Moyenne arithmétique

Toutes les séries anciennes de nombres indices simples utilisent la moyenne arithmétique, ce n’est que tout récemment que l’emploi de la moyenne géométrique a commencé à s’introduire dans la pratique. C’est par la simplicité de la moyenne arithmétique que les auteurs des anciennes séries ont essayé de justifier l'application de la moyenne arithmétique. « La moyenne arithmétique est adaptée à la nature humaine autant que le sens de la ligne droite ou le sentiment

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de la Justice », écrit M. Lucien March (1). De même les éditeurs du Statist estiment que « nous pensons en termes de moyenne arithmétique exactement comme en termes de notation décimale (2) ». M. March et le Statist exagèrent un peu, mais il faut reconnaître que la moyenne arithmétique, qui ne fait appel qu'aux opérations les plus simples (addition et division) est facile à calculer et à comprendre, et, si on la compare aux autres formes de moyennes, un peu plus facile à calculer et à comprendre que la moyenne harmonique, et nettement plus facile que la moyenne géométrique. Mais cet argument, qui vaudrait dans tous les cas où l’on a à prendre une moyenne, ne saurait suffire à lui seul à justifier l'emploi de la moyenne arithmétique dans le calcul des nombres indices des prix.

Or cet emploi soulève une difficulté qui a été remarquée de bonne heure par les statisticiens. Jevons fit observer dès 1863 que, si le prix d’une marchandise vient à doubler entre l’époque de base et l’époque considérée et si en même temps le prix d’une autre marchandise vient à diminuer de moitié, la moyenne arithmétique indique une hausse de 25 % « ce qui est totalement faux, car en moyenne aucun changement n’est survenu; le prix de la première marchandise ayant doublé et celui de l’autre ayant diminué de moitié, l’un est multiplié par 2, l’autre divisé par 2, le prix moyen est demeuré le même, au lieu d’avoir augmenté de 25 % ».

Bien avant Jevons, ce problème avait fait l’objet d’une curieuse controverse à laquelle M. Correa Moylan Walsh a consacrétle 1°” chapitre de son livre « The Problem of Estimation », La question posée à Florence en 1627 était la suivante : si un cheval valant 100 couronnes est évalué 1.000 par une personne et 10 par une autre, ces deux estimations sont-elles également erronées, sinon quelle est celle des deux qui est la plus erronée ? Le problème est de trouver

{1) Revue de métaphysique et de morale, 1921, p. 149. (2) Statist, 27 janvier, 1993;1p. 117.

la forme de moyenne qui convient pour compenser les erreurs au-delà et en-deçà de la vraie quantité.

La question retint l’attention de Galilée et c’est dans les œuvres de celui-ci qu'on trouve reproduites les lettres échangées à ce sujet entre Nozzolini, qui préconisait l'emploi de la moyenne arithmétique, Castelli et Galilée qui préconisaient l'emploi de la moyenne géométrique. Galilée avait d’abord pris position en faveur de la moyenne arithmétique : l’estimation de 1.000, pensait-il, est plus erronée que celle de 10, car la première comporte un gain de 900 tandis que la seconde ne comporte qu’une perte de 90. Puis il reconnut qu'avec ce raisonnement une estimation de 200 serait plus erronée qu’une estimation de Î, ce qui est contraire au bon sens : c’est la proportion qu'il faut considérer, et non la différence; c’est donc la moyenne géométrique qui convient, et dans le problème posé les deux estimations sont également erronées.

Pour Nozzolini, le problème est de justice commutative et non de justice distributive, ce n’est pas un problème de proportion et le raisonnement de Galilée est faux parce qu’il comporte un changement d’unité de mesure : 1.000 est en effet distant de la vérité de 9 grandes mesures de 100 couronnes chacune, et 10 de 9 petites mesures de 10 couronnes chacune. Le problème est un problème de gain et de perte, et c’est la moyenne arithmétique qui convient pour le résoudre.

Castelli objecta à Nozzolini qu'avec son raisonnement, si un individu estime 300 ce qui vaut 100, aucune estimation en-dessous de la vérité ne pourrait compenser l’erreur.

Dans le problème des nombres indices des prix comme dans le problème de Florence, la question est de savoir s’il s’agit d’un problème de proportion ou d’un problème de gain et de perte. Jevons adoptait la première solution et concluait sans hésiter que le prix moyen ne change pas quand un prix est multiplié et l’autre divisé par 2. Mais

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Laspeyres ne fut pas de cet avis (1) : « Ce que Jevons veut calculer, c’est le renchérissement moyen des marchandises ou la dépréciation moyenne de la monnaie, car il dit expressément que la valeur est une expression vague pour désigner le pouvoir qu'a la monnaie d’acheter d’autres articles. Or la moyenne géométrique n’exprime pas la dépréciation des marchandises ou l'appréciation de la monnaie, ni l’appréciation des marchandises ou la dépréciation de la monnaie. En effet après le changement dans les prix imaginé par Jevons, la même somme d’argent n’a plus le même pouvoir d'achat qu'avant, mais un pouvoir moindre, diminué dans le rapport Le . La monnaie est dépréciée de 20 %, les marchandises ont renchéri de 25 %. Ce qui vaut de la moyenne de 2 marchandises vaut de plusieurs ». Laspeyres concluait donc en faveur de la moyenne arithmétique, qui indique bien dans l’exemple invoqué une augmentation de 25 % É= 125).

Le problème fut mis sous une forme encore plus saisissante par Pierson (2), qui montra l'irréversibilité de la moyenne arithmétique par rapport au temps. Reprenons en effet l'exemple précédent, en adoptant pour base successivement les deux époques 0 et 1.

base 0 to ti Marchandise A 100 200 } D on — AU 1400 050.250 2 base 1 to ti 50 + 200