Q,X\ CLX^ UX II J
sera un invariant intégral du premier ordre. On peut alors se poser la question suivante : Considérons un invariant intégral du premier ordre
/(Al dxi -1- k-i dx^ -h . . . -h A/j dxn)
et supposons que la quantité sous le signe / soit une difFérentielle
exacte; quelle relation y aura-t-il entre l'intégrale de cette différentielle exacte et les intégrales des équations (i)?
Pour nous en rendre compte, faisons le changement de variables du n° 237 ; notre invariant deviendra
I du = I (Bi dy^ -f- B2 f/js -4- . . • + B„i dy,i- 1-\- C dz).
Les B et C devront dépendre des j" mais pas de z.
Si cette expression d\] est une différentielle exacte, la fonction U devra donc être de la forme
U = Uo-f-5U,,
INVARIANTS INTEGRAUX. 29
Uo et U) étant des intégrales de l'équation (i). On aura alors
dt ^
Or on a, si l'on revient aux anciennes variables Xi^
dt dxi dxi ^ ' " ' dx,i ""
Il résulte de là que
dxi dx=i dx,i
€St une intégrale des équations (i). Si cette expression est nulle, on a
et U est une intégrale des équations (i).
252. On pourrait multiplier les exemples de ce genre; je n'en citerai plus qu'un seul.
Considérons un invariant du premier ordre de la forme
/ v/2: B/ dx'i -t- 2 Z Cjyt dxi dxk = / y/*-
Soit A le discriminant de la forme quadratique <ï>. Faisons le changement de variables du n° 237, notre invariant deviendra
f/s &i dx'i^ H- 2 2 O'ik dx'i dx'k =/"/*"•
Soit A' le discriminant de la forme quadratique <ï>'.
Soit J le jacobien ou déterminant fonctionnel des x par rapport
aux x' ; on aura
A'= AJ2.
D'ailleurs A' sera manifestement (comme les B' et les C), une intégrale des équations (i).
Soit, maintenant, un invariant du ji"^^^ ordre
dxi dx=i . . . dx,i.
3o CHAPITRE XXII.
Après le changement de variables du n° 237, il deviendra
/ MJ dx\ dx':, . . . dx'n,
et MJ devra être une intégrale des équations (i).
J'en conclus que
c'est-à-dire
doit être une intégrale des équations (i).
Changements de variables.
253. Quand on change d'une manière quelconque les variables Xi sans toucher à la variable t^ qui représente le temps, on n'a qu'à appliquer aux invariants intégraux les règles ordinaires du changement de variables dans les intégrales définies simples ou multiples. C'est ce que nous avons déjà fait plusieurs fois.
Mais quand on change la variable ï, la difficulté est plus grande. Il aurait même semblé a priori que cette transformation ne dût conduire à aucun résultat.
Et en effet : considérons le système
dxi dx=, dx,i
Al A2 A/j
Introduisons une nouvelle variable t^ définie par la relation
dt dt, ~ ^'
Z étant une fonction donnée ào. X\^ x-i^ . . . ^ x,,. Le système (i) deviendra
, ^ j dxi dx-i dx„.
Supposons que les valeurs initiales x\^ x\^ . . . , .r^^représentenl les coordonnées d'un certain point Mo de l'espace à n dimensions.
INVARIANTS INTEGRAUX. ;5 1
Si le mouvement de ce point est défini par les équations (i), i représentant le temps, ce point sera, à l'époque t = 'ï, venu en M.
Si le mouvement est au contraire défini par les équations (2), t^ représentant le temps, le point Mq sera, à l'époque ^, = t, venu en M'.
Considérons maintenant une figure Fq occupée à l'instant zéro par différents points Mq.
Si le mouvement et la déformation de cette figure sont définis par les équations (i), elle sera, à l'époque ^ = t, devenue une figure nouvelle F.
Si le mouvement est défini par les équations (2), la figure F^ sera, a l'époque ti = t, devenue une figure nouvelle F' différente de F.
Et non seulement F' sera différente de F, mais elle ne coïncidera pas non plus, en général, avec une des positions occupées par F à une époque différente de l'époque t = -:.
