VC2 4- D
On voit alors que
(4)Colg2y = ^ + Tsin(a! + ^}
OU
Les deux courbes Y^ et Y, se construisent facilement et donnent à l'œil une notion de la courbe en cotg 2 y.
'^rt
FiG. 3.
La courbe Y, est symétrique par rapport à l'ordonnée x = ^- La courbe Y, ne possède pas en général cette symétrie.
Les valeurs de cotg 2y ne passent par Tinfini que pour x = mz.
Elles se reproduisent périodiquement pour x' = 2 n tc -h a?, et cette périodicité existe avec un simple changement de signe de cotg 2 y pour af = mz + X,
Nous ne considérerons donc désormais, dans ce qui suivra, que les valeurs de x variant de à u.
La recherche des maxima de cotg 2 y revient évidemment à celles des ordonnées au droit desquelles les tangentes aux courbes Yi et Y, sont également inclinées sur Taxe des x, mais en sens opposé.
En partant de Téquation (3), on trouve :
d cotg 2 y __ dx ~"
„ cos a? , ^ .
P -r-z h Q cos a? — R sin a?
sm* X
Cette dérivée, égalée à 0, donne dans le cas le plus général une équation du troisième ordre en sin'a;, qui fournit, pour x variant de à «, trois valeurs correspondant à des maxima ou à des minima de cotg 2 y.
Il est plus commode de la laisser sous la forme suivante :
(o) cos X (Q sin* x — P) — R sin' x =z
Valeurs y. — Les courbes en y se déduisent des courbes en cotg 2 j/. En effet, la dérivée ^ s'annule avec
d coi 2 y rf Y d X "~ d X ~~
On a, en effet,
d arc cot Y = —
On en déduit que
rfy __ 1^ P cos X — Q sin* x cos a? + R sin' x ^ ' dx ~" 2 sin* x + (P + U s»"* Jc 4- R sin a: cos X)^
Suivons maintenant la courbe en y, quand x varie de à n. Pour a; — 0, cot 2 y est infinie et y = 0; la tangente à la courbe a pour valeur
dy P
dx 2
Puis les valeurs de y croissent en valeur absolue et passent au moins par un maximum bu minimum, et par trois au plus, donnés par l'équation
(5) cos X (Q sin* x — P) — R sin' x =
Les valeurs absolues de y ne dépassent 45"* que si cotg 2 y s'annule, c'est-à-dire si Ion peut avoir (équation 2)
A 4- B sin* X = i)
Pour
et
X = ^ cotg 2 y = p + Q = cot 2 e
dy i R
dx "" 2 i + (P + Q)î
EXTINCTIONS EN LUMIÈRE PARALLÈLE 4o
Pour
X =z ir cotg 2y z= ao y =
et
rfy __ __P
dx "" 2
En résumé pour construire les courbes Y, et Y„ il faut d abord calculer les valeurs A, B, C, D, en fonction des données fi, v et y.
Courbe Tj — On en déduit Tangle a que fait, avec le plan bissecteur de Tangle 2 y» le plan de la zone pour lequel y = 0.
Pour achever de tracer approximativement la courbe Y,, il suffit de calculer son ordonnée minimum égale à P.
Courbe Y, — Quant à la courbe Y,, c est une sinussoïde qui coupe Taxe des x au point x = ir — p.
L'ordonnée maximum de cette sinussoïde est égale à
Ces calculs une fois effectués, il suffit de considérer deux cas généraux :
1° L'ordonnée T est de même signe que l'ordonnée P ; y ne peut passer par aucun maximum ou minimum entre T et P (voir fig. 3) ; mais il peut y avoir deux de ces points entre et T, et il y a nécessairement un maximum entre P et ir.
11 suffit d'enregistrer la variation des angles que font avec
rhorizontale les tangentes aux deux courbes Y, et Ys pour se rendre compte de ces propriétés.
En effet, en et T, la tangente à Y^ fait des angles décroissant de 90® à une certaine valeur w, tandis que la tangente à Ys inclinée en sens contraire varie de ^ à 0*. 11 peut donc y avoir deux points pour lesquels ces angles sont égaux et de signe contraire; et pour ces deux ordonnées la courbe Y, + Y, aura sa tangente horizontale.
Entre T et P, il y a variation dans le même sens; enGn entre P et ir, la tangente à Y^ varie de à 90*, tandis que celle à Yt oscille entre un certain angle <}/ et Tangle <p. Il y a donc nécessairement un maximum de y,
2** L'ordonnée T est de signe contraire à P. Pour les mômes raisons énoncées plus haut, il ne peut y avoir pour y qu'un seul maximum compris entre T et P, et il est nécessaire que ce maximum existe.
