Jqi" Jli

OÙ qy^ est une constante quelconque, l'intégration étant faite par rapport à qi. On trouve immédiatement, d'après les conditions (48)

«2" étant ce que devient a, quand on y remplace q^ par la constante qi^. De même

Ôrti da, àq, ~Ùqi

àai

àqz '

Ô«i àqn '

àa n

~ dqà

àln àK

àhn

àq.2 àqi'

àq^

dqn

àqi

ÔCl ôc,

àq^ ~ àqi'

ÔCl

àq^

ÔC3

àqi'

ÔCl

àqn

àcn ~~ àqi. '

àq, -^ •"• àq

EQUATIONS DE LA(;RAN(;E \j

On a des relations analogues pour V^ et Wi. On peut alors écrire

0^ z= oU, -f a^^of/^ + afir/^ + ... + «°„ oqn Zy = ÔV, + b,'Zf/, + ... + h' a oqn oz = oW, + c.Sq^ |. ... | e-o,, 07» .

Ainsi, l'équation de Lagrange s'applique à 71, quand, pour un point quelconque du système, Ô.r, 3?/, Ôr peuvent se mettre sous la forme d'une différentielle totale suivie d'une expression différentielle ne contenant pas q^.

On peut dire aussi que si q.,, q^ ... q^ étaient connus en fonction de t, q^ deviendrait une véritable coordonnée, car on pourrait exprimer .r, ?/, z en fonction de qi sous forme finie.

r3ans son mémoire déjà cité M. Carvallo s'est servi d'une façon élégante des équations de Lagrange qu'il a modifiées, comme il est nécessaire, pour traiter les problèmes du cerceau, du monocycle et du bicycle : il a donné une méthode simple et générale pour le calcul des termes R^, R2 ••• ^n- H a montré en outre que l'équation de Lagrange peut être appliquée sans modification au paramètre déterminant l'inclinaison du cerceau sur le plan ; cela tient, comme nous venons de le dire, à ce que les autres paramètres une fois connus en fonction de t, l'inclinaison serait une véritable coordonnée. Mais antérieurement à ^L Carvallo, ^L Hadamard a approfondi ces questions de mécanique analytique dans des recherches d'une grande généralité, qu'en raison de leur .importance nous reproduisons textuellement à la page suivante.

Jùfiploi du principe d'Ila/nilton. — On peut d'une façon commode, déduire les équations de Lagrange du principe d'Hamilton. Il va de soi que cette démonstration tombe en défaut dans le cas des liaisons exceptionnelles qui nous occupent. C'est ce que j'ai montré au point de vue de renseignement et sans prétendre ajouter quoi que ce soit au fond même du problème, dans une petite note du Bulletin de la Société niatliéfnatique d(i France (décembre itS«)8).

■i\. Équations pouvant remplacer celles de Lagrange. — En

46 MÉCANIQUE ANALYTIQUE. EQUATIONS DE LAGIIANGE

difFérentiant par rapport au temps les équations donnant

.r', ij', z', on a

x" — «j ff'^ 4- «2 q'U + ... + «'V/',; -f . . .

où les termes non écrits dans x" ne contiennent pas les q'' , Mais alors on a évidemment

àq\ ' ' àq\ ' ' àq\

et la première des équations (44) peut s'écrire donc, en posant

J étant l'accélération du point //?, l'équation s'écrit

àl\

On a, de même, les autres équations. (Voyez une note insérée aux Comptes rendus, 7 août 1899,)

Par m. J. IIADAMARD, ^