AM
Le coefficient de dissymétrie S est le rapport entre la différence de l’excès du quartile supérieur sur la médiane et de l’excès de la médiane sur le quartile inférieur, d’une part, et la somme de ces deux excès, d’autre part. On a :
(Qi Me )—(Me-Q:) Qi Q:-2M:
7 (Qi-Me) + (Me Q@) Q:1 — Q:
On considère parfois, au lieu du coefficient S le coefficient Q:1+Q:3-2Me:
—2S. Le coefficient S prend la valeur +1 quand
la médiane se confond avec le quartile inférieur, et la valeur —1 quand la médiane se confond avec le quartile supérieur. Le professeur Bowley estime qu’une valeur de 10 % pour le coefficient S correspond à une dissymétrie modérée, et une valeur de 30 % à une forte dissymétrie.
Les tableaux ci-dessous et les graphiques n° 6 et n° 7 indiquent les variations des coefficients s et S pour les séries de prix relatifs de l’indice du Federal Reserve Board pour la France.
Coefficient 8
1920 1921 1922 1923 1924 Janvier +29,3 +9,1 +34,8 +42,0 +30,8 Février 37,0 BST LOTIR MST ER 0 Mars 42.1 5,0 FRERE Avril 37,0 DAS QE 01 Mai A0 S MS SIT OR RS RATES Juin PTS SNS 1 ET | OR EC ONE EEE Juillet 22000 422 DD A RE 7 Août SOA OS CNT Et 0 Septembre 1,900 01288 066 00082 8r-40;0
Octobre 24,3 29 92084 1 RD PURE
AT
Novembre 0 0 52 010"S0 7 1758 Décembre 14,600260,82=96,921 26,2) 21,9 Moyenne AIRE FANS MONO T0 © 259
Coefficient S 1920 1921 1922 1923 192%
Janvier +32,8 +13,6 +25,9 +32,7 +15,1 Février +42,0 +11,1 +22,4 +34,9 +14,5 Mars 445,5 — 3,8 + 5,8 +.0,7 + 9,5 Avril +29, — 4,2 +11,8 — 2,3 +26,4 Mai + 30,8 — 0,7 — 1,0 + 9,7 — 0,3 Juin +23,0 +42,7 + 6,9 + 7,9 +193 Juillet +35,2 +20,4 +46,2 + 9,1 +93,3 Août + 31,6. +23,6 +25,5 +20,5 + 9,1 Septembre Rata E05 20 19,00 F2 4;0 Octobre +26,3 +16,0 +13,1 + 9,7 +30,0 Novembre + 9,0 +25,5 +38,9 +14,6 + 6,5 Décembre + 2,8 +1417,7 +24,3 + 5,0-+ 9,6 Moyenne 493,4 +19,0 420,3 +1412,9° 13,9
Les deux graphiques ci-contre ont un aspect irrégulier, surtout le graphique relatif à S. Cela tient au fait que les coefficients de dissymétrie n’utilisent que les valeurs de la moyenne arithmétique, de la médiane et des quartiles. Le coefficient s est toujours positif, parce que pour toute la période étudiée Ja moyenne arithmétique est supérieure à la médiane, le coefficient S est presque toujours positif (54 fois sur 60), ce qui signifie que la médiane est presque toujours plus éloignée du quartile supérieur que du quartile inférieur. En moyenne, la dissymétrie peut être considérée comme assez modérée; elle n’est très prononcée qu’au milieu «le 1920, et pendant le 2° semestre de 1922.
Les deux graphiques ont une certaine ressemblance : on constate sur les deux courbes un maximum vers le milieu de 1920, puis une baisse profonde jusqu’au milieu de 1921 où la dissymétrie devient nulle ou même négative, puis nouvelle hausse pendant les trois derniers trimestres de 1921, baisse au début de 1922, nouvelle hausse prononcée pendant le deuxième
semestre 1922, baisse au début de 1923, suivie jusqu’à la fin de 1924 de mouvements irréguliers.
Ces variations présentent avec les variations des prix eux-mêmes et de leur dispersion plus de différences que üe ressemblances. La seule ressemblance concerne l’année 1920 qui comporte pendant ses premiers mois une hausse des prix, une augmentation de leur dispersion et de leur dissymétrie, puis une diminution rapide de ces mêmes grandeurs. Mais
45 45 40 Cat) 1 (EVE à ae PIE Ce.
a A LU ER ed ot.