Arête de zone comprise dans un plan principal d'élasticité. — Lorsque Tarëte de zone est comprise dans un plan principal d'élasticité, on a vu plus haut que l'on peut avoir les cas suivants :
l*" Arête comprise dans le plan de la bissectrice et de Taxe moyen
|jt = v D = o R=o
2"" Arête comprise dans le plan des axes optiques^ hors de leur plus petit angle
3* Arête comprise dans le plan des axes optiques et dans leur plus petit angle
i"" Arête comprise dans le plan de la normale optique et de l'axe moyen.
fi -f- V = ir C =0 R =
Les équations (3) et (6) se simplifient beaucoup ;
(3) colg 2 y = jT^ + Q sin x
,«. Jy 1 cos a; (P — Q sin' x) ^ ^ 5i ~" 2 sin* X + (P + Q sin» x}^
Toutes les courbes deviennent symétriques par rapport à Pordonnée a? = - et les maximum ou minimum deviennent facilement calculables.
L'un d'eux correspond' à
a; = ^ pour cot 2 y = P + Q
Les deux autres sont donnés par
(7) sin* ® = TV pour cot 2 y = 2 y/p Q
Pour qu'ils existent, il faut et il suffit que
Prenons maintenant les quatre cas énumérés plus haut.
l^ L'arôte de zone est comprise dans le plan de la bissectrice et de Taxe d'élasticité moyenne ^
On déduit des tableaux (page 12).
A -h B cos' fx + sin* fi cos* y "" C "~ sin 2 jjt cos y
C sin 2 fjL cos y
*■ Il convient de suivre les courbes sur la figure 6, page 34.
On peut remplacer les constantes {^ et y par l'angle 2 V des
FiQ. 4.
axes optiques et Tangle 6 d'extinction pour a? = |, qui est généralement connu. Dans le triangle rectangle Z B S (fîg. 4), on a
cos |x = cos V cos 6 tgO
cos Y =
tgK
Et par définition, on pose
cot 2 e = P + Q
En formant la valeur Q en fonction de 8 et de V, on a
1 — cos* V cos* 6
2 sin u cos II r^^—
1 — cos* V cos* 6 2 cos*jJt Ig 9
Remplaçant cos'|i par sa valeur en V et en 6, on trouve enfin
< — cos* V cos'Q 2 cos* V cos* 9 tgô
i — cos* y cos* 9 cos* V sin 20
et
cos«9 __ cos* V cos 2 8 4- i — cos* V cos* 9
iîH'î "" Q — cos* V sin 20
D'où enfin
{ — cos* V sin* 9 cos* V sin 2 9
Les équations fondamentales (3) et (6) deviennent donc :
^ox * « * — cos» V sin» 6 1 1 — cos' V cos* .
(3) cot 2 y = Trrr-. — ^râ = rTr~ — :rn — sjn x
' cos" V siû 2 sm x cos' V sm 2
,-. . , 1 — cos* V sin' G ....
(6) sin* X = — r =-Tî i-r » valeur imaginaire
^ ' 1 — cos* V cos* Ô ^
En effet on aP > 0, Q < 0. En valeur absolue le rapport ^ peut prendre toutes les valeurs entre . ^ ^ pour = o et sin* V pour
Il est facile de voir que l'ordonnée x = \ joue un rôle important dans les courbes en xt/; pour x = Y
. „ (1 4-sin»V)cosO
cotg 2 y = /^. ^ ■ / ^ ^ ^ 2 sm V sm
Tandis que 6 parcourt toutes les valeurs entre et ^, les valeurs de y, le long de cette ordonnée, ne se meuvent donc qu'entre et ^- A la limite, pour = î, y reste égal à quand x varie entre et V ; pour a? = V, il y a indétermination * et, quand x varie de V à |, y reste égal à | •
L'étude de l'enveloppe des courbes en xy confirme ce fait; elle est tangente à l'ordonnée x = \ au point y = t*
2® L'arôte de zone est comprise dans le plan des axes optiques hors de leur plus petit angle.
