EMPLOI DES ÉQUATIONS DE LAGHAXGE

21. Application de l'équation générale delà dynamique. — L'équation gôiiéi'ale de la dynamique

résulte du principe de d'Aleinbert combiné avec le théorème du travail virtuel. Elle exprime que, pour tout déplacement compatible avec les liaisons, la somme des travaux des forces appliquées (X, Y, Z) et des forces d'inertie est nulle. Cette équation s'applique à toutes les liaisons remplissant la condition suivante : Pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons, la somme des travaux des forces de liaison est nulle. C'est ce qui résulte de la démonstration classique du théorème des travaux virtuels, telle qu'elle est reproduite, par exemple, dans le premier volume de mon Traité de mécanique. Or, les liaisons qui consistent à obliger un corps à rouler et pivoter sur un autre corps, remplissent cette condition. L'équation générale de la dynamique s'applique donc au genre particulier de problèmes que nous traitons ici.

'22. Emploi des équations deLagrange. — Imaginons en général un système assujetti d'abord à des liaisons exprimables par des relations en termes finis entre les coordonnées des divers points. Soit, en tenant compte de ces liaisons, k le nombre des paramètres indépendants ry^, q.y, ... qu qui fixent la position du système. On aura, pour les coordonnées d'un point quelconque du système, en supposant les liaisons indépendantes du temps

(38) r =:?(7i,7,,...vO

On obtient un déplacement virtuel compatible avec ces liaisons en faisant varier qi,q>--'y qn tle 5<y,, ^q,, ... 6<//.. . L'équation de la dynamique ('i^) prend alors la forme

(39) (1\ - Q.) 0-7. + (P, - QO ^7, + ... + {Vu - Qa- ) oq, = o

4o MECANIQUE ANALYTIQUE. EQUATIONS DE LAGRANGE OÙ

ÔT

dt \ Of/r/ ) df/v.

S'il n'y a pas d'autres liaisons, les ôr/i, o</, ... or//, sont arbitraires et l'équation (39) fournit k équations qui sont les équations de Lagrange.

Mais supposons maintenant qu'on ajoute aux liaisons précédentes de nouvelles liaisons indépendantes du temps, exprimables par des relations différentielles non intégrables entre les paramètres fji, q-2"- Qk • Pour un déplacement virtuel compatible avec ces liaisons on aura

A^oq^ + A^or/^ + . . . + A/,- Iqj, = o (40) Bjor/, -f B2O7, + ... + B/, or//,. = o

LiO^j + ^/^q-> + ••• + hkOqjc=:o,

OÙ les premiers membres ne sont pas des différentielles exactes et n'admettent pas de combinaisons intégrables.

Dans ces conditions, l'équation (-59) devra avoir lieu pour tous les déplacements ^q^, cL^q-i... ^q/,- vérifiant ces conditions (40). Les équations du mouvement sont alors, d'après la méthode des multiplicateurs de Lagrange,

P^ = Q, + \A, + \B, + ... 4-X^Li (41) P^ == Q. + >^iA, + >A + ... + h U

P/. = Qk + \Ak -f A,B/, + .. . + h> La- ,

Pj, ayant l'expression ci-dessus. Ces équations jointes aux p équations

^i^^i + A.c?^, + • • . + A/,: dqi, =z o (42) B,dq, + Bldq, + . . . + B/, dqi. = o

Li^«7i + M'/î + ••• + Udqk= o qui expriment que le déplacement réel est compatible avec les liaisons déterminent </i, </o... q/. et Ai, X2... a^> .

Cette méthode a été employée par Routh (loc. cit., p. i3'^) et par Vierkandt [loc. cit., p. 47- jo).