ÉQUATIONS DU MOUVEMENT D UN SOLIDE PESANT IJ

cliap. II et III. Nous renverrons à cet ouvrage pour la démonstration rigoureuse des formules ci-dessus.

» '». Exemples. — Si la surface fixe sur laquelle roule la sphère est un plan, pi et p2 ^^^^^ infinis, p' et r/ nuls. .Si donc une sphère homogène roule et pivote sur un plan fixe sous l'action de forces admettant une résultante unique qui passe par son centre, le mouvement du centre est le même que si le plan était parfaite-

ment poli et les forces appliquées réduites aux — de leurs

valeurs (Routh, loc. cit., p. \-A')).

Pour d'autres exemples, nous renverrons au Traité de Routh qui contient un grand nombre d'élégants exercices, notamment le roulement dune sphère sur une sphère, sur un cylindre, sur un cône, les petites oscillations autour dune position d'équilibre stable ou d'un mouvement stable.

i5. Équations du mouvement d'un solide pesant assujetti à rouler et pivoter sur un plan horizontal (Routh, loc. cit.,\). i \'.\).

Prenons comme trièdre de référence les axes principaux d'inertie relatifs au centre de gravité Gxyz. Soit 9 [x,y,z) = o l'équation, par rapport à ces axes, de la surface qui termine le corps. Appelons x,y,z les coordonnées du point P de contact de la surface avec le plan horizontal et a,|i,vles cosinus directeurs de la normale à la surface en P

ê m-iMhm'

le signe étant choisi de telle façon que Iv sens a, [i, V s<^'^^ ^'^ normale dirigée suivant lu verticale descendante. Supposons la iiiass<' du corps égale à 1 et appelons X,Y,/ les composantes suivant Gx,Gi/,Gz de la réaction totale du plan (réaction normale et tangentielle) appliquée au point 1* ; remanpions enliii ({ue les projections du poids sur les axes (l./yr. sont g^yg^ig^'

Mouvement du centre de gravité. — Appelons u,v,n' les projections de la vitesse du centre de gravité sur les axes nio-

h'ûesGxyz et p,q,?' les composantes de la rotation instantanée du corps suivant les mêmes axes, nous avons (d'après i3) et en remarquant que les quantités appelées dans le cas général ii'j v\ iy'',p' , q' , r' sont actuellement égales à ii^ p, «', jd, ^, r :

__. 4 ,^H' — rv = ^a -f X

['XI) ^- + ru - pw ^g^-^X

chv

-jj + p^'— qu — 8^i + z.

Mouvement autour du centre de gravité. — Les équations sont ici les équations d'Euler

A ^ + (C - B) qr = yZ - .Y

(23) B i^ + (A — C) /y? = ^X — xZ

C± 4-(B-A);.ry=x-Y-jX.

Conditions géométriques. — D'abord la ligne (a, p, y) reste verticale (n° 3)

(•24) — + ra— /)Y = o

Puis, pour exprimer le roulement, il faut écrire que la vitesse absolue du point {x,y,z) au contact est nulle

u -\- qz — rj — o

(i5) V -\- rx — pz=z o

iv -{- py — qx=: o.

On a ainsi douze équations à douze inconnues u,v,(\', p^q, r,x,y,z,\,Y,Z. Les quantités a, P, y sont connues en fonctions dex,y,z par les équations (N).

KOULEMKXT KT PIVOTEMENT D UN COUPS PESANT i^

L'intégrale des forces vives est actuellement

„2 ^ ,2 ^ ,,.2 + A/>2 + B72 + Cr2 r= ■2g {OCX + [ij + 7-) + /.

car la hauteur du centre de gravité est la projection de GP sur la verticale.

C'est ce qu'il est aisé de vérifier en s'appuyant sur la relation

ac/.r -(- pdy -{- ^^dz =z o

qui résulte des équations (N).

16. Roulement et pivotement d'un corps pesant de révolution sur un plan horizontal. — Ce problème est également traité dans liouth. Nous en donnerons une solution déduite des équations générales qui précèdent, et nous la comparerons à celle deRouth.