Ona7 = 0etD = 0, R =
On déduit d'ailleurs des tableaux (p. 12).
p — -^ + ^ __ cos fx cos t;
"" C ~ sm(fi + V)
R siu [1 sin r
C "" ~ sin (fx H- v)
Pour remplacer les constantes fi et t? par leurs valeurs en fonction de V et e, il suffit de remarquer ici que l'on a
ji — i; = 2V et fi + v=2
D'où |x = e + v et v = o — v
* Le plan de la zone est en effet h ce moment perpendiculaire à un axe optique.
cos '0 -f \) cos ^0 — V)
et P =
siQ20
sin fO 4- V) sin fH — V) sin26
Les équations fondamentales (3) et (6) deviennent :
cos ro -4- \) cos (0 — V) 1 sin (0 4- V^ sin (B — V. .
(3) COlg 2 y = : r^ "' -. r— -"2 SID X
' ^ ' Sin 26 sm a: sin 2 6
(6) sin» X = — cot (8 + V) col (6 — V)
L*angle 6 peut varier de V à ^ ; cot (0 — V) est toujours positive; quant à cot (6 + V), il faut poser (6 + V) > ^ pour lui donner une valeur négative, et pour que les racines en sin'x ne soient pas imaginaires.
Premier cas. — Dès lors, il convient de considérer d'abord le cas où Ton a 6 + V > ^» c'est-à-dire celui où Tarète de zone est comprise entre la normale optique et la trace d'une section cyclique.
Pour qu'il y ait maximum ou minimum de y, en dehors de la solution a; = 5 , il est en outre nécessaire que le produit — cot (6 + V) cot (6 — Y) soit, en valeur absolue, inférieur à l'unité ; en le mettant sous la forme
ces 2 y -H ces 2 Q cos 2 V — cos 2 6
on met en évidence que cette condition est toujours remplie, cos 2 V étant toujours plus grand et cos 2 6 étant toujours plus petit que 0.
Lorsque e varie de s' a 5 — ^» '^ rapport ^ varie de tg* V à 0. Pour e = 5 , P et Q, toujours négatifs, sont infinis, il y a tendance à la naissance d'un maximum pour sin x = tg V et cot 2 y restant infinie pour toutes les valeurs de j:, y reste constamment égal à — ^•
Lorsque 6 est égal à | — Y, on a P = 0,
cos 2 \ ^^^ ^2 V et col 2 y = — col 2 V sin x sin 2 >
Mais pour la valeur x = 0, P au lieu de s'annuler devient indéterminé et égal à -^, en même temps que Q sin x s'annule ; la courbe en xi/ comprend donc la valeur y = — j qui est un maximum, et toute l'ordonnée j: = 0; on est, en effet, dans cette position particulière du plan de zone, perpendiculaire à un axe optique.
Deuxième cas. — Si varie de | — V à V, P devient positif, tandis que Q reste négatif. En dehors de x = ^ il n'y a plus de maximum ni de minimum pour y. P varie de à cot 2 V et Q de — cot 2 V*àO.
Pour 8 = V, on a cot 2 ?/ = cote 2 V - — .
•^ ^ sin X
Une partie des courbes donne donc à cotg 2 y une valeur nulle correspondant ày = 45"*. Il y a en général deux points d'inflexion et un coude assez brusque pour les valeurs de x voisines de 0°.
3<> L*arête de zone est comprise dans le plan des axes optiques, dans leur plus petit angle.
On a 7 = ^, C=0
On déduit des tableaux (p. 12) :
A __ cos fx cos V
D "^ sin ( fjL — V)
^ B sin [1 sin v
D "" sin (fi — v)
Pour remplacer |i et v par leurs valeurs en fonction de V et o, on remarque que Ton a :
|x4-v = 2V etu — v = 20
D'où
cos (V + 6) cos (V — 6) ~ sin 2 e
sin (V + 0) sin (V - 9) ^ " sin 2 6
Les équations fondamentales sont encore ici analogues, aux signes près, à celles du paragraphe 2.
/o^ •« co5(V+ e)ros(V— e- 1 sin(V+ 6)sin(V— 6) . (3) col2y= ^r^^^ ^r;^+ :^^r;^^ ^ SI
sin 2 sin X ' sin 2 8
sin« X = cot (V + 6) cot (Y — 6)
sin X
P et Q sont toujours positifs, mais le rapport ^ est toujours plus petit que l*unité. Car on peut le mettre sous la forme
cos 2 V + cos 26 «17* aai j a
— TA— ^- zttm avec cos 2 V et cos 2 6 plus ^ands que 0.
cos 2 6 — cos 2 V ' roi
L'angle 6 peut varier de V à 0" ; P variera donc de la valeur cot. 2 V à 00 et Q de à 00.
4* L'arôte de zone est comprise dans le plan de la normale optique et de Taxe d'élasticité moyenne.
