SUPERPOSITIONS

Lorsqu'on étudie au microscope, en plaque très mince, des plages de feldspath triclinique à nombreuses lamelles hémitropes, la composition complexe de ces cristaux ressort en général avec une extrême netteté ; car les divers individus cristallins maclés ne

FiG. 23.

présentent pas les mêmes intensités lumineuses et ne passent pas dans leurs positions d'extinction simultanément. Cependant, durant une rotation de SGO** sur la platine du microscope, on saisit diverses positions pour lesquelles Thomogénéité se rétablit et le cristal tout entier parait alors uniforme.

Nous avons cherché à établir les règles qui président à ces positions d^égale intensité lumineuse. Dans ce qui va suivre, nous supposerons : 1* que la plaque mince ne dépasse pas 0"",01 d'épaisseur ; 2" que la biréfringence (n^ — n^ atteint au maximum 0,015. Dans ces conditions, le retard eX se meut entre et 150 millionièmes de millimètre, c'est-à-dire entre et r Xj (jaune moyen). On peut dès lors, sans grave erreur, remplacer la valeur sin* ic y par -p- et d'ailleurs on se trouve dans le cas signalé page 52, pour lequel les faisceaux des diverses courbes, afférentes aux colorations diverses, se confondent sensiblement entre eux. On suppose les niçois croisés.

Soient (fîg. 23) OMi, OMi, les positions des axes n'^i, n\t des deux minéraux juxtaposés, dont nous considérons les ellipses (E'), par rapport à la position OP de la section principale du polariseur. Posons

«Vi + «Vi = A| n rt + w'rt = A,

Nous traçons la bissectrice OQ de Tangle aigu 2®, fait entre eux par les deux axes n'^i, n'^s, et nous choisissons la direction positive suivant laquelle nous compterons les angles a», faits par OP avec OQ, de telle sorte que la section OM, (correspondant à Bi > Bt) soit dans le sens positif à partir de OQ.

On a

et pour les positions d'égale intensité lumineuse dans lesquelles

B,' sm< 2 (<u — r) = B,< sin> 2 (u +

D'où Ton déduit deux séries de valeurs «, suivant que Ton prend la racine carrée du second membre avec les signes + ou — :

(2) Signe + tg 2 « = tg 2 f ^^^

Signe - ig 2 «• = tg 2 ? L|j

Chacune de ces équations donne, pour», une séiie de valeurs à angles droits : si (, i sont les plus petits angles &>, &>', on aura :

et d'ailleurs la relation suivante lie toutes ces valeurs :

tg 2 w Ig 2 w' = tg* 2 î>

On a, par le choix des variables, posé 2 y < | et B, — B, > o. Il en résulte que, dans la série positive tg 2 e est toujours plus grand que et que 2 f>. Donc on a :

2i<- el2i>2y

En d'autres termes, pour les différentes positions d'égale inten-

■ ; ■ I ■ Lrf I • y I

'Il

Signe ♦ « > 6 > 9 FiG. 24

site lumineuse qui correspondent au signe +, le plan principal du polariseur devra être placé dissymétriquement , hors de l'angle

aigu fait par les axes v!^^ n'^,, et plus près de Taxe n'^, correspondant à la section la plus biréfringente (fig. 24). Dans la série correspondant au signe — , on a également

tg 2 w' > ou 2 «' > et < -

Mais ici :

On en déduit :

tg 2 « < tg 2 y

Les positions du polariseur, correspondant aux égales intensités lumineuses, sont encore ici voisines des axes de la section la

Sitfiae . < 5 ' < 9 FiG. 25.

plus biréfringente ; mais elles sont plus rapprochées de la symétrie que les précédentes et comprises dans les angles aigus ri^ n!^ ou n\, n'p, (fig. 25).

