g sin 0, o, — ^ cos
et la réaction totale du plan appliquée au point P (réaction normale 11 et réaction tangentielle) ayant pour projections
On a alors les équations (i3).
du
dt
-\- qw — r'v =z g siri 6 -f- ^
(26) — -]-rii — pw—X
— 4- P^' — qu = — o' cos 0 -f Z .
Dans les équations générales du n° 7 nous avons remplacé q' par q et p' par/? d'après les équations précédentes qui donnent w.
Mouvement autour de G. — Nous pouvons appliquer ici les équations (l'i) du n° G, puisque le corps est de révolution autour de G:;. Nous avons donc, en remarquant que les coordonnées de P sont .r, 0, z :
^ % +(C/--ArV/--^^^' (.7) '^%- (^^'' - ^'-'^ V = '^ - ^^
dt
Condition ^coniénùque. — La vitesse absolue de la molécule au contact P est nulle.
u -\- qz -rzz o (28) V -\- rx — pz =z o
w — qx =z o.
h^liininant entre les équations ('^G), ('27) et (28), les inconnues auxiliaires X,Y, Z, /<, i-, <»•, on a trois équations du deuxième ordre délini^sant 0, o, (j*.
ROULEMENT ET PIVOTEMENT D UX CORPS PESANT il
Autre forme des équations. — Pour la comparaison de ces équations avec celles de Routh, prenons trois axes mobiles de la façon suivante : un axe Gz^ vertical ascendant, un axe Gx\ horizontal dans le plan :;G:;i, enfin un axe perpendiculaire G.y coïncidant avec l'axe déjà employé. Ce système d'axes est animé d'une rotation instantanée to'i qui s'effectue évidemment autour de G:;x avec la vitesse angulaire
-r- = o' ; dt
On a donc, pour les composantes de cette rotation suivant G.r^7j^z^
Quant à la rotation instantanée <>> du corps, elle a pour composantes suivant ces axes
p^ r= p ces 0 -\- /• sin 0 z=: o' sin 0 H qi = 7 = 0'
r^ =z — p sin 0 -f '" ces 0 z=z o' ces 0 -{- 6'.
Appelons Ui, l'i, «i les projections de la vitesse du point G sur ces nouveaux axes, on a
M, =: u cos 0 -|- •'' si'^ 0
il', z=z — U sin 0 -\- 10 cos 0.
Appelons enfin F, F', Il les composantes de la réaction du plan suivant ces axes ; \\ est la composante normale de celle réaction et la résultante de V\ V la composante tangentielle ;
F z= X cos 0 -f- Z sin 0
R z:= — X sin 0 4- Z cos 0.
Les équations du mouvement du centre de gravité sont alors
dt dt 'est-à-dire, d'après les valeurs de j/^, <i\, r
div.
du,
dt
ds>,
dt
d^^r df'
où la dernière équation résulte de ce que Z, étant la hauteur du pomt G, on a (ï'i=
Quant aux équations du mouvement autour de G, Routh les écrit sous la forme (27) en mettant les deuxièmes membres sous la forme suivante. Les coordonnées du point de contact P par rapport aux axes G.r, Gz ont été appelées .r et ::, ses coordonnées par rapport aux axes Crj\, Gzi sont alors
r, = a: cos e -f = sin 6 =: /•' (6)
-1 zn — .rsin0-f ^cos0 — — /•(0)=: — ^.
TjCS seconds membres des équations (27) sont donc
— ^Y =r — F'.GN — ~V [f (6) sin 0 — /"(e) ces 6| zX— xZ = c,F — .r,R = — F.GM — R.MP ==r-F/'(0)-R/-'(0) xY = F'.PxN m F' [/•' (0) cos 0 -f /•(0) sin 0].
Enfin les conditions géométriques (28) peuvent êtres remplacées par les suivantes. Le point P (ri, 0, z^) ayant une
vitesse nulle, on a, en projetant sur les axes G.r^ y^ z^
'»'i + PiXi — 7 1-^1 = o
c'est-à-dire, d'après les valeurs de/>>i, r/i, r^
"i = - ^Pi = VGM = r//'(0) := 07(0) (28 [»/s) v-^ = — /'iMP — />,GM = — /.PN 4- ;îGN
==-'•/' on -/^/(O)
Cette dernière équation est évidente a priori, car la hauteur t, du centre de gravité étant
Ç ^ GM = /-(O) la projection a'^ de sa vitesse sur la verticale est
Intégrale des forces vives. — Les équations différentielles du mouvement admettent l'intégrale première suivante fournie par le théorème des forces vives
équation dans laquelle u- -r- r- -i- a- est identique à u^- H-
17. Applications. — llouth étudie le cas où le solide roule de telle façon que son axe fasse un angle constant avec la verticale, puis il étudie les petites oscillations autour de ce mouvement (p. i4i)* ^^ étudie en particulier les cas où le solide est un disque ou un cerceau (p. \\i) de rayon n. Dans ce cas, on a
Ç = a sinO, /"(O) = a sin 0
La place nous manque pour traiter ces diverses questions. Appell. Roulement en dynamique. 3
i8. Recherches de M. Carvallo sur le cerceau — Le mouvement du cerceau a été récemment étudié à nouveau par M. Carvallo dans un mémoire présenté pour le concours du prix Fourneyron et couronné dans la séance publique de l'Académie des Sciences de Paris (décembre 1898).
