CHAPITRE III
i'2. Les applications qui suivent sont empruntées à l'ouvrage de Routh : Advanced part of a Treatise on thc Dynamics of a System of Rigid Bodies (London Macmillan and Co, 1884).
i3. Roulement d'une sphère sur une surface (Routh, p. 12^). Soit une sphère homogène de rayon a et de masse 1, assujettie à rouler et pivoter sur une surface donnée et sollicitée par des forces qui admettent une résultante unique passant par le centre.
Soit G le centre de la sphère. Prenons pour axe G:; la droite joignant le point de contact de la sphère avec la surface au point G et pour axes Gx et Gy deux axes perpendiculaires quelconques : le plan ./• Gy est alors parallèle au plan tangent à la surface au p(;int de contact.
Appelons V la vitesse absolue du point G et «, t-, iv ses projections sur les axes mobiles : la vitesse V étant parallèle au plan tangent commun à la sphère et à la surface sur laquelle elle roule, on a «' = o. Soient, comme plus haut, co' la rotation instantanée du trièdre (jxyz et /?',</',/•' ses composantes, w celle de la sphère etp,q, r ses composantes.
Soient X, Y, Z les composantes, delà résultante des forces appliquées, suivant Ci./-, Gy, G:; ; la réaction de la surface se compose d'une force normale R dirigée dans le sens Gz et d'une force tangentielle dont nous ap[)ellerons F et F' les composantes suivant G.r et G//. Désignons aussi par  le rayon de
gyration de la sphère autour d'un diamètre / — -I^LiiL;
les moments d'inertie par rapport aux axes G.r, Gy, Gz sont A — B^G — A-2;
en outre D, E, F sont nuls. Appliquons les équations générales à ce cas.
\ Mouvement du centre de gravité. — Puisque G coïncide avec l'origine des axes, on a u'=^u^v'z^v, w'=:i\>. Les équations (i 3) donnent alors en y faisant M = j , d- r= o :
^ - r's' = X + F dt '
Mouvemcnt autour de G. — Dans le mouvement autour de G, le moment résultant Ga' des quantités de mouvement relatives, a pour projections
g'jc rr: k^p, a'^ m k-q^ a'^ r= A-r.
Les formules (i5) donnent donc, en divisant par A-^, et remarquant que la force X, Y, Z étant appliquée au point G, les termes S'^ , S'y , S', proviennent des moments de la réaction R, F, F' appliquée au point .r ^ o^ y =■ o, z =^ — a :
dp , , , n¥'
(17) Jl+rp-pr:^--^
Conditions de roulement. — Le point au contact .r zzzo, y=: o, ;; = — a, a une vitesse absolue nulle.
(18) u — arj z=^ o, S' -\- ap z=z o. Conséquences de ces ('(/initions. — Tirons p et q des équations
ROULEMENT DUNE SPIlÈUE SUII UNE SUllFACE l'i
(i8) pour les porter dans (17), puis éliminons F et F' entre les équations'(iGj et (17), nous avons
/ \ du , a- k-
(10) -r- — v\' = —r X 4- — ; TT '^P ''
dv , a^ ,, . A2
-, 1- ru rrr — ; 1 + -r <iq v.
Ces équations montrent que le centre de gravité se meut comme le centre de gravité dune sphère identique assujettie à glisser sans frottement sur la même surface et sollicitée : i^ par une force appliquée en G et ayant pour composantes, suivant G.r A- "^/t^
et Gy, — 2 -jT ^^P'^^ ^^ — -. TT- "7^* ; '•**' P^i' u^^ force égale
rt —\- k rt' -\- k'
à la force réellement appliquée (X, Y, Z) réduite dans le rap-
Relations géométriques. — Le centre G de la sphère décrit une surface Si parallèle à S obtenue en prolongeant les normales à S d'une longueur a. Supposons que les axes G.r, Gy soient pris tangents aux lignes de courbure de cette surface Sy. Soient en outre pi et pi les rayons d(; courbure principaux (le S, correspondant aux directions principales G.r et Gy. Nous allons calculer p' , q', r'. Pour amener le trièdre de référence de la position actuelle à une position inlîniment voisine, on peut d'abord le faire tourner autour d une parallèle à Gy menée par le centre de courl)ure Cj de la section normale tangente à G.r, puis autour d'une parallèle à G.r menée par le centre de courbure G:; de la section normale tangente à'Gy, enfin autour de Gz. Dans la preniière rotation l'arc décrit par G est udt, il est aussi pi q'dt; de même vdt = — ç),p'dt. Donc
I^.nlhi G et G' étant les positions de G aux instants r et /-+- dt, r'dt est l'angle des deux positions sucessives de Gx. Appelons yt et /> les angles que font les normales principales aux deux lignes de courbure avec la normale à la surface : d'après le théorème de Meusnier les courbures des lignes de courbure
l\ APPLICATIONS
sont et , et leurs courbures géodésiques sont
— tang'/j el — tang/.,.
Pi ' ?i
Pour amener G en G^ amenons-le d'abord de G en 11 le long d'une des lignes de courbure, puis de H en G le long de l'autre.
Dans le premier déplacement G.r tourne de l'angle — '■ — tang/iCt
Pi
dans le deuxième de tang /2 ; on a donc
{10 bis) j-' =z -- tang ;^j + — tang y^.
Tirant des équations (iS) p et q, des équations ('20) p' et q' et portant dans la troisième des relations (17), on a
21) a ~T- ■=! US' .
àt \ p, pi
Ce sont là les équations du problème.
On peut en écrire une intégrale, en appliquant le tliéorème des forces vives.
Les moments d'inertie relatifs à trois axes parallèles à G.ti/z menés par le point de contact de la sphère avec la surface sont (a^H-A-^), (fl^H- F) et Â-. Comme les vitesses sont les mêmes que si la sphère tournait autour de ce point, la force vive est
Si donc on appelle 1> la fonction des forces (X,Y,Z) on a
(«2 + /.2) (^;2 |- fj2) 4- A-2/'2 = 2* + h,
h étant une constante arbitraire.
Remarque. — Les relations géométriques (20) et ('20 bis) sont des cas très particuliers des formules de Codazzi et de Bonnet, telles qu'on les trouvera dans les Leçons sur la théorie générale des surfaces, par INL Darboux, deuxième partie, livre V,
