Envisageons maintenant le cas général, et soient
(8) à^k ■=■ 2Ji iq'h — q'k = o, {li = ni-{- i,...,in-^p)
kl
les équations différentielles de liaison.
Comme précédemment, donnons à T la valeur
'^' = y ik^iii^
su» LES MOUVEMENTS DE ROULEMENT 5'i
avec r = o. On trouve aisément, nnoyennant les mêmes rejiiarqiies que plus liant,
Q,='^-^x,„ (^ij>^^-^) {' = '» + ..... ».+/.),
/.■ = ni + 1
<'t les équations du mouvement
Q,- + I.ai'Qi = o
da.
s'écrivent, en développant — — ' , remplaçant les q'k par leurs
valeurs tirées des équations (8) et ordonnant par rapport aux q'i,
(9 > ffk Vi.k =0,. (/ rr I, -i,..., m),
en posant
d Où résulte en particulier
A tout système de valeurs des /.^ indépendant des q' et vérifiant les équations (9) correspond une? coud)inaison linéaire (^ des équations (8) utilisable avant toute diflTérentiation. Un tel système doit satisfaire aux équations
Pj,/i = o, lesquelles d'après la relation (10), se réduisent au nombre
54 St'R LES MOUVEMENTS DE ROULEMENT
^ jïi (m — 0 Ti 1 . , 1 . . ^ ,
de — ^ -. 11 y aura donc toujours des combmaissn ■(? dès
que p sera supérieur (^) a — ^ ' , et leur nombre sera au
, m [m — I ) moins de p — — ^^ ' .
Si
En particulier, on peut tirer de ces équations p
m {in — I )
des différentielles q' en fonction des autres et par conséquent, m étant le nombre des pararnètres indépendants, on peut tonjours réduire la for/ne T à ne contenir que '■ ' différentielles.
8. Pour des valeurs particulières des coefficients a, le nombre des solutions indépendantes peut être supérieur à celui que nous venons d'indiquer. Mais o/^ ne peut se sentir de toutes les équations (8) que si les coefficients de tous les à sont nuls, c'est-à-dire, ainsi qu'on s'en assure aisément, si le système (8) est intégrable.
9. Pour voir quelle propriété analytique caractérise les combinaisons -Q, nous allons étudier leur formation lorsqu'on suppose les équations E données sous leur forme générale et non résolues par rapport à une partie des paramètres.
Prenons d'abord le cas particulier par lequel nous avons commencé ; soient
^ k^dq^ + Kdq.^ + k.dq.^ + k.dq,^ — O, ^ Bidqi -f B./r/, 4- B.,dq., + F,,dq, = o
les équations didercnlielles, et, partant de T =^ly£ -^ ^^B
(') D'après ce qui précède, on voit qti'on doit avoir soin de compter au nombre des paramètres ceux-là mômes dont les différentielles ne figureraient pas dans les équations E, s'ils entrent dans les coefficients a de ces équations.
Tmo, formons les expressions Q/, en négligeant toujours d'écrire les dérivées partielles porlant sur a, a. Nous trouvons, en multipliant par dt.
Q,dt =z X,dl + BidiJ. + >. V dr,„ ( <^^ )
Nous avons maintenant à écrire que l'expression
(i2) (QiSr/i + Q,oq, + Q,8r/, + Q457,) rff
est nulle toutes les fois que les 67, d'une part, et les dq, de l'autre, vérifieront les équations (i i'). Nous voyons immédiatement qu'en vertu de ces équations les termes dX, d^ dispai-aissent de l'expression (1-2), laquelle prend la forme simple
10. Une première interprétation géométrique nous permettra d'écrire immédiatement l'équation qui relie a et ijl.
Considérons en effet dq^y dq-i^ dq^, dq-^ ; 8^^, 8^2» ^îs» ^Çii comme représentant les coordonnées homogènes de deux points de l'espace ordinaire. Les expressions dqi^^qi — dqi Bq,i représentent les coordonnées pliickériennes de la droite qui joint ces deux points, c'est-à-dire (à cause des conditions imposées aux ^etauxô) de l'intersection des deux plans représentés par les équations (n'). H suffit de substituer les coordonnées dans l'équation ^B = o, qui est celle d'un complexe linéaire auquel doit appartenir notre droite, pour obtenir la condition cherchée
OÙ les indices //, /, k, l sont les indices i, 2, >, \ déplacés par une quelconque des permutations alternées.