Si nous conservons les axes Gxyz employés dans le cas général précédent, nous voyons que Gz est la perpendiculaire au plan du cerceau ; Gx, la droite joignant le centre au point P de contact, Gy l'horizontale du plan du cerceau. Les coordonnées du point P par rapport aux axes G.ryz sont alors, en appelant a le rayon du cerceau
(P) x.— a, y=o, zz=:o,
La fonction f (0) est a sin 6.
Si nous supposons le cerceau réduit à une circonférence matérielle de rayon a, on a (la masse du cerceau étant i)
A =zB zz: - a-, C zz: «2
Les expressions (28) de m, v, iv deviennent
u = o V -\- ar ^ o il' — aq ^z o.
Les équations (26) du mouvement du centre de gravité deviennent alors
a [q- 4- 77'') zrr ^ sin 0 + X dr ^
a -~ — afr r= — g cos 0 -f- Z ,
Enfin les équations (27) du mouvement autour de G deviennent
1 „ dp
2 dt
RECHERCHES DE M. CARVALLO
Éliminons X,YetZ entre ces équations, nous avons les trois équations du mouvement
(3o) - ^ f 2;--- ;•')»=- ^ ces 0
1 dt \
dr , ^ di +^"/
En remarquant que
r' z=z — p cotgO
d'après les formules déterminant p, ç,r et/?', ^/'jr', on obtient les équations (3()) sous la forme donnée par M. Garvallo.
Nous renverrons à son mémoire pour les conclusions qu'il a tirées de ces équations, relativement aux questions suivantes :
Conditions d' équilibre d'un régime du cerceau ; Stabilité d'un régime d'équilibrç ; Tendance au dérapage ; Discussion des états d'équilibre.
Nous nous bornerons à faire la remarque suivante relative à 1 intégration du système (3o).
En se rappelant que q-=.W on peut écrire ces équations
^^- + (.;. + />cotgO)^=zo
(30 3 -^ (4r-f /,cotgG)/. =^cos6
dr , dd
et on voit qu'il s'agit d'intégrer un système de trois équations délinissant />>,/• et 0 en fonction de t. La première et la dernière sont du premier ordre en /; et /• et permettent de trouver /> et r en fonction de 0.
On connaît, par le théorème des forces vives, une intégrale de ces équations
p2 f. 4,.2 | 30'2 := ^ sin 0 4- h.
L'élimination de p entre la première et la dernière des équations (3), donne, pour déterminer /' en fonction de G, l'équation linéaire
cUr , dr
^ +;^ cotgO-.= o
qui se ramène à celle de la série hypergéométrique de Gauss en prenant cos-6 comme variable ; cette équation donne
r en 6, on a ensuite 79 = — '■* "tâ ' enfin l'intégrale des forces
vives donne t en fonction de 6 par une quadrature.
Cette méthode d'intégration peut être étendue au roulement d'un corps de révolution (').
19. Problème de la bicyclette. — Une application des plus importantes des mouvements de roulement est le problème de la bicyclette. La place nous manque pour traiter ce problème; nous renverrons aux volumes publiés par M. Bourlet à la librairie Gauthier-Villars (^Equilibre et direction^ Travail), au mémoire de M. Bourlet couronné par l'Académie en décembre 1898 (Prix Fourneyron), mémoire qui a été publié dans le Bulletin de la Société Mathématique de France en 1899; au Mémoire déjà cité de M. Garvallo également couronné par l'Académie, dans lequel se trouve une théorie du monocycle ; à un ouvrage anglais de Sharp intitulé Bicycles and tricycles ; enfin à plusieurs notes de "Si. Boussinesq publiées dans les Comptes rendus (2^ semestre 1898 et i^"" semestre 1899) et dans le Journal de mathématiques de ^L Jordan, 1898.
(') Voyez lin article qui doit paraître dans les ReiuU Conli dcl Circolo Matematico di Paîermo suivi dune lettre de M. Korteweg (1900).