Onati + « = i: C = 0.
A — ces' V — sin* v ces* y
— sin 2 w sin y
sin* V
— sin 2 i^ sin y
Pour remplacer les constantes u et -y par leurs valeurs en fonction
FiG. 5.
de 6 et V, on remarquera que, dans le triangle rectangle BZN, Ton a (fig. 5) :
cos V = sin V cos 6
lp6
sm 7 =
tfj' V
On a danc
-. 1 — cos' 6 sin' V i — cos* • sin* V
„ . tg • ~~ 2 cos* V tg e
2 sin w cos V -^- '^
Igu
Ou enfin
Q __ i — cos» sin» V __ { — cos« 6 sin» V ^ ~ 2 sin» V cos»e IgO "" sin» V sin 26
On formerait de même
i — sin» 6 sin* V "" sin» V sin 2 e
Dès lors, P et Q ont la même valeur et les mêmes signes opposés que dans le cas n^ 1 (p. 18), avec cette unique différence que cos* V est remplacé par sin* V. Les courbes sont donc ici de même nature. L'ordonnée ^ = g* — ^ remplit le rôle que remplissait l'ordonnée x = \.
Résumé. — Les calculs qui précèdent nous donnent, dans le cas le plus général, une notion approximative des diverses valeurs que prend l'angle d'extinction rapportée à l'arête de zone, dans une série de plans passant tous par cette arête.
Dans le cas où l'arête de zone est contenue dans un plan principal d'élasticité, on peut tracer exactement la courbe des extinctions, quand on connaît l'angle d'extinction initial (section parallèle au plan principal d*élasticité) et l'angle 2 Y des axes optiques.
Si nous rapprochons (fig. 6) Tune de l'autre les courbes étudiées, nous obtenons un dessin qui permet en effet de prévoir comment se comportera la zone étudiée ; les applications pratiques aux minéraux monocliniques sont nombreuses et seront développées plus loin.
Appelons (fig. 6) a Tarête de zone, b la bissectrice aiguë, n la bissectrice obtuse ou normale optique, e Taxe d'élasticité moyenne.
L*un lies axes opiiques À est situé dans Ip quadrant èOn qui
rr
rr
ji
•jz-^r-'
contiendra la perpendiculaire B' au deuxif^me axe optique. Si nous désignons par 2 V récartement réel de ces axes, nous aurons :
Supposons :
I. L'arête de zone contenue dans le plan nb des axes optiques. Le plan mobile de la zone pivotera autour de cette arête et
nous appelons x Tangle de ce plan avec le plan nb. Evidemment pour x =|, le plan de zone contient Taxe d'élasticité
moyenne.
Développons le quadrant nb sur Taxe des y, l'ordonnée y mesurant langle d'extinction de chaque section, mesuré à partir de Taré te à laquelle la zone est parallèle.
Au fur et à mesure queTarête de zone occupera les diverses positions possibles dans le quadrant nb, les courbes en xy se modifieront et ne dépendront, pour V constant, que de la valeur initiale 8 de l'angle d'extinction. Or cette valeur nous est connue; car, pour X = 0, le plan mobile coïncide avec nb, et l'extinction s y fait suivant n et ô. Il suffit donc de développer sur Forigine l'arc na; son complément est égal k ab.'
Toutes les courbes ont leur tangente horizontale au point de départ, pour a: = 0, y = . Elles sont symétriques par rapport à Taxe des y ; et les points a:=^,y = Oety=^ leur servent de centres. Il suffît donc de construire les courbes entre les deux valeurs x = 0, a: = 5*
1** Tant que l'arête de zone est [comprise dans l'angle nB', 6 est un minimum, puis la courbe s'élève pour passer par un maximun
inférieur à 45° et retomber ensuite à 0° quand x = ^.
2° Quand l'arête de zone se confond avec B', le maximum précédent est égal à V et correspond k x = ^. En même temps et pour cette même valeur de a:, il y a indétermination, de telle sorte que la droite x = ^ fait partie de la courbe. En effet à ce moment le plan de zone passe par B' et e, c'est-à-dire par une section cyclique.
3° Quand l'arête dé zone est comprise dans l'angle B'ô, 6 est un minimum et la courbe croît constamment jusqu'à la valeur
y = l pour X = |.
II. L'arête de zone est contenue dans le plan de la bissectrice et de Taxe d'élasticité moyenne. — Le plan de zone est supposé coïn-
cider à Torigine avec le plan principal d'élasticité be. On y connaît Textinction initiale 6 qui se fait suivant b ou e. Supposons la rapportée à la bissectrice ; 6 est alors un maximun et la courbe décroît, sans passer par un nouveau maximum ou minimum, jusqu'à y = pour ^ = |.