À mm | : AE RER à 5 5
| Se Pr LEE sen MA EE ep 1920 1921 1322 1923 1924
gr."°6 coeff de dissymétme 5
tandis que le deuxième semestre 1921 et le premier semestre 1922 sont marqués par une grande stabilité des prix relatifs et de leur dispersion, ils comportent une forte augmentation de leur dissymétrie, suivie d’une diminution aussi forte, À partir du deuxième semestre 1922, les prix et leur dispersion augmentent, avec de fortes poussées temporaires au début de 1923 et de 1924, mais pour la dissymétrie, rien de semblable : il y a bien une augmentation importante de la dissymétrie à la fin de 1922, mais une forte diminution au début de 1923, puis jusqu’à la fin de 1924, les variations de la dissy-
métrie sont irrégulières et sans ressemblance aucune avec celles des prix et de la dispersion.
Nous constatons donc pour les prix relatifs en France de 1920 à 1924 une dissymétrie assez prononcée par rapport à leur moyenne arithmétique, caractérisée surtout par la présence d’écarts positifs moins nombreux que les écarts négatifs.
Ce phénomène de dissymétrie a déjà été constaté par les deux auteurs qui se sont préoccupés antérieurement de cette
Les
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jo bre Prat }
gr. n°7 : coeff. de dissymetrie. S
question. Le professeur Edgeworth en a donné des exemples assez nombreux et variés dans son 1° Memorandum à l’Association britannique pour l'avancement des sciences (1).
(1) Papers, pp. 239-242.
Examinant les variations de prix de 12 produits pendant les périodes 1782-1820 et 1820-1865, il trouve 23 dissymétries sur 24 cas; de même pour les prix du blé par décade pendant les périodes 1261-4400 et 1401-1540, il trouve 11 dissymétries sur 44 cas; pour d’autres marchandises, les résultats sont analogues et quelquefois encore plus nets. Parmi les variations de prix de 78 marchandises, étudiées par le Massachusetts Labour Report de 1885, on trouve que pour 69 marchandises, le minimum est plus rapproché de la moyenne que le maximum.
La dissymétrie est la même si les comparaisons sont faites dans l’espace au lieu d’être faites dans le temps : le professeur Edgeworth cite à cet égard l’étude sur les prix de 38 articles dans 34 villes, publiée dans la Statistique du travail de l'Illinois, vol. III : les exceptions à la dissymétrie sont très rares, et si l’on élimine les observations extrêmes pour ne considérer que le pénéminimum et le pénémaximum, il n’y à que 5 exceptions sur 38 Cas.
M. Lucien March, dans son étude déjà citée (1), a trouvé des résultats analogues :
France Grande Bretagne || Etats-Unis déc. déc déc.
MES ETTUN Moe OA leu PTIT Nombre des articles retenus ...... 55 | 54 || 42 38 |203 | 44 Nombre des écarts par rapport | en moins| 23 | 31 23 | 22 |109 | 30 à la moyenne arithmétique } en plus 32 93 19 16 94 Â4 t Ë 2 à 4 | : . , (= Pourcentage des écarts en plus... 58 | 42 || 45 | 42 | 42 | 32
Rappelons que les prix sont rapportés aux prix moyens de la période 1901-1910, sauf les prix américains de 1909 qui sont rapportés aux prix moyens de 1890-1899. Sauf pour les prix en France en 1913, les écarts en plus sont sensiblement moins nombreux que les écarts en moins.
(1) Metron, 1921, p. 82.
Ce phénomène très général n’a rien de mystérieux; il ne tient nullement à des causes économiques, mais simplement à la forme selon laquelle les prix sont comparés. C’est cette forme elle-même qui est dissymétrique : les prix à l’époque que l’on étudie sont comparés aux prix correspondants de l’époque de base que l’on prend égaux à 100. Toute augmentation d’un prix, supérieure à 100 %, ne peut être compensée arithmétiquement par la diminution d’un seul prix, puisqu’un prix ne peut être négatif.