11 semble donc que l'on ait profondément altéré les données du problème et l'on ne doit pas s'attendre à ce que des invariants de (i) on puisse déduire ceux de (2).
C'est cependant ce qui arrive pour les invariants d'ordre n.
Faisons le changement de variables du n°237; le système (i) deviendra
(i bis) dt
et le système (2) (2 his^ dti
dyi dr2 dv„j dz o o * * o Z
Z doit alors être supposé exprimé en fonctions àç,?> y et de z.
Posons alors
rdz
l'intégration se faisant par rapport à :; (les jk étant regardés comme des constantes), et à partir d'une origine quelconque pouvant dépendre desjK.
Le système (2) deviendra
(oter) clt=^ = ^= ^4yn-^^dzj^
et aura même forme que (i bis).
Soit alors
/ M dxi dxn . . . dx,ii
un invariant d'ordre n des équations (i); par le changement de variables du n° 237, il deviendra
/ M J dyx dy^ . . . dyn-i dz,
J étant le jacobien des x par rapport auxjK et à 5, MJ devra être une fonction àesy.
Alors
/ MJ dyi dy^ . . . dyn-i dz^
sera un invariant des équations (2 ter)\
j ^ dyi dy^... dy„-i dz
sera un invariant des équations (2 bis), et enfin
f^ch,d.,...cl..
sera un invariant des équations (2).
Remarques diverses.
233 bis. Considérons un système d'équations différentielles (t) dxi = Xidt,
et leurs équations aux variations
(2) d^i = :Eidt.
Supposons que les équations (i) admettent un invariant intégral du premier ordre
/ I.Aidxi;
l'expression SA/E^ sera une intégrale des équations (2).
INVARIANTS INTÉGRAUX, 33
D'autre part, ces équations (2) admettront pour solution
s étant une constante infiniment petite quelconque. En efFet, soit
une solution quelconque des équations (i); si s est une constante très petite,
sera encore une solution des équations (i), et
sera une solution des équations (2).
Il résulte de là que
doit être une constante.
Donc SAjXj est une intégrale des équations (1).
Supposons maintenant que les équations (i) admettent un invariant intégral du second ordre
/ / 'Lk.ikdxidxk- Alors
sera une intégrale des équations (2) et des équations (2 bis) que l'on en déduit en changeant les ç, en \'-. Faisons-j
£ étant une constante. Cela est permis, car ^^=£Xj est une solution de (2 bis).
Alors
sera une intégrale de (2); ce qui montre que
y* S A,7, ( X^ dxi — Xi dxk )
est un invariant intégral du premier ordre des équations (i). II. P. — IH. 3
Ce procédé permet donc de trouver un invariant d'ordre n — i , quand on en connaît un d'ordre n; le procédé peut quelquefois être illusoire parce que l'invariant ainsi trouvé peut être identiquement nul.
Envisageons maintenant un iavariant de la forme suivante
Ç^{ki-\-tBi)dxi,
où Aj et B/ sont des fonctions des x] nous rencontrerons dans la suite des invariants de cette forme.
Alors
sera une intégrale des équations (2); il en résulte que
doit être une constante.
Soit, pour abréger,
l'expression
doit être une constante, ce qui entraîne la condition
(9* (9*1 dt dt '
ou bien
Les X/, les A;, les B^- sont des fonctions des x. Il en est donc de même de
L'iden tité (3 ne peut donc avoir lieu que si l'on a identiquement
et
INVARIANTS INTÉGRAUX. 35
La première de ces relations nous apprend que <ï>) est une intégrale des équations (i).
253 ter. Soit
<i) = const.
une intégrale des équations (2 ) ; la fonction $ doit être une forme, c'esl-à-dlrc un polynôme entier et homogène par rapport aux ^/, dont les coefficients dépendent d'ailleurs des xt d'une façon quelconque.
Soit m le degré de ce polynôme. L'expression
(où <ï>' n'est autre chose que <ï> où les \i ont été remplacés par les différentielles dxi)^ cette expression, dis-je, sera un invariant intégral des équations (i).
Cela posé, soit I un invariant quelconque de la forme <ï>.
