suppose la quantité a << r .

Il résulte de ces hypothèses, que si l'on fait p, r= o, d'où F =^ F^, nos équations admettront deux solutions périodiques remarquables.

La première c[ue j'appellerai o- s'écrira

X^ = —, Xi=-, Vi— t, Ji — O,

^i = acos^ rji = asin^. ^2 = i) i^2— o. La seconde que j'appellerai a-' s'écrira

,ri=-, A, = — , V, = o, 72 = ^j

^, — 1. 7)1 = 0, ^.2 = acos^, -fi^— aèmt.

La première correspond à /i, = i, /2 2= o, la seconde à /«) = o,

/22=i; ces deux solutions périodiques ne correspondent donc

Ail n\

pas a une même valeur du rapport —

Pour définir F, je pose

^1 = 1 — rcosw, ^2 = 1 — rsinto, en attribuant à la variable /■ une valeur essentiellement positive.

4o6 CHAPITRE XXXIII.

Je suppose ensuite que (p étant une quantité positive très petite) on ait pour r > p.

où 4'(^) ^s^ ^^"^^ fonction de to, régulière pour toutes les valeurs réelles de to, périodique de période stt, et enfin s'annulant avec

sa dérivée pour to = o et pour to = - •

Comme la fonction (i) serait infinie pour ;-=ro, c'est-à-dire pour ^, = ^2=15 je supposerai que, pour /'^p, la fonction F| prend des valeurs quelconques, de façon toutefois qu'elle reste finie et continue ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres.

Il est aisé de vérifier que pour u.= i , c'est-à-dire pour F = F< , nos équations adiiiettent encore les deux solutions périodiques aet 0-'; pour la première de ces solutions on a to = o, pour la

seconde to ==:= -• a

On en conclut immédiatement qnepoiii' toutes les valeurs de pi, nos équations admettront ces deux solutions périodiques.

406. Nous allons maintenant intégrer nos équations dans le cas de UL = I (au moins en supposant que /' reste constamment !>p).

Si l'on supposait d'abord s = o, on retomberait sur le problème des forces centrales et l'intégration serait immédiate. Elle ne l'est guère moins dans le cas général.

La méthode de Jacobi conduit, en effet, à l'équation aux dérivées partielles

ifdSy I /dSy ^ (r — ir~ ^ >];(co) ^^ 1 \dr J ir^ \d<s> ) ~^ '2 r- '

h étant une constante. Posons

k étant une seconde constante, et il viendra

SOLUTIONS DOUBLEMENT AS YM PTO T I QUES.^ 407

La solution générale de nos équations est doQC

( ^1 — O'ns — (^2 — ï)-1i = /a //c -i- s(|^.

r rdr

J \/ihr- — -ik — /■2(r — 1)2 '

J^ V/2A- + 2£i|^ J r^ \/'2hr--— ik — r'^{r — 1)2

h' et k' étant deux nouvelles constantes.

Nous trouverons nos deux solutions périodiques o- et o-' en donnant aux constantes les valeurs particulières

k = O, h= — 5 k'^ik = o,

Supposons que nous voulions nous servir de l'équation (2) |)Our définir ;■ en fonction de h' -i- t; si nous donnons aux con-

stantes A" et h des valeurs voisines de zéro et —5 ;■ sera alors une

fonction périodique de i + h'. Nous poserons

le nombre n étant choisi de telle sorte que /' soit fonction périodique de u de période air. Ce nombre n, qui est une espèce de moyen mouvement, dépendra naturellement des constantes h elk.

De même -7- sera une fonction périodique de u.

Pour A" = o, on a simplement

r ^= i± \/'2.h cosu,

407. Nous avons donc deux solutions périodiques o- et o-' qui seront représentées par deux courbes fermées, si l'on convient de regarder les ^ et les 7i comme les coordonnées d'un point dans l'espace à quatre dimensions. Par chacune de ces courbes passent deux surfaces asymptotiques, l'une de la première, l'autre de la deuxième famille; nous allons voir que les quatre surfaces se con-

4o8 CHAPITRE XXXIII.

fondent deux à deux, ainsi qu'il arrivait au n'^ 403 (équation n)

quand on négligeait e.

Pour trouver, en effet, les équations de ces surfaces, il suffit de

donner à /r et à h les valeurs o et — ; il vient ainsi

(^i— i)-']i^(b — t)-'/2= ;-/«- — ('" — os

Telles sont les équations des surfaces asjmptotiques pour UL = i; on voit qu'on trouve seulement deux de ces surfaces, correspondant au double signe du second radical.

Nous supposerons que la fonction £(L qui s' annule pour w ^ o et <ji^^ - est positive pour toutes les autres valeurs de to. •

Nous allons maintenant chercher à former les équations des surfaces asymptotiques pour les valeurs de p. voisines de i .

On a

F =Fi-l-() — [jl)(Fo-Fi);

Fo et F, sont des fonctions holomorphes des \ et des r\ et, par

, 1 dr diù

conséquent, de r, co, -^ et — ^•

Les équations de nos surfaces s'écriront

S étant une fonction de r et de co, satisfaisant à l'équation aux

dérivées partielles

F = const.,

, ,, . , dr dio dS ^ I dS

ou 1 on a remplace -77 et -^ par -j- et — -j— •

Développons S suivant les puissances de i — [j.

S = So + (i- !Ji)Si + (r-iJL)2So^-..., nous aurons, en première approximation, pour les équations de

SOLUTIONS DOUBLKMENT A S YMPTOT IQ U ES. 409

uos surfaces asjmptotiqiies

jNous avons déjà trouvé

"So /— -, rr «So , / p

ar ^ ^ ' dtù ^ '

\\ reste à déterminer Si ; pour cela nous avons l'équation

ar ar ;■- «w ato

Dans le second membre -y et -i- doivent être remplacés par

^So /—, ; ^ I d^o ± J %zii f^ -. 1

-j— = i/a- — (r — I )- et par — -r— = — H; — - • t-e second membre

est donc une fonction connue de r et de to. L'équation devient

Posons

On voit que /' et y/a^ — (r — i)^ sont des fonctions périodiques de V et nous pouvons regarder S comme fonction de v et to. Notre équation devient alors

Le second membre est une fonction connue de r et de w, périodique par rapport à r.

Cette équation est ainsi tout à fait de même forme que l'équation (2) du n° 403, r jouant le rôle de x et co celui de y.

Elle se traitera de la même manière ; on déterminera par les procédés du n° 403 les quatre fonctions S,.), Si.o, S,. 3, 84./, correspondant aux quatre surfaces asjmptotiques.

On reconnaîtra comme au n° 403 que ces surfaces asymplo- H. P. - IH. 27

4lO CHAPITRE XXXIIl. — SOLUTIONS DOUBLEMENT ASVMPTOTIQUES.

tiques se coupent et par conséquent qu'il existe des solutions hétéroclines.

Mais cela n'est établi que pour les valeurs de ^ voisines de i; je ne sais pas si cela est encore vrai pour les petites valeurs de [x.

Le résultat est donc bien incomplet; j'espère cependant qu'on me pardonnera la longueur de cette digression, car la question que j'ai posée, plutôt que résolue, paraît se rattacher directement à la question de la stabilité, comme je l'ai montré au n° 400.