Or les écarts supérieurs à 100 % ont été très nombreux dans la période que j'ai étudiée. Considérons par exemple les prix relatifs de mars 1920 : leur moyenne arithmétique est de 586,5. Donc aucun écart en moins ne pourra être supérieur en valeur absolue à 586,5. Or 4 prix relatifs donnent lieu à des écarts en plus supérieurs à 586,5 (1135,5; 838,5; 704,7 et 642,6). Pour compenser arithmétiquement ces 4 écarts en plus, il faudra donc plus de 4 écarts en moins. De plus il est évident a priori que les prix relatifs voisins de 0 seront très rares, si même il y en a; en fait d’ailleurs, pour le mois considéré le prix relatif le plus bas est encore fort éloigné de O0 (c’est 117,7 et le pénéminimum est déjà ce 222,6). Les plus grands écarts en plus étant fortement supérieurs aux écarts en moins les plus grands en valeur absolue, il est nécessaire, pour que la compensation puisse se faite arithmétiquement entre les différents écarts par rapport à la moyenne arithmétique, que les écarts en plus soient moins nombreux que les écarts en moins.
Il est une forme de moyenne qui n’introduirait pas cette dissymétrie, c’est la moyenne géométrique. En effet si aucun écart en plus supérieur à 100 % ne peut être compensé arithmétiquement par un écart en moins, n'importe quel écart en plus peut être comzeusé géomélriquement par un écart en moins, et inversenteut : un prix relatif qui est n fois ‘plus grand que la moyenne est compensé géométriquement par un prix relatif qui est n fois plus petit que la moyenue,
la moyenne géométrique de ces deux prix relatifs étant égale à la moyenne.
On a vu que les effets des causes de variation propres aux prix de chaque marchandise ne se compensaient par arithmétiquement par action de la loi des grands nombres. On est amené à se demander si ces effets ne se compensent pas géométriquement. Cela revient à se demander, non plus si les prix relatifs se conforment à la loi de Gauss, mais si leurs logarithmes se conforment à cette loi. En effet, dire qu’un prix relatif P,, n fois plus grand que la moyenne, est compensé géométriquement par un prix relatif P,, n fois plus petit que la moyenne, revient à dire que le logarithme de P, (log. de la moyenne + log. n) est compensé arithmétiquement par le logarithme de P, (log. de la moyenne — log. n},
Nous sommes amenés ainsi à reprendre sur les logarithmes des prix relatifs les mêmes calculs que ceux que nous avons faits sur les prix relatifs eux-mêmes. Si nous trouvons que les logarithmes des prix relatifs se distribuent autour de leur moyenne arithmétique conformément à la loi de Gauss, nous pourrons dire que la variation de cette moyenne représentera la variation de la tendance commune à tous les prix, ou en substituant à cette moyenne son antilogarithme, c’est-à-dire le nombre naturel dont cette moyenne est le logarithme, c’est-à-dire encore la moyenne géométrique des prix relatifs, nous serons en droit de dire que la moyenne géométrique des prix relatifs constitue l’indice monétaire du mouvement des prix, ou l'inverse de l’indice du pouvoir d'achat de la monnaie en marchandises indéterminées,
Les calculs suivants portent exactement sur les mêmes données que les calculs relatifs à la moyenne arithmétique, à la dispersion et à la distribution des prix relatifs autour de leur moyenne arithmétique,
On trouvera d’abord ci-dessous les variations de la moyenne géométrique des prix relatifs.
Moyenne géométrique simple des prix relatifs
Janvier AO 2 IS SL 0 CCS TL
Février O0 95022,28009-395,9 0442,0
Mars 5936 ,9320,0 028.1, 9310-71 464,3
Avril 5651029320 10001 50717102
Mai 568,4 302,2 289,9 .366,9 399,6
Juin 010/02220142091 02509 010)
Juillet 476,4. ,292,51297,0: 364530 414,5
Août 102 220078229208 2229715 241919
Septembre 483,4 301,6 300,0 385,1 423,9
Octobre 179,98304722302,0 "3838 492,3
Novembre 451,8 300,9 314,8 390,1 439,1
Décembre 244,9,-300,5- 321,74 400,7. 441,2
Moyenne 1912020815 9029891372;20/42687 600 | 600 550 550 500 | 500 450 | +50 400 400 350 | 350 300 1] 300
Comme on le savait a priori, la moyenne géométrique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique; ses variations sont analogues à celles de la moyenne arithmétique.
