PROFESSEUR A LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BORDEAUX

(Extrait des Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, t. V (4e série) 189.5.)

1. Ainsi que l'a remarqué M. G. Neumann(*), l'étude des mouvements de roulement occupe en dynamique une place à part, en raison de la forme analytique que revêtent les équations de liaison. La condition imposée à deux corps du système de rouler l'un sur l'autre sans glissement se traduit en effet, non par des équations en termes finis entre les paramètres cherchés, mais par des équations linéaires aux différentielles totales non intc<>rablcs.'M. G. Neumann et, après lui, M. Vierkandt {^) ont établi ces équations en adoptant une notation particulière. J'emploierai ici les notations de M. Darboux ('j qui conduisent très aisément au même résultat.

Soient, en effet, S, S'*^ deux surfaces du système assujetties à ê4.re tangentes l'une à l'autre et sur chacune desquelles nous aurons choisi un système de coordonnées curvilignes ainsi qu'un trièdre attaché à la surface en chaque point. La position

(') Grundzhge dcr Analytischen Mechanik [lîerichte ûber <Iie Verhandhtngcnder KiJnigl. Sachs. Geselhcli. (1er Wisaensch. zu Leipzig, 1888, p. 32).

{*) i'eber gleitendc und rollende lieivegung {Monatshefte fiir Mathematik und Physik, X. III, p. 47; 189a).

(') Leçons sur la théorie générale des surfaces, livre V, chap. II.

relative de ces deux corps sera définie par les coordonnées ?f,p; u'^^\ç'-^^ du point de contact tant sur S que sur S^') et par l'angle cp que font les axes attachés à S^^^ avec les axes attachés à S. Si maintenant nous voulons exprimer que les deux surfaces S, S'^^ roulent l'une sur l'autre sans glisser, nous écrirons que les déplacements infiniment petits du point de contact sur les deux surfaces sont identiques , ce qui nous donne

^^'^ ( r,du-\-n^dv={'^(^)duii)-\- ^,(i.Wr(i))sincp + (T/i)^«(i) + r,/i)Jv;i))cos9

<^ù^,Çi, 'f\,'rn ont relativement à la surface S le même sens que dans les Leçons de ^I. Darboux, ^^^\?^^^y|(^\t,[^> désignant les quantités analogues relatives à la surface S^^) rapportée aux coordonnées curvilignes «(^), v'^^K

1. 11 existe d'ailleurs des problèmes où figurent d'autres équations de forme analogue. Supposons, par exemple, que non seulement le frottement de glissement, mais encore le frottement de pivotement prenne une valeur considérable (le frottement de roulement étant toujours nul), de sorte que le pivotement soit, à son tour, rendu impossible. Cette condition s'exprime (en employant toujours les notations de M. Darboux i par l'équation

(2) rdu + r^dv -\- do — Rt/îf(i) — W^dv'^^) — o,

011 R, Ri désignent les quantités analogues à r, i\ sur la seconde surface, et dont le premier HKMiibi'c est la valeur de la composante normale de la rotation élémentaire. Dailleurs le frottement de pivotement se traduisant par un couple d'axe normal aux deux surfaces, son travail est nul si l'équation (-2) est vérifiée, ce qui permet d'appliquer les principes de la dynamique analytique.

3. En second lieu, soient une courbe et une surface du système assujetties à rester tangentes l'une à l'autre. Leur position

Sun LES MOUVEMENTS DE ROULEMENT /|9

relative sera délinie : i° par les coordonnées «, t- du point de contact sur la surface ; 2° par l'arc / de la courbe, compris entre le point de contact et une origine lixe ; 'i° par Tangle w que fait la tangente à la courbe, prise dans le sens des / croissants, avec Taxe des .r du trièdre attaché à la surface ; 4** par l'angle 0 cpie fait le plan osculateur à la courbe avec le plan tangent à la surface. L'absence de glissement, cest-à-dire l'identité des déplacements infiniment petits du point de contact, s'exprimera par les équations

r^du 4- '^M^*'-— ^^^ siu eu.

Si l'on doit écrire l'absence de pivotement, il faudra ajouter l'équation

, , , r//cosO 1/1) idii -f- l'.ds' -\- dM zz: o,

(0 désignant le rayon de courbure de la courbe), dont le premier membre est la composante normale de rotation

\. Les problèmes de cette espèce, où les paramètres </i, Vi» •'■> f{,i,+i, qui déliuissent 1 état du système sont liés par des équations linéaires

aux différentielles totales, se traitent (') par une méthode tout analogue à celle qui. est employée lorsque les paramètres sont liés par des équations en termes finis. Après avoir écrit l'expression Qi^ryi-h ...-h ^v^,t+/, ôry,„.^,, dans laijuelle

on écrit que cette expression est nulle, non pour toutes les valeurs des 67, mais seulement pour toutes celles qui satisfont aux écpiations linéaires 1*1/,.

(') Vici'kuiidt, lue. cit., p. 47->o.

Appell. Uoulcmciit en dyiiuuiiquc.

X) SUU Li:S MOUVEMENTS DE KOUl.KMEXT

Pour le cas de deux surfaces tangentes, le calcul de la demiforce vive T a été fait dans les Mémoires précédemment cités. Il se ferait aisément avec la notation actuelle, puisque les formules connues permettent d'évaluer le déplacement infiniment petit du centre de gravité et la rotation élémentaire.