II. Dans le cas général où les m -\- p paramètres sont reliés par les p équations.
/ o>f = Ak/i' -|- ... -f A„, + j,fj'm ^j, =z o,
Ajrfr/i + ... 4- A,„ + ^.dq^n + p = o,
7 A,dq, + ..
) B,dq, + ..
indqi + ... + K, +pdqn, + j, — o, nous aurons à traiter de la même manière l'expression
(QlOr/j 4- ... + Qm + }>Oqm +i>) dt
formée dans l'hypothèse U = o ; T = ).^ + .uc6+ ...-}- cj^ et qui devient
l ^ J I \oyA 07/ / \U7/, 07/ /
+ ^ ( ÎE"^ — TT^ 1 I (^7/' ^i — dqioqh ) .
Si nous supposons que dq^, dq„i^j, dune part, ùqi, ...,
S^wi + }> de l'autre représentent des coordonnées homogènes dans l'espace à /;/ -+- p — i dimensions, les expressions, dqh^^Ji — dq; ôr//j sont les coordonnées de la droite joignant les deux points ainsi définis. Les équations (i5') représentent, pour ;/?=2, une droite (^) qui doit, par suite, appartenir au complexe déiini par l'équation ^=0, et pour /// > y. une multiplicité linéaire (/// — i)"p'* dont toutes les droites doivent appartenir à ce complexe. Gomme une telle multiplicité con-
(') Nous ne parlerons pas, bien entendu, du cas de /« = i. pour lequel les équations (i5') se réduisent ù des équations différentielles ordinaires.
SUR LES MOIVEMEMS DE HOULEMENT i>^
lionl — droites a coordonnées linéairement indépendantes, nous retrouvons bien le nombre de conditions précédemment obtenu.
1*2. Considérons maintenant les paramètres q eux-mêmes comme les coordonnées (al)solues) dun point dans l'espace à m -\- j) dimensions. liCs équations (i 5') pourront être considérées comme les équations dune multiplicité plane m"i'^* à laquelle devront être tangentes toutes les courbes passant par un point déterminé M et satisfaisant à ces équations. Une surface (V) à m dimensions tangente en M à cet hyperplan sera un lieu de courbes vériiianl, uk point M, lesdites équations différentielles.
Nous pourrons, pour fixer les idées, supposer les différentielles deX. 5 prises sur des courl)es appartenant à cette surface et, en désignant par /, w, v, ..., m- un système de m coordonnées curvilignes sur {V\, poser d = dt-- ; ^ = du - .
Or, en désignant par dW la première des différentielles (lal'). l'expression j^, pour
A = I, |jt. m V =: ... m a m o,
se réduit à dù\ — ^d\ .
L'équation ^ z=. o ne sera donc une des combinaisons
, , , . dh\ — hi\ , AI
clierchees que si est nul au ])()int Ai.
dl du
Donc une combinaison (^ est caraclériséc par ce fait qu'elle est différentielle e.tdctc^ en un point quelconque ^f, sur la surface (!S) correspondante, en entendant par là que' les conditions par lesquelles s'exprimerait l'intégrabilité de la diffé- HMitielle d\ sur (2) sont vérifiées, non en tout point de cette surface, mais au point M ; ce qui vient confirmer les évaluations précédemment obtenues, puiscpu; ces conditions sont au
, /// (/// — I nombre de — ^ .
•JL
Autrement dit encore, l'intégrale / r/V, prise le long d'une courbe fermée tracée sur la surface (2) au voisinage du
point M est, non pas identiquement nulle, mais infiniment petite d'ordre supérieur par rapport à un petit élément de surface (à deux dimensions) limité à cette courbe.
i3. Le cas de deux surfaces roulant l'une sur l'autre correspond à m =::i, p=z'2. 11 n'existe donc pas en général de combinaisons ■<5', et on voit immédiatement qu'il n'en existe même jamais.
