H) QUELQUES FORMULES (GENERALES
point nii. Or les coordonnées /"i,?/!,:!, de /«i par rapport aux axes O.ryz sont
On a donc, en appelant .1,,^, .1,,,/, J,,- les projections de l'accélération cherchée Ja
J„ = ^ + ^ + „' + (c + V„,) ,,■- (h + V,.,) r'. .. Mais le point O^ étant lixe dans l'espace, on a
-JJ- +fi -\-qc —rb—o,...
Donc enlin
fJY
3az= -rr- -\-pyai,—q^ai
5. Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe. — Imaginons un corps solide mobile autour d'un point fixe O sous l'action de forces données Fi, V^, Fg Appelons w la rotation instantanée du coi^ps à l'instant t, rotation représentée par un certain vecteur Ow. Rapportons le mouvement du corps à un trièdre Oxyz de sommet O animé d'un mouvement connu : appelons, comme plus haut, w' la rotation instantanée du trièdre au temps t. Nous désignerons par p'^q'^ les projections de oi' sur les trois axes, et par p,q,f' celles de oj. Le point O étant lixe, les quantités u', w', i%'' sont nulles.
Moment résultant des quantités de moui>emcnt. — Une molécule m du corps de coordonnées /',;/, r- possède à l'instant ; une
\ar
=: rx
—py
— (jX.
MOLVKMKN T I) LX CORPS SOLIDE AUTOUR D UN POINT FIXK 1 l
vitesse absolue Va ayant pour projections sur les axes mobiles, d'après les formules connues pour les rotations,
Construisons le moment résultant Oa des quantités de mouvement des divers points du corps par rapport au point O. Le moment de la quantité de mouvement du point m, par rapport à O, a pour projections sur les axes
c'est-à-dire
m [(j2 | -2)^ ^.yfj xzv\,...
En appelant cr^., '7^,t- les projections de Ot sur les axes Ox, Oy, 0:; on a donc
or.^ = Sm [ (j2 |- -2) ^ ji^yf^ jczr] , . . .
Posons
A =: Sm (j2 ^ -2|^ B v,„ (-2 | ^2^^ c = ^,,^^'^2 ,^2^
(7) D = v/wj^, Ez^'^nixz, FmVlm^j;
il vient
(8) n,j=^Bq.-\h'—Vp 7z = ^''* — I^/y — I^<7.
Dansées lornmles A, B, G sont les moments d'inertje du corps par ra[)p()rt aux axes Oxijz et 1), K, V les produits d'inertie par rapport aux mêmes axes. Gomme le trièdre 0;ri/z est suf>posé animé d'un mouvement quelconque dans l'espace et dans le <-orps, ces six quantités varient avec le temps.
Force l'âr dit corps. — La (bMiii-loree viveT= — — — ^est
•2 donnée par la formule;
ri QUELQUES FORMULES GENERALES
d'où, en développant,
(9) 2T = A/?2 | Br/2 -f Ci'i — 'iJ)qr — -iErp - iVpfj.
on peut vérifier que l'on a
, , ÔT ÔT ÔT
^ ' àp ^ àq Ùr
Moment résultant des forces. — Soit OS le moment résultant des forces appliquées au corps par rapport au point O : Sj, Sy, S- ses projections sur les axes. Ces quantités sont respectivement les sommes des moments des forces par rapport aux axes Ox, Oy, O:;.
Equations du mouvement. — D'après une interprétation géométrique du théorème des moments donnée par Resal (Voyez mon Traité de mécanique, t. II, chapitre xviii), la vitesse absolue du point a est, à chaque instant, égale et parallèle à S. Nous allons écrire que les projections de la vitesse absolue de a sur les axes O.vyz sont égales à celles de S. Or le point a ayant pour coordonnées a^., (7^,53, les projections de sa vitesse absolue sont données par les formules (2) où on remplace ./",?/, 3 par a ,<^,,, a- et u', v', i\'' par zéro. On a donc les équations du mouvement
d(Tj
Dans ces équations a^., a,j, a- ont les valeurs (8) ; et il faut
remarquer que dans le calcul de ' , ... il faut tenir compte
de ce fait que les coefficients A,B, ... sont en général variables avec t.
()■ Cas particuliers. — 1° Zc trièdre de référence Oxyz est attaché au corps. — Si le trièdre est invariablement lié au corps ,
dt
d., dt
+ /'cTx -
+ p'^ll -
CAS PAUTICL'LIERS l3
la rotation instantanée du trièdre oi' est identique à celle du corps. On a donc
En outre A,B,G,D, E, F sont des constantes. Si on suppose que le trièdre de référence soit formé par les axes principaux d'inertie du corps relatifs à O, on voit que D, E, F sont nuls et on retrouve les équations d'Euler.
•2° L'axe Oz est lié au curps ; les a.ies Ox et Oy sont mobiles dans le corps. — Un point m pris sur 0^ doit avoir la même vitesse absolue soit qu'on le regarde comme entraîné par le trièdre Oxyz, soit qu'on le regarde . comme entraîné par le corps. On doit donc avoir
(j'z — l'y ■=. qz — /•)•, etc.
quand on suppose ./• et y nuls. On a donc P' = P^ H — Q
mais 1^ est différent de r.
Imaginons par exemple que l'ellipsoïde d'inertie relatif à 0 soit de révolution. Prenons pour axe 0:; l'axe de révolution et pour axes Ox, Oy deux axes rectangulaires dans le plan de l'équateur, ces axes étant mobiles dans le corps. Alors
De plus A, B, G sont constants. On a dans ce cas
tSx=^Ap, <j,jz=zAf/, (T; == Cr,
Les équations du mouvement sont donc d'après ( 1 1 ) A ^-|-(Cr-ArVy = S, (1.) A ^ -(Cr-ArV = S.
l\ QUELQUES FORMULES GENERALES
7. Mouvement d'un corps solide libre. — Soit un corps solide libre sollicité par des forces Fi, F2..., F». Rapportons le mouvement du corps à un trièdre de référence O.ryz animé d'un mouvement connu. Nous appellerons alors comme auN^si \' la vitesse de O et m' la rotation instantanée du trièdre.
Soit G le centre de gravité du corps, ?, r^, t ses coordonnées par rapport à O.xyz^ V sa vitesse absolue de projections 11, c, «' sur Oxyz. On a :
Soient de même J l'accélération absolue du centre de gravité G, J^, J,y, J3, ses projections sur Oxyz. On a d'après (5) :
Mouvement du centre de gravité. — Les forces appliquées ont une résultante générale ayant pour projections X, Y, Z sur les axes Oxyz. D'après le théorème du mouvement du centre de gravité, cette résultante est égale à MJ, M désignant la masse totale du corps. On a donc les équations M.I.î = X,..., ou
(du \dt
(i3) m(^^ +r'u-p'^vj=\
^\Tt +7'-"'-v)=x
. -\.p'v—q'uj=Z.
Dans le cas particulier où O coïncide avec G, on a
ç 1= r^ =r ^ = o, u =: u', v =. /, iv =r «''.
Mouvement autour du centre de gravité. — Menons par G des axes Gx^y^z^ parallèles aux axes Oxyz. La rotation instan-