5. Si les équations E/j résultaient de la différentiation d'équations en termes finis g/,, onpourrait s'en servir pour remplacer p des quantités q' par leurs valeurs en fonction des m autres dans l'expression de ï, car cela revient au fond à n'introduire dans la mise en équation que m paramètres(^), les/? autres étant exprimés en fonction des premiers à l'aide des équations g.

Mais il n'en est plus de même si les écjuations E ne forment pas un système intégrable, et la méthode suppose essentiellement (-j que la demi-force vive T a été calculée coiuinc si /es paramètres q étaient indépendants.

On peut se proposer de vérifier par un calcul direct jusqu'à quel point cette précaution est indispensable, et cette éliidr' conduit, comme nous allons le voir, à des résultats d mie forme intéressante.

Prenons d'abord, pour fixer les idées, un cas particulier : m=:'2^ pr^i. Ecrivons les équations E résolues par rapport à deux des différentielles

( a.^dq^ + f/,Vr/, — dq^ = o, (5) ,

' a^'dqi -}- ci-xdq^ — dq^ =z o,

OU, en divisant par dt,

,^,. ' \ QÂi — à',q\ -h «yVy'i — Va' — O'

(') L'élimination des paramètres r/„i + i..., y,,, : /, de rcxprossion T. .1 l'aide des équations ê, se compose, il est \i';n. de deux ()|)i'r,ili(iiis : 1° le roniplaeenieiit de ces ])ar;uiiètres eux-mêmes j)ai' leurs valeurs tirées des <'>(}uatious iiitejjfralcs i^ : •>" le remplacement des différentielles correspomlaiites par Iciii's vjilciirs lir('(>s des écpiafioiis dilVi'i'eiilielles 1^. Mnis on reconiiail ais(Mii('ti I ipie l;i prein icrc de ces (ipci'alioiis jxmiI èli'e ell'cctuée après les di llV-i'cii I iiil ions partielles, la seconde ayant clé ell'ecluée avant ces diiii'rcnli;!! ions .

{^) Cf. Vicrkandt, /oc. cil., p. 52-54.

SLU Li:S MOUVEMENTS DE HOULEMEM JI

Se servir des équations 0X^3=01 <^A=o> c'est, algébriqueiiienl parlant, ajouter à l'expression T une autre expression de la forme A:i.ylj-\~K;^I.'„ où A3, a-, sont des fonctions quelconques des q et des q' (en général, il y aura lieu de prendre I3, Av linéaires par rapport aux q', puisque T est quadratique par rapport aux mêmes quantités). L'addition d'une telle expression introduit dans chaque expression Q, un nouveau terme, à savoir la valeur que prendrait Q^ si la forme T était remplacée par A.j^o-i-Av/i". etU par o ; et cette addition ne sera légitime que si ce nouveau terme disparaît dans le résultat linal. Nous avons donc à écrire que, pour les valeurs T = A3^;i -\-\drI\ ; U^o, les équations du mouvement se réduisent à des identités.

Nous observerons tout d'abord :

1** Que si T contenait des termes du second degré au moins par rapport à «^4^.}, ^,, (autrement dit si A3, X, contenaient des termes composés linéairement avec ces quantités), la diffère ntiation partielle conserverait 0:^3, ,i/I; au premier degré, et que ces termes seraient par suite sans influence, puisqu'il y a lieu, après cette différentiation, de tenir compte des équations (j) ;

•1° Que, pour la même raison, tout le poids de la ditlerentiation partielle doit porter sur a>^3, ^', et non pas sur A3, Av

Dans ces conditions, en formant les équations du mouve- Mjent, qui sont (6) < Q, -fai^Q, + «,*Q,=o.

on voit que les termes en — - , —disparaissent et, en reiiipla-

rant «/'•,, q'., par leurs valeurs tirées des équations (V), on trouve simplement

,„^ ^i'iVl^ + UIO = 0,

7/ {X3H3 4- Xjio = o,

CM

posant

O'/j Oïl 0'/, dî3 d'/v O'/i

Les relations Hg^ro, H-, =: o expriment les conditions dintégrabilité du système (5).

Donc lorsque les équations (5) forment un système intégrablc, et dans ce cas seulement, on peut tenir compte immédiatement de ces équations dans le calcul de T.

Mais pour des valeurs quelconques des coefficients a, nous voyons que'Xs, l» ne sont déterminés que par leur rapport et qu'on peut preiidre pour X^c^/Is-^ \à/l!, un multiple quelconque delà combinaison linéaire

On peut donc se servir^ avant toute di/férentiation, de l'équation ^Q znO.

G. Les choses peuvent se passer tout différemment si le nombre des paramètres change : si, par exemple, les coefficients a dépendent d'un cinquième paramètre q.:,. Car alors les équations (j) devront être couq^létées par des termes en q'^. Ces nouvelles équations, considérées comme identités par rapport aux q' , ont manifestement un caractère algél)ri([ue tout autre que les premières et ne sont vérifiées (jti»' dans des circonstances très exceptionnelles, dont nous ne nous occuperons pas.