Par contre, le cas où deux surfaces roulent l'une sur l'autre sans pivotement [conditions représentées par les équations (i) et (2)] et pour lequel m = -i^p = 'i^ offre deux pareilles combinaisons. Il est bien remarquable que ces deux combinaisons ne sont autres que les deux équations (i), celles qui expriment l'absence de glissement.
Si nous employons en effet l'interprétation géométrique du n'' II, les quantités
(hji =z du, dq., = Jr, dq.^=: du'^\ dq.^ zzz c^vU), dq.. z=z do
étant des coordonnées homogènes dans lespace à quatre dimensions, les équations (i) et (2) lesquelles, en posant
cos o
■M"! sin
Xi = ïi^^^ cos o — r^i(^) sin cp,
Y ::= if^) sin o + t/i)cos o, Yi m ^i'*' sin o -j- rji(*) cos es,
s "écriront
' Ai6?7i 4- A.f/r/, -f A.;J</., -{- A^dq.^ + AgC^r/^ = ^du
I 4 î^Jv- X,/,/[i) XiJv'ti) =: o,
] B,dq, + B,dq, + B,dq, + B.dq, + B,^7k = ^^«
I + ■r^.dv — Ydiii') — \\ds>W = O,
' Cidqi 4- C.ydq^ + C^dq. -f C;^dq,^ -f- C..dq.. =z rdu
-f- /•id'v' — Rc?« — Bidv -\- do zn o,
déliniront une droite dont les coordonnées seront les différents déterminants que l'on déduit du tableau
Ht - X - Xi o ft 'fii — ^ — Yj o
SUR LES MOrVEMEXTS DE IIOULEMEXT
Désignant par |///| le déterminant ol)tenii en supprimant les colonnes de rang //, / et rangeant les autres de telle façon que l'ordre des cinq indices ainsi disposés dérive de l'ordre naturel par un nombre pair de transpositions, les coefficients de 1, [J- dans l'expression deviendront respectivement
Les coefficients de dq^, dq.y. ne dépendant que de ^j, q-i ; ceux de r/</:j, dqj, étant indépendants de q^, q.^^ et ceux de dq-^ nuls ou constants, les seules combinaisons d'indices que nous ayons à considérer sont
hA =
auxquelles correspondent respectivement les déterminants
i.l^XY, -YX, ;
?^iX
Dailleui's les coefficients des équations {i^") satisfont aux relations différentielles (•)
ou
ôx
&f, cVv, ,.r i,.
Ov du "' " '
XR„
Y îlI-X
(') Darbnnx, /«r. «//.. j)
Go SUR LES MOUVEMENTS DE ROULEMENT
ce qui nous donne, pour les coefficients (i8), les expressions
- '-Ta) (XY,
-^'xj + (
YR, — RY,) (Jr,,
-YX,)+(RX, -XR,)(|r.^-r,5,)
lesquelles s'annulent identiquement.
Notre conclusion est donc établie : lorsqu'il y a roulement sans pivotement, les équations du roulement peuvent être utilisées dans le calcul de T.
14. Si nous formons pareillement le coefficient qui correspond à la troisième équation, nous trouvons simplement
lequel ne s'annule (puisque XY^ — YXi = ç^'-r/^') — ^^'N''^) que si Ion a
àr^ àr àn^àj}-
au ô*' au à^'
i^i-^^i ~Ç^)^/')-H/^)rU'-
c'est-à-dire si les deux surfaces sont a courbures constantes et égales.