La droite -^^ = 5 — V joue un rôle important dans le tracé des courbes en ary, toutes la coupent au-dessous du point y = | et à partir de ce point les courbes présentent une enveloppe jusqu'au point X = |, y = 0.
Lorsque l'arête de zone coïncide presque avec Taxe d'élasticité moyenne, on voit que la courbe est presque composée de segments de droites, y = 5, «r = ^ — V, y = 0. En effet, dans. ce cas particulier, pour ^ = « — V, le plan de la zone est perpendiculaire à un axe optique.
in. L*arôte de zone est contenue dans le plan de la normale optique et de Taxe d'élasticité moyenne. — Si Ton remplace la bissectrice par la normale optique, tout se passe comme dans le cas précédent ; la droite -r = ^ — V est remplacée par j- = V.
Directions d'extinction des vibrations ordinaires et extraordinaires dans une zone. — Dans ce qui précède, on remarquera que nous n'avons pas changé l'origine des y. Les angles d'extinction ont toujours été rapportés à l'angle fait par l'arête de zone avec la trace du plan bissecteur des plans passant par la normale à la section et les axes optiques, dans l'angle qui contient la bissectrice aiguë des axes optiques.
Les angles y désignent donc les directions d'extinction, par rapport à l'arête de zone, des vibrations dites extraordinaires dans chaque section. On sait que ces vibrations correspondent au plus grand axe n'^ de l'ellipse (E'), quand le minéral est positif, c'està-dire quand la bissectrice de l'angle aigu des axes optiques coïncide avec l'axe n^ de l'ellipsoïde (E), et inversement.
Il en résulte quelques conséquences pratiques intéressantes. Quand le maximum d'extinction d'une zone n'atteint pas ^, les diverses sections allongées du minéral agissent dans le même
sens, suivant cet allongement, sur une lame de quartz sensible ; on peut dire, dans une certaine acception, que la zone est positive ou négative.
Si la courbe en y présente au contraire des valeurs plus petites et plus grandes que ^, une partie des sections agira dans un sens et une partie dans le sens contraire.
Dans la recherche du sens d'une zone, qu'il convient toujours de rapporter à la série des plus petites extinctions possibles au voisinage de Tarête de zone, on devra se rappeler que la courbe en y, afférente aux vibrations extraordinaires, est accompagnée d'une courbe en y' afférente aux vibrations ordinaires et telle
que, en valeur absolue, on ait
Si donc les valeurs y ou y' sont toujours plus grandes ou plus petites que tt, la zone a un signe constant, et il suffît de se rendre
compte de ce signe pour une des sections, commodément choisie, de la zone. On projette sur cette section les axes optiques et la bissectrice aiguë n^ ou n^ ; si Tarôte de zone tombe dans le même angle (fait par les projections des axes optiques) que la bissectrice, la zone est de même signe que cette dernière et par conséquent que le cristal étudié ; sinon la zone est de signe contraire.
Intensités lumineuses des diverses sections d*une zone. — On sait que l'intensité lumineuse maximum, présentée en lumière monochromatique par une section quelconque entre les niçois croisés, est proportionnelle à sin* ir -—'; si Ton néglige la dispersion, la coloration d'une pareille section ne dépendra que de la valeur — E. En prenant, pour l'épaisseur de la plaque, Tunité, on a
différence des axes de Tellipse (E').
Or la loi des sinus, découverte par Biot et théoriquement développée et confirmée par FresneP, établit les relations suivantes
* Œuvres complètes, II, 293.
entre cette différence, celle du plus grand et du plus petit axe de Tellipsoïde (E), et les sinus des angles m et p faits par la normale à la section avec les axes optiques A et B (fig. 2, p. 10) :
Si Ton suppose la biréfringence faible, ce qui est presque toujours vérifié, on peut simplifier la formule précédente, en suivant une indication donnée par Fresnel ' , et poser
(0-E) = {n'g — n'p) = («g — Wp) sin m sin p
Etant données les diverses sections d'une zone afférente à un minéral déterminé; n^-Wp reste constant; il s'agit d'étudier les diverses valeurs du produit sin m sin />, tandis que la normale aux divers plans de section décrit un plan perpendiculaire à l'arête de zone.
Dans le triangle sphérique ANZ (fig. 2), on a
NZ =r 90% AN = m, AZ = [1 angle ANZ = o
