ÉQUATIONS DE LAG RANGE /, I

ïi. Impossibilité d'appliquer directement les équations de Lagrange au nombre minimum de paramètres. — Xous venons de voir coniiiieiil ou peut utiliser les équations de Lagrange en tenant compte des relations [\o) par la méthode des multiplicateurs.

Mais on pourrait essayer de ramener les paramètres au moindre nombre possible en se servant des relations (40) pour laisser subsister le nombre minimum de paramètres dans l'expression du déplacement virtuel, et des équations (42) pour laisser subsister le nombre minimum de paramètres dans l expression de la demi-force vive

Après ces modifications les équations de Lagrange ne sont plus applicables. C'est ce que nous allons montrer rapidement, d'après les auteurs cités plus haut.

Un déplacement virtuel compatible avec toutes les liaisons imposées au système est défini pour le point x, y, z par

Iqu ^y = ,Tr '''h + TT '^'li -t- ••• + TT ^7/^-

oqu

OÙ 8^1, 8^2 ••• 8<7fcSontliés par les/?relations (40). Tirons de ces relations/; des variations ôry/.., 8/7/^. i, ... 8<//, ^, + 1 en fonction linéaire et homogène des «autres ; nous aurons, en portant dans 8x, 8y, 8^ et faisant n = k — p

OX = «,0//, -j- a^Oq^ -\- ... -{- an oqn

(43) oy = />iO<7i -f b^oq.^ + ... -\- b„ or/,i

Oz = c^oq^ + c^oq.y +...-}- r,, 07,,

OÙ maintenant or/i, or/2, ... S/jr" sont arbitraires. Portant ces valeurs de 8./', ùi/, 83 dans l'équation générale de la dynamique (37), on obtient une relation dans laquelle les coeffi-

" ^ àqic

cV/"^^+ôf ^^+-

■•"^ àq'k

4^ MÉCANIQUE ANALYTIQUE. EQUATIONS DE LAGHAXCi:

cients de ùq^, ^rjo, ... ôr/,^ doivent être nuls et on a ainsi les équations du mouvement

-'" ("' lïï + ''' -dk + '' d?)^ " ^"'^ + ''■^' + '^'^' = Q'

(v rr: i, 2..,, /i)

où nous désignons les deuxièmes membres par Q,,.

D'ailleurs, le déplacement réel étant actuellement compatible avec les liaisons^ on a, d'après (43)

dx = a^dq^ -j- a^dq^ -j- ... -j- «n <^</n

ou, en adoptant là notation de Lagrange pour les dérivées x' = a^q\ + (i.,q', + ... 4- rt„ q'^^ y' — hyq'i + />//'. + ... + bn q'n z' r= c'xq'i + c.,q', + ... + c„ </'„ .

Essayons de suivre, sur la première des équations (44), la méthode qui conduit aux équations de Lagrange. Nous supposerons, pour simplifier, que les coefficients, «j, èp <",..., "-, b-i, Ca, ... a^, bu, c,i, dépendent uniquement de q^, q.), ... (/„. (U\ peut écrire la première équation (44), (''' = 0'

(45) — Lm {a,x' + />,/ + Cl-') — Ki = Q,

où Ri désigne la quantité

\^ dt ~ -^ dt ^ dt j

Or «1, ^1, Cl étant évidemment égaux à — '- — , - , — ^ le

i)q\ Oq'i dqi

premier terme de l'équation (4;'>) est

dt\dqij

EQUATIONS DE LAGIIAXGE \i

comme dans les équations de La^range ; mais le deuxième Ri n'est pas, en général, égal à — — . En effet on a :

Ùf/i

Donc

()T ^, r ,fda, àx'\ ^ /diH dr'\

Or les coefficients «1, bi, ... étant supposés fonctions de rji q,, ... ^,„ on a

ÔT Le coefficient de .v' dans la différence R^ — est donc

Ôqi

Oî

// n est pas nul en gcncral. Les coefficients de y' et z' ont des formes analogues. D'après les valeurs de .r', y', :;' en fonction

de //'i, 7'. ..., la différence Ri — — - est donc, en général, une

forme quadratique de q'[, q'i ... q'n- Pour que Ri soit égal

à — , c'est-à-dire pour que l'équation de Lagrange puisse

s appliquer au paramètre </i, il faut et il suffit que cette forme quadratique soit identiquement nulle, quels que soient les </ et les q'. 11 résulte de cette analyse que certaines des équations employées par AL Lindelof dans son Mémoire des Acta socictalis Scientiaruin Fcnnicac^ t. XXI doivent être modifiées (').

(') Ces équations ont été roproduitiîs dans les proniiors oxon>|>laires du tome II de mon Traité de mécanique ; elles ont été eorrigées dans les exemplaires suivants : la fin du n" \:yi a été niudifiée ctun n» 45a 61s ajouté.