Dans ce cas, en effet, les équations (i) et (2) forment bien un système intégrable. Pour s'en rendre compte, il suffit de remarquer que dans le cas du roulement sans pivotement, les lieux du point de contact sur les deux surfaces ont même courbure géodésique. Or ici les deux surfaces sont applicables sur la même sphère et nos deux lignes correspondront sur
su» LES MOUVEMENTS DE ROULEMENT Oi
cette sphère à deux lignes égales. 11 existe donc entre les para- Hjètres a, v ; «^^^, t^^*^ du point de contact les relations (contenant trois constantes arbitraires) qui définissent une rotation (ou plus exactement une symétrie) de la sphère. Quant à l'angle 9, angle que fait Taxe des x du trièdre attaché à la sphère au point transformé par la symétrie avec la nouvelle position de Taxe des X primitif, il s'exprime en fonction de m, i- et des mêmes constantes. Les trois relations ainsi écrites sont les intégrales du système différentiel.
ij. Le fait qu'une courbe sphérique est déterminée quand on donne le rayon de courbure géodésique en fonction de l'arc est presque évident a priori. Il se ramène d'ailleurs immédiatement à des considérations cinématiques à l'aide d'un trièdre trirectangle ayant son sommet au centre de la sphère, une arête aboutissant en un point de la courbe et une face tangente au cône qui a pour base cette courbe et pour sommet le centre. L'extrémité sphérique de l'arête normale au cône décrit la courbe sphérique polaire de la première et les tangentes aux deux courbes sont parallèles. En supposant, pour simplifier,
ds le rayon de la sphère égal à i, le rapport — des arcs de la
courbe primitive et de la courbe polaire est égal au rayon de courbure géodésique o,j. Or, si l'on prend pour variable indépendante l'arc s, on voit ({ue la rotation instantanée du
(Is trièdre a pour projections sur les arêtes — ^ ,0, 1 . Le mouve-
ds
ment de ce trièdre est donc connu quand on donné la courbure
géodésique en fonction de l'arc.
• I . 1 ' ' 1 • . ds . , ,
11 est a reiuarquer que 1 égalité pj^ = -j— donne une démonstration immédiate de la proposition : Quand deux figures sont polaires l'une de l'autre sur la sphère de rayon i, l'aire de chacune d'elles est égale ^ à la demi-sphère près ^ au périmètre de l autre, si du moins Ion compte les arcs comme fjositifs on négatifs suii'unt que les tangentes correspondantes
des deux courbes sont de même sens ou de sens contraires. Car l'intégrale / — rr: / j da se réduit alors à / ds^.
iG. Un mouvement de roulement très simple est celui dun plan indélini roulant sur une surface fixe, en l'absence de forces accélératrices. Par plan indéfini, nous entendons un plan sur lequel des masses sont disposées à des distances très grandes les unes des autres, de manière que les moments d'inertie principaux soient très grands. On peut même supposer des masses extérieures au plan et liées à ce plan, sous la condition que le centre de gravité soit sur le plan et l'ellipsoïde central de révolution autour de la normale au plan, de sorte que, m désignant la masse du système, les moments principaux d'inertie seront mk^, mk- et "kmk^, où k- est très grand. D'après cela, nous pourrons négliger les termes où An'entre pas en facteur vis-à-vis de ceux qui le contiennent et réduire la force vive iT à la force vive de rotation autour du centre de gravité
(19) ^> — (7^«' + Pi^'f + ('/«' + -71^' + '^ (?' + '•"' + '-1^')'.
L'équation relative à la variable o se réduit à
Quant aux équations relatives à u, v, elles devraient, en vertu des équations de liaison qui s'écrivent
( \du -\- z,\.dv ■=. dx cos o — dy sin o, ^~ r^du -{- r^^dv =. dx sin cp -|- ^J cos cp
(x, 1/ désignant les coordonnées du point de contact dans le plan mobile), être combinées linéairement avec les équations relatives à x, y. Mais les premiers membres de ces dernières^
SUR LES MOUVEMENTS DE IlOl LEMEN r ()'i
ne contenant aucun ternie en A-, sont négligeables ; on peut donc écrire
\dt au Ou )
Ces é((uations ('^-a), auxquelles, en vertu de l'équation (20), on peut adjoindre l'intégrale des forces vives, déterminent w, v. Elles ne contiennent comme éléments caractéristiques de la surface que les rotations, c'est-à-dire des éléments (jui ne dépendent que de la représentation sphérique.