Faisons le changement de variables du n° 237, les équations (i) deviendront
dvi dz
et, si l'on désigne par 'r\iel 'C les variations de// et :;, les équations aux variations de (i bis) se réduiront à
dru dZ, W ~ dt~
Avec ces nouvelles variables, <ï> deviendra une forme <ï>o, entière, homogène et de degré m par rapport aux ■/); et à "(^; les coefficients peuvent être des fonctions quelconques des y,, mais d'après le théorème du n° 237, puisque nous avons affaire à un invariant intégral, ces coefficients ne peuvent pas dépendre de z.
Les Xi sont des fonctions des y et de z^ et l'on en déduit entre les variations les relations suivantes
CCUu î CvJi/î
dyk ' ' dz Les \ sont donc des fonctions linéaires des •/] et de Ç et le détermi-
nant de ces équations linéaires (4) n'est autre chose que le jacobien des x par rapport à y et à ^, jacobien que j'appelle J.
On passe ainsi de la forme <ï> à la forme <ï>o par la substitution linéaire (4) dont le déterminant est J.
Soit Iq l'invariant de <I>o qui correspond à l'invariant I de <ï>; on aura
p étant le degré de l'invariant.
Mais lo est une fonction des coefficients de $o et, par conséquent, une fonction des -»', indépendante de z\ c'est donc une intégrale des équations (i).
Soit M le dernier multiplicateur des équations (i) de telle façon que l'on ait
Âai dxi et que
M dx\^ dxi . . . dx,i.
soit un invariant intégral d'ordre n.
Nous avons vu au n" 252 que MJ sera une intégrale des équations (i). Donc
I„(MJ)P = IM/^
sera une intégrale des équations (i). A chaque invariant de la forme 4> correspond donc une intégrale de ces équations.
Soit maintenant G un covariant de la forme •!>, de degré/) par rapport aux coefficients de <î> et ^ par rapport aux variables Ç.
Si Co est le covariant correspondant de $05 on aura
G= CoJ/'.
Les coefficients de Co sont des fonctions des coefficients de $01 ils sont donc indépendants de ;î; il en est de même de ceux de
Go(MJ)p=CMi>.
Donc CM^ est une intégrale des équations (2); donc
INVARIANTS INTÉGRAUX. 3;
OÙ C n'est autre chose que G où les ^i ont été remplacés par dxi, est un invariant intégral des équations (i).
Voilà donc un moyen de former un grand nombre d'invariants intégraux; le cas particulier où p est nul (c'est-à-dire le cas des invariants ou covariants dits absolus) mérite d'attirer l'attention; si C, j)sr exemple, est un covariant absolu de <ï>,
fVc
sera un invariant intégral des équations (i). On peut donc former un nouvel invariant intégral sans connaître le dernier multiplicateur M.
Le même procédé s'applique aux invariants intégraux d'ordre supérieur. Soit, par exemple, un invariant intégral du second ordre
^Kikdxidxi;.
A cet invariant intégral se rattache la forme bilinéaire
qui est une intégrale des équations (2) et (a bis).
Tout invariant ou covariant de cette forme, multiplié par une puissance convenable de M, sera une intégrale des équations (2), (2 bis) et donnera, par conséquent, naissance à un nouvel invariant intégral.
De même, si l'on a un système d'invariants intégraux, on en déduira un système de formes analogues à <ï> et qui seront des intégrales des équations (2), (2 bis). A tout invariant de ce système de formes correspondra une intégrale des équations (i); à tout covariant de ce système de formes correspondra un invariant intégral des équations (i).
Soient, j)ar exemple, F et F, deux formes quadratiques par rapport aux i; F' et F', ce qu'elles deviennent quand on y remplace les \i par les différentielles àxi. Supposons que F et F, soient des intégrales de (2) et que, par conséquent,
soient des invariants intégraux de (i).
38 CHAPITRE XXll.
Considérons la forme
F — XFi
où "X est une indéterminée. En écrivant que le discriminant de cette forme est nul, nous obtiendrons une équation algébrique de degré n en X, dont les n racines seront évidemment des invariants absolus du système déformes F, F^. Ce seront donc des intégrales des équations (i).
Mais ce n'est pas tout; soient 1,, }^o, . . . , X^ ces racines, F et Fi pourront se mettre sous la forme
F = X,Af + X2A| + .
Fi= Af-+- A|+..