Imaginons un corps solide pesant assujetti aux conditions suivantes : i'^ l'ellipsoïde d'inertie relatif au centre de gravité G est de révolution autour d'un axe G:; ; -i^ le corps touche un plan horizontal fixe par une. surface de révolution autour du même axe. Ces conditions sont remplies en particulier pour un solide homogène pesant de révolution.

Représentons (fig. -i) la méridienne de la surface de révo-

lution par laquelle le corps doit toucher le plan fixe. Le plan tangent en un point P de cette méridienne est perpendiculaire au plan méridien zGP sur lequel il a pour trace PM. Soit u

la distance GM du centre de gravité au pian tangent et 0 l'angle de cette perpendiculaire GM avec Gz : t est une fonction

de e

qui est déterminée dès que la méridienne est donnée. Inversement, on peut se donner à priori la fonction f (0) : la surface correspondante a pour méridienne une courbe enveloppe des droites PM vérifiant cette condition. Il est évident en outre que, la méridienne étant déterminée, la distance PM est aussi une fonction connue de 6. Pour déterminer cette fonction, remarquons que, par rapport aux axes Gr et G:; situés dans le plan delà méridienne, la tangente P M a pour équation

3C sin G — z cos % =: f (G).

La méridienne étant l'enveloppe de cette droite quand G varie, on obtient les coordonnées du point de contact P, en associant à Féquation précédente sa dérivée par rapport à G

,r cos G + c sin 0 = f (G).

Cette dernière équation représente une droite passant par P c'est la normale Pli; sa distance au point G est égale à MP, On a donc

MP = ztf' (G).

En outre, en résolvant les deux équations ci-dessus par rapport à .r et ;3, on a les coordonnées de P.

(P) PN = x= f[i)) cos G + /*(0) sin G

G'S= z = f' (G) sin G — /• (G) cos G.

Ceci posé, plaçons le solide sur un plan horizontal lixe sur lequel il est assujetti à rouler et pivoter. Soient P le point de contact, GM la distance du centre de gravité au plan : la verticale MG:;i, fait avec G;: un angle G et on a, d'après ce qui précède, •

. GM=zt — f{%).

ROULHMENT KT J»IV0TKMI:NT D LN C0HI>S 1>KSAM' MJ

Prenons comme trièdre de référence le trièdre formé par l'axe de révolution G:;, par l'axe Gx, perpendiculaire à G:^ dans le plan méridien PG3 du point de contact, enfin par l'axe Gy perpendiculaire aux précédents. Le plan zG.r est vertical; l'axe Gy horizontal. Nous appellerons 'l> Tangle de Gy avec une direction fixe du plan horizontal. Dans ces conditions la rotation instantanée w' du trièdre mobile G.ri/z est la résultante de deux rotations, lune, rz: 0' autour de G?/, l'autre

^ nz ^' autour de Gz^. Les composantes /;', q\ r' de cette rotation suivant G.r, Gy, G:^ sont donc

jo' r=: — •]/' sin f) (0/) r/zzO'

/•' rz: 'V cos 0.

Pour fixer l'orientation du solide autour du point G, il faut connaître la position du solide par rapport aux axes Gxyz ; pour cela il suffit de connaître l'angle 9 que fait une droite liée au corps dans le plan .r(}y avec la droite Gy. La

dérivée, — ^ = 9', tle cet angle mesure la rotation propre du

corps autour de G:;.

La rotation instantanée w du corps est la résultante de la rotation w' du trièdre Gxyz et de la rotation propre 9^ autour de Gz. On a donc pour les projections/?, 7, r de w, les sommes des projections de w' et cp',

p =z p' z:z — 'Y sin 0

Equations du mouvement du centre de gravité. — Soient u, i',(i', les projections sur G.tyz de la vitesse du point G; A, B, C, les moments d'inertie par rapport à G.r, Gy, Gz ; (A = B). Les forces appliquées sont, en prenant la masse du corps pour unité, le poids g ayant pour projections sur les axes G.vyz