Posons, comme à l'ordinaire,
(2j) ffu' -f ffy=^vos 0,- pu' J^ p^s'' — —~ sinO,
où r; est 1 arc de la l'cpi-ésenlalion sphérique de la trace de roulement sur la surface, 0 l'angle que cette représentation sphérique fait avec l'axe des x du trièdre de la surface. L'intégrale des forces vives, simplifiée à l'aide de l'équation ('20), se réduit à
D'autre part, les relations dillerenlielles connues (îutre les rotations permettent de transfoi'mer les deux écjuations (jta).
Dans la première, on remplacera — ,—, —i- par leurs valeurs
àii du ()(i
dp , àq , àr ,
-f- -h rq^ — qi\, -L -H pr^ — rp^, — -r ^/^i — pq^, et, eu
opérant d'une façon tout analogue sur la seconde, ces équations s'écriront respectivement
P 1t (/^"' + /^^''') + 'I ^ ('/"'+7iO = (/^7i — 7/^1)^'' ('■"' + ''/ — k\ Pi j^ ipi^' 4-/^1*'') + 7i -^-^ ('/"' + 7i^ ■') = — (/^7i — V/^i) "' l''"' + '-i^'' — ^^^^•)»
ou, par une combinaison linéaire immédiate,
lesquelles, en vertu des équations (■ïi) et (•^'»), se réduisent à la seule
Le premier membre exprimant la courbure géodésiquc de la représentation sphérique, cette représentation sphérique est un cercle, cercle décrit d'un mouvement unilorme, d'après l'équation ('^4)'
Quant à l'angle cp, il est donné parla condition, déduite de la combinaison des équations (.io), (vi")), que 0 — cp, c'est-à-dire l'angle de Taxe des x du plan mobile avec la représentation sphérique de la trace de roulement, croisse proportionnellement au temps, ou encore que la composante de pivotement çp' -H ru' -h r^v' soit constante. >
Enfin les équations (aij font connaître .r et y par des quadratures. Le lieu du point de contact sur le plan mobile peut d'ailleurs être considéré comme délîni par son arc qui est le même que celui de la surface et l angle de la tangente avec l'axe des .r du plan mobile, qui est co — 9, c'est-à-dire la somme de w — 6 et d'une quantité proportionnelle au temps.
SUR LES MOUVEMENTS DE IlOULEMENT 6j
17. Lorsque la surface donnée est une sphère, les traces de roulement sur le plan mobile sont également des cercles, puisque w — 6 est nul et que l'arc de courbe et langle w — o sont tous deux proportionnels au temps. On voit aisément que ceci ne peut se produire pour d'autres formes de la surface donnée.
En général, deux surfaces différentes peuvent-elles donner les mêmes traces de roulement sur le plan mobile ?Nous pouvons voir que cela est impossible, du moins si l'on demande que la correspondance des points homologues sur les deux surfaces soit la même dans tous les cas. En effet, les deux surfaces devraient être applicables l'une sur l'autre. Par suite, entre les deux représentations sphériques existerait une correspondance ponctuelle conservant les aires et transformant les cercles en cercles. Il est clair qu'une pareille correspondance ne peut être réalisée que par une simple rotation de la sphère, et nos deux surfaces pourraient être considérées comme applicables l'une sur l'autre avec parallélisme des plans tangents ; ce seraient donc deux surfaces minima associées, solution inadmissible dans notre problème, où ne peuvent figurer que des surfaces convexes.
18. Le cas dune ligne roulant sur uns surface est celui de ni ^= 1, p ^=^ 1, puisque le paramètre 9 n'entre pas dans les équations de liaison. Pour
^J = ^U' -\- 5,/ /' CCS M,
•/^ ■=. rjt' -\- Tjiv' — /' sin eu,
Ifijiialioii (i '1) se réduit à
(;f,i — T,;i) (X sin w — jji ces r.)) = o.