On peut facilement vérifier ces premières conclusions, en étudiant les plages feldspathiques à lamelles hémitropes. Pour une rotation de 360* sur la platine du microscope, on trouve en effet 8 positions d'égale intensité lumineuse à angle droit, 4 par 4, si

Ton fait abstraction des parties où les lamelles hémitropes se recouvrent Tune Vautre. La sensibilité du procédé est fort grande et ne le cède en rien à la recherche des extinctions.

Plages complexes, superpositions. — Si, pendant la* rotation, on examine les parties de la plaque où des lamelles hémitropes se recouvrent Tune l'autre, on constate que, dans quatre des précédentes positions d'égale intensité lumineuse, à angle droit Tune sur Fautre, les portions complexes de la plage se fondent uniformément dans rintensité commune, tandis que, dans les quatre autres positions, ces mêmes portions ressortent plus foncées sur Tensemble plus clair.

Ce fait d'observation nous a induit à traiter théoriquement le cas où les deux minéraux justaposés se superposent. Nous supposerons d'abord que l'on a seulement affaire à deux lamelles superposées, d'une épaisseur m^ pour le premier minéral, m, pour le second, comptée perpendiculairement à la plaque mince, et nous admettrons, comme nouveau postulatum, qu'on peut négliger l'obliquité de la surface de contact des deux lamelles, eu égard aux faibles différences que présentent entre eux les indices de réfraction principaux.

Nous pouvons dès lors appliquer les formules connues * relatives à la superposition de deux plaques biréfringentes, toutes deux perpendiculaires aux rayons lumineux. Ces formules sont les suivantes :

— sin 2 w, sin 2 w, sin 2 (w, — wj sin' it ' * ■

+ cos 2 Wj cos 2 w, sin 2 (&>, — Wj) sin^ r * ? l = (

+ sin 2 w, sin 2 w, cos* (&>, — wj sin* ic — ^ — * 'T ^ — •

— sin 2 ù>^ sin 2 w, sin* (w, — ùi^) sm* it -^ — *-^ = — •'

Remplaçons comme précédemment les sin* r. -j- par leurs arcs et développons en sin2&>j, cos 2&)j, sin 2^^, cos2&>s.

* Verdet. Leçons d^optique physique^ t. II, p. 109.

On trouve

m^* B,* (— sin 2 Wj sin 2 w, cos 2 w, cos 2 w, -f sin* î w, cos* 2 w,) + m,* B,* (— sin 2 «i sin 2 w, cos 2 Mj cos 2 «, + sin* 2 w, cos* 2 Wj) ^m.tB.« + m.'B«+2m.m,B.B.,^ ^.^^^^ 9in2«,cos2«.cos2».

y» J + sin* 2 w, sin* 2 «, + sin 2 w, sin 2 «,)

mi«B,*4-wi,*B,*— 2m,Tn,B,B,, . . « . „ -f -î — î— Ï-— 2 — ^ 2 — !—!-.«(+ sm 2w, sin 2 «, cos 2w, cos 2«,

+ sin* 2 w, sin* 2 w, — sin 2 w, sin 2 w,)

En ordonnant en B^ , B, et simplifiant, on obtient :

(4) ' ~ Ti ('"i ^* **° 2 «j + Toi Bi sin 2 6»,)*

Simplifiée au moyen des postulata énoncés plus haut» la formule ne tient plus compte de Tordre de superposition des deux minéraux et permet d'intervertir cet ordre. Au lieu de deux lamelles, on peut donc en supposer un nombre quelconque, puis réunissant ensemble les diverses lamelles de même nature et de même orientation, on appellera m, Tépaisseur totale des lamelles du premier minéral, mt celle du second; nii + nit sera donc Tépaisseur de la plaque :

Dès lors, en tenant compte des équations (1), Téquation (4) devient :

^^{iii-ihii.^^'^;^^

Telle est Tintensité des plages composées dans lesquelles les rayons lumineux traversent successivement une épaisseur m^ du premier minéral et m, du second.

Si nous supposons réalisé le cas des intensité» lumineuses égales, pour les valeurs w = « =t n ^ (signe +), on aura