ROULEMENTS

8. Roulement et pivotement d'une surface mobile sur une surface fixe. — Iinagiiions un corps solide mobile terminé par une surface rigide S assujettie à rester en contact avec une surface fixe Si. A chaque instant t, un certain point A de la surface mobile S se trouve en contact avec un point Ai de la surface fixe Si. Si, à l'instant t, la vitesse V^, du point A de S qui se trouve au contact n'est pas nulle, cette vitesse est située

dans le plan tangent commun aux deux surfaces au point de (Contact : en effet, soient H le point de contact à 1 instant / -\- dtj A' la nouvelle position de A ; les vecteurs BAi et BA' étant dans le plan tangent couimun en B aux deux surfaces, il en est de même du vecteur AA' qui <?st le déplacement absolu de A.

Les vitesses des différents points du corps solide mobile

sont les mêmes qu<; si ce corps était animé d'une translation

de vitesse \\ et d'une rotation Aw autour d un axe passant

par A. La vitesse V^, est la vitesse de glissement de S sur Si.

Appell. Roulement en dyiiumique, a

l8 ROULEMENTS

On dit que la surface S roule et pivote sur Si quand, à chaque instant ?, la vitesse du point A qui est au contact est nnlle. Dans ce cas, Vf) étant nulle, les vitesses des points du solide mobile sont à chaque instant les mêmes que si le corps était animé seulement d'une rotation Aw autour d'un axe passant par A. Le glissement de S sur Si est alors nul.

Le lieu de Aw dans le corps S est une surface réglée I, dans l'espace absolu, une surface réglée 2i; le mouvement s'obtient en faisant rouler 2 sur 2i. Le lieu du point A sur S est une courbe G, intersection de S avec S; le lieu du point Ai sur Si, une courbe Ci intersection de 2i avec Si : ces deux courbes roulent aussi Tune sur l'autre. Les arcs correspondants de ces courbes sont égaux.

La rotation instantanée Aw peut être décomposée en deux : l'une Aw,j normale aux deux surfaces, qu'on appelle la vitesse angulaire de pivotement, l'autre Aw^ située dans le plan tangent qui est la vitesse angulaire de roulement proprcnicnt dite^

Lorsque le mouvement est tel que la vitesse de pivotement 0),^ est constamment nulle, le mouvement de S sur Si est un roulement proprement dit.

Dans ce qui suit noils nous occuperons des mouvements de roulement et de pivotement sans glissement.

Il est à remarquer que si l'on considère une molécule m du corps située sur la normale en A aux deux surfaces, la vitesse de cette molécule est parallèle au plan tangent commun en A. En effet, cette vitesse est la somme géométrique des vitesses dues aux deux rotations w„ et w^ . Comme la molécule m est située sur la normale, la vitesse due à a)„ est nulle ; il ne subsiste donc que la vitesse due à uit , vitesse qui est parallèle au plan tangent en A.

9 . Conditions physiques déterminant le roulement et le pivotement d'une surface mobile sur une surface fixe- — Imaginons un corps solide mobile S assujetti à rester en contact avec un corps solide Si fixe. Si les surfaces S et Si èiadenl parfaiLcmcut polies, la réaction de Si sur S serait normale aux surfaces S et Si au point de contact A ; dans ce cas. aucune force ne s'op-

CONDITIONS PHYSIQUES DKTEIIMIXAXT LE HOULEMEXT Hj

poserait au glissement de S sur Sj et ce glissement se produirait en général.

Pour que le corps S ne glisse pas sur Si, c'est-à-dire pour qu'il roule et pivote sur S^, il faut que les surfaces des deux corps soient rugueuses de telle façon quelles frottent l'une sur l'autre.

Appelons fie coefficient de frottement de S sur S|. La réaction de S sur S^ se compose d'une composante normale N appliquée en A et d'une composante F située dans le plan tangent commun en A aux deux surfaces : pour que le glissement ne se produise pas, il faut et il suffit que l'on ait :

C'est donc là la condition pour que la surface S roule et pivote sans glisser sur S^. Si, à un certain moment, F devenait supérieur à /"N, le glissement se produirait.

En résumé, pour étudier le roulement et pivotement d'un corps S dépoli sur un autre corps Si également dépoli, sous l'action de forces données^ on écrira les équations du mouvement du solide S en admettant qu'il roule et pivote sur Sj et en introduisant, connue inconnues auxiliaires, la réaction normale N et la réaction tangentielle F des surfaces au contact. Le mouvement fourni par ces équations a lieu effectivement tant que les valeurs de F et N tirées des équations vérifient

l'inégalité :

Si au contraire, à un instant t^, F devient égal puis supérieur à /"N, à partir de cet instant le corps S glissé sur S| ; le mouvement entre dans une nouvelle phase à laquelh; les équations précédentes ne s'appliquent plus. Pour avoir les équations du mouvement dans cette nouvelle phase, il faudrait admettre que le corps S glisse sur S, et introduire, comme inconnues auxiliaires, une composante normale N de la réaction et une composante tangentielle égale à /*N dirigée en sens contraire de la vitesse du point matériel A du corps S qui est en contact avec Si ; cela résulte des lois connues du frottement de glissement.