Le fadeur fr,i — y,;, étant essentiellement différent de o, l'é- (jualion quil est perinis dutiliser est
tO) (;m' -f- ;ir') cosfu -|- (■'jm' -f- r^l\'') sin &> — /' =: o,
c'est-à-dire qu'<'//(' c.r/jrùuc l'absence de glissement longitudinal . Appkll. Roulemont en dynamique. ')
19. Prenons comme exemple le cas t une droite roulant, sans être soumise à aucune force, sur une surface, où le point de contact décrira une certaine ligne L. Sur cette droite, soient des masses de somme m, distribuées dune façon quelconque, dont nous pourrons toujours supposer que le centre de gravité corresponde à / = () et dont le moment dinertie principal sera mP.
La force vive de rotation autour du centre de gravité sera
,,/diY
en désignant par cU l'angle infiniment petit dont tourne la droite. Quant à la vitesse du centre de gravité, comme nous avons le droit de faire abstraction du glissement longitudinal, nous la considérerons comme se composant : 1° d'une vitesse transversale
/ (w' -\- i'/-' 4- 7*1 k'') -[- (;«' -|- ;,v') sinto — (r,«' -j- t,,v'') ces 10 ;
2*^ dune vitesse normale
l[{pu' -\- p^v') sina> — {qu' -\- q^) costo].
Son carré sera donc
' ri ' \ 2
^^[-Tl\ 4-2/ ((•/-{- ru' 4- i\v') [(;«' -j- i,v'') sin w — (r,^' + t,,v')cos tu]
dt ^
dont le dernier terme peut être négligé, comme étant homogène et du second degré par rapport aux premiers membres des équations de liaison. On aura donc
1 ff« '
\ -f- 2/ (oj' -f- ru' -|- r^v') \{hi' -\- H,v'') sin co — {r^u' -f- r^^v') cos to].
Les équations différentielles à écrire sont au nombre de deux, dont l'une peut être remplacée par celle des forces vives
( {k- -f- ^"j 1 [ipfi' + Pi'''') ^^^ ^^^ — (7'*' + '/i^') ^^^ ^T ^^^' ( 4- (0/4- ru' + r,v')-j = a2.
Pour la seconde équation, nous prendrons celle qui est relative à tu, pour laquelle il n'y a qu'une seule expression Q à calculer, puisque la différentielle doi n'entre pas dans les équations de liaison. Nous avons ainsi, en tenant compte des équations «^ = o, -^ = o,
\ li '^'^■' + ^'^ ^■'^' + '■"' + '■'"')J- ^^'^ + ^'^ t^/^" +^1"') «^"^
^^9/ 1 — U/ii' + 71^') cosw] [i pu' + /?,v'') cosw
-}- (7"' -4- 7,r') sin (o] — //' [tu' -\- ru' -{- r^) z= o
Il faut adjoindre les équations
/ zdu 4- ^if/r =1 dl cos w, f T///f -j- T,,avrr a/ sin w,
lesquelles expriment que / n'est autre que l'arc de la ligne L et 0) l'angle de cette ligne avec l'axe des .r. L'équation des forces vives nous donne
». , , » a sin m (0 -f- '"W + ''i^ =
où m est l'angle du plan osculateur à L avec la normale à la surface. Si alors nous remarquons que la quantité
{ pn' -f- py. cos (I) -f- ((jn' + fjii'') sin w
dl /dw I \ , . , .
représente — I — 1, nous voyons que l équation ('li)} se
réduit à
X cos m
La droite roulera donc sur une section plane de la surface.
20. Si le roulement est assujetti à avoir lieu sans pivotement, le nombre des combinaisons -G devient égal à deux. Il est presque évident a priori (en considérant la ligne comme limite d'une surface] que ces combinaisons sont précisément les équations du roulement. C'est ce que l'on vérifie immédiatement d'après la forme des équations (3) et (4). Si, en effet, pour fixer les idées, on désigne encore par q^, q^, ^3, <7v, q^ respectivement les variables u, v, l, w, 0, on voit que tous les termes des expressions (18) contiennent des facteurs nuls.