L'étude de la dispersion relative des logarithmes présente quelques particularités. Il convient en effet de se rappeler que la dispersion absolue, calculée géométriquement, c’està-dire calculée arithmétiquement sur les logarithmes, a une signification toute différente de celle de la dispersion absolue, calculée arithmétiquement. À un écart calculé géométriquement par rapport à la moyenne géométrique correspond un facteur donné par lequel on multiplie ou divise celle-ci. C’est sans doute ce qui a conduit le professeur Udny Yule à écrire, dans son compte-rendu du livre du professeur Irving Fisher sur les nombres indices, que « la déviation-type (écart quadratique moyen) des logarithmes est analogue, non à la déviation-type arithmétique, mais au coefficient de variation ». Si l’on appelle A la moyenne arithmétique des prix relatifs, s l’écart quadratique moyen de ces prix relatifs, G leur moyenne géométrique (moyenne arithmétique des logarithmes des prix relatifs), « l’écart quadratique moyen des logarithmes, & l’antilogarithme de a , c’est-à-dire le nombre qui a s1 pour logarithme, aux prix relatifs A+ 5 et A — 5
correspondent les prix relatifs Gx & et + Se est un
rapport comme le coefficient de variation V Ge Le profes-
seur Irving Fisher appelle déviation-type géométrique, non pas le rapport 6, mais la quantité 5e — 1, Pour les 36 marchandises dont il a étudié la variation des prix par rapport à 1913, le professeur Irving Fisher a trouvé pour la quantité 6 — À les valeurs suivantes :
JUSTIFICATION THEORIQUE DES INDICES SiMPLES 130
On à indiqué ci-dessous, pour les 98 séries de prix français de 1920 à 1924 les valeurs de s1 et de 5 (les valeurs de la déviation-type géométrique, selon la définition du professeur Irving Fisher, se déduisent des valeurs de & en en retranchant 1).
A ne A . e. A
G] Ge G] Ce G] Ce 6] Gy 6] Sg
Janv. (Ü1s865 1544 [,17070 Last Diser 1,428 D17815 1,507 [,18557 1,533 Février 19803 578 17216 486 16001 445 18238 522 19476 566
Mars 18518. 532 | 19056 551 16236 453 18142 : 519 18847 543 Avril 19526 568 18595 534 16441 460 17894 510 18065 516 Mai 20301 596 17739 504 16499 462 17795 506 17950 512 Juin 20530 OG04 18238 522 16598 465 17416 493 18294 524 Juillet 20213 593 17609 500 16630 467 17486 496 17969 513 Août 19968 584 17631 508 16549 464 16198 452 17760 505 Sept. 18844 543 16846 474 16321 456 16581 465 17478 495 Octobre 18298 524 15972 445 16948 477 17182 485 16888 475 Nov. 18413 528 15968 444 17428 494 17624 501 16869 475 Déc. 17881 509 15283 422 17135 484 18022 514 16719 470
Moyeme (19264 1,558 (17285 1489 016521 1,463 Ü,17533 1,497 (,17906 1,510
Le graphique n° 9 indique les variations de la déviationtype géométrique 53 -— 1. Il présente une certaine ressemblance avec le graphique de la moyenne géométrique : maximum du printemps 1920, suivi d’une diminution importante et rapide, mais coupée d’une poussée de hausse au début de 1921 et prolongée jusqu’au milieu de 1921, même stabilité pendant le premier semestre 1922, mêmes fortes poussées de hausse au début de 1923 et de 1924; mais tandis que les prix augmentent pendant le deuxième semestre 1924, la déviation-type géométrique diminue. Le graphique de la déviation-type géométrique présente aussi des ressemblances très frappantes avec celui du coefficient de variation V; c’est donc avec raison que le professeur Udny Yule a fait correspondre la dispersion géométrique absolue à la dispersion arithmétique relative. Pour les prix considérés, on trouve
une dispersion relative calculée arithmétiquement de 30 % si on l’exprime par l’écart relatif, de 40 % si on l’exprime par l’écart quadratique, et une dispersion absolue calculée géométriquement de 50 %,.
Bien que la dispersion absolue des logarithmes des prix relatifs présente ainsi un intérêt particulier, puisqu'elle correspond à la dispersion relative des prix, il convient également d'examiner comment varie, en fonction de la moyenne géométrique des prix relatifs, le rapport qui correspond à
