MÉCANIQUE ANALYTIQUE. EQUATIONS DE LAGRANGE

'20. Le roulement est une liaison qui ne peut pas s'exprimer en général par des équations en termes finis. — La position d'un corps solide enlièrement libre dépend de six paramètres qui sont, par exemple, les trois coordonnées du centre de gravité et les trois angles d'Euler. Pour exprimer que le corps roule et pivote sur une surface fixe, il faut écrire que la vitesse de la molécule au contact est nulle. Or, en appelant </i, q^, 7.3, Çv» ^35 ^6» les six paramètres, cette condition s'exprime par des relations de la forme

(33) A.dq, + A,dq, + ... + A,dr,^ = o

dont les coefficients sont fonctions de </, </i, ^o--- '/e» lirais dont le premier membre n'est pas en général une différentielle exacte, et n'admet pas de facteur intégrant,

La liaison imposée au corps ne peut donc pas s'exprimer par des relations en termes finis entre les paramètres. De là résultent pour l'application des théorèmes de la mécanique analytique, des difficultés particulières, dont la plus saillante est que les équations de Lagrange ne peuvent pas être appliquées quand on tient compte de ces liaisions exceptionnelles pour modifier l'expression de la force vive T.

Les difiicultés résultant à ce point de vue, de ce genre de liaisons, ont été signalées et étudiées par M. G. Neumann (Grundzûgc der Analytischen Mechanik, Bcrichte der Konigl. Sachs. Gcsvllschafft der Wissenschaften, zu Leipzig, 1888, p. 3a) ; par M. Vierkandt {IJebcr gleitcndc und ro/lcnde Basegung, Monatsheft fiir Matltematik und Physik, t. 111, 1892); par

)S MECANIQUE ANALYTIQUE. EQUATIONS DE LAGUANGE

M. Hadamard [Sur les mouvements de roulement, Société des Sciences de Bordeaux, 1895) ; enfin par M. Carvallo dans son Mémoire déjà cité, à propos des problèmes du cerceau, du monocycle et du bicycle et par M. Korteweg.

Prenons, par exemple, une sphère homogène de rayon a assujettie à rouler sur un plan fixe. Prenons comme axes fixes deux axes 0?, Oy) dans le plan et un axe perpendiculaire Oî^ du côté où se trouve la sphère : soient ç, tj, (^ les coordonnées du centre G de la sphère par rapporta ces axes : (^ r^ a). Menons par G trois axes G.rj y^ z^ parallèles aux axes 0\'(\ ^ et appelons /^i, q^, r^, les composantes de la rotation instantanée de Ja sphère suivant ces axes. En écrivant que le point de la sphère qui est au contact a une vitesse nulle, on a

,.„ dl; d-r^ dl

D'ailleurs ']/, o, 6 étant les angles d'Euler d'un système d'axes Gxyz lié à la sphère par rapport aux axes Gx^y^^Zy, on a, d'après des formules connues (Voyez mon Traité de mécanique, t. II, p. aS^)

j»i =r 6' cos d» -j- ©' sin 6 sin <];

«/j = 6' sin -^ — cp' sin 0 cos «j;

z=z 'Y -f- o' cos 0.

Les relations (34), exprimant que le déplacement réel est un roulement, s'écrivent alors :

(35) d'E, — a sin <]>f/G -|- a sin G cos <]^do = o dq -f- a cos 'WO -[- « sin 0 sin '\)do =1 o.

Le déplacement virtuel compatible avec la liaison est, de même, caractérisé par

(36) 0^ — a sin (^oO -f- a sin 0 cos ^00 = o 07] -}~ ^* cos vJ/oO -}- « si" 0 sin 'lioo = o.

La coordonnée ^ étant constante, la position du système dépend des cinq paramètres ^, r\, 0, cp, •]/ liés par les relations (35) dont les premiers membres ne sont pas des différentielles totales exactes.