MERE . . D

On trouve done successivement qu’au temps 1 les prix ont augmenté de 25 % par rapport au temps 0, et qu’au temps 0 ils étaient de 25 % plus élevés qu’au temps 1.

Le professeur Edgeworth et M. Correa Moylan Walsh

(1) Jahrb, 1864, p. 97.

(2) Ec. J., 1896, p. 198.

ont exposé de leur côté que les prix relatifs sont assimilables aux erreurs d'estimation et que par suite ce n’est pas la moyenne arithmétique, mais la moyenne géométrique qu'il convient de leur appliquer : « M. Galton et d’autres ont montré que la moyenne géométrique est adaptée à une espèce particulière d’observations (celles qui se conforment à la loi de Fechner) (1) que l’on peut appeler des estimations. Par exemple les estimations que différentes personnes (ou la même personne à différentes époques) peuvent faire d’un certain poids seraient aptes à être plus erronées par excès que par défaut par rapport au poids vrai, de sorte que la moyenne géométrique d’une telle série d'observations serait la méthode convenable de réduction. Cette loi peut être étendue aux prix. Les estimations variables qu’une personne peut faire de temps en temps de l'utilité finale d’un objet, en tant qu’elle est mesurée par la quantité de quelque autre objet, c’est-à-dire la monnaie, pourrait bien varier selon la loi qui a des affinités avec la moyenne géométrique... I] y a encore une autre raison très simple pour laquelle les prix sont aptes à dévier davantage en plus qu’en moins, c’est qu’un prix peut augmenter sans limite, mais ne peut tomber au-dessous de 0 » (2).

Ces arguments et tous les arguments analogues présentés par de nombreux auteurs (la moyenne arithmétique convient aux sommes et aux différences, la moyenne géométrique aux produits et aux rapports, etc.) sont parfaitement valables pour les indices monétaires (c’est d’ailleurs à leur propos que le professeur Edgeworth les a développés), maïs rien ne dit a priori qu'il s'appliquent aux indices budgétaires, dans lesquels on tient compte par définition de l’importance relative des différents éléments, même s’il s’agit d'indices bud-

(1) La loi de Fechner concerne les rapports entre excitations et sensations : d’après cette loi, la sensation varierait comme le logarithme de Jl’excitation.

(2) Edgeworth, Papers, p. 2838.

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gétaires simples dans lesquels on admet par hypothèse que l’importance de ces éléments est la même pour tous.

Reprenons l'exemple de Jevons, Laspeyres et Pierson. M. March a montré (1) qu'il n’est pas purement théorique. En effet en 1905 le prix du blé d'importation était de 18 francs le quintal, celui du caoutchouc de 14 francs le kilo. Or en 1915 les prix correspondants étaient respectivement de 36 francs et de 7 franes. Si l’on prend les prix de 1905 pour base, la moyenne arithmétique fait apparaître en 1915 une hausse de 25 %; si l’on prend ensuite les prix de 1915 pour base, on trouve que le niveau moyen des prix était de 25 % plus élevé en 1905 qu’en 1915.

Ces résultats contradictoires tiennent au fait que si en apparence nous avons accordé dans chacune des comparaisons une importance égale au blé et au caoutchouc, nous avons fait en réalité deux hypothèses distinctes; dans la première comparaison, l'hypothèse de l'égalité des poids à attribuer au blé et au caoutchouc revenait à admettre que les quantités entrant dans la consommation ou l’échange ou tel autre phénomène économique pris en considération, étaient

1 2 dans le rapport de -=5,5 pour le blé à ;5=—0,7 pour le Fe 5 200 + 50 e RAS caoutchouc, L'indice Li0=""}* pouvait en effet s’écrire

D D) Un ee OT e00

18 X FR + 1400 X 300 Dans la seconde comparaison l’hypothèse de l’égalité des poids revient à admettre que les quantités entrant dans la

Lot consommation, etc., sont dans le rapport de Le ST INDOUL

le blé à © —1,43 pour le caoutchouc, c’est-à-dire dans un rapport quatre fois plus petit que dans la première comparaison. L'hypothèse de l’égalité des poids, appliquée suecessivement dans les deux comparaisons, correspond donc à des

budgets, à des régimes absolument différents; il n'est donc pas surprenant que l’on aboutisse dans les deux cas à des résultats contradictoires.

Le professeur Edgeworth a objecté que l’on n’avait abouti dans les exemples de Pierson à des résultats entièrement contradictoires que parce qu'il s'agissait d’un exemple artificiellement simplifié. Il est exact que si l’on prend la moyenne arithmétique de prix relatifs sporadiquement dispersés, tels qu'ils se présentent dans la réalité, les divergences entre les deux indices obtenus en comparant successivement l’époque 0 à l’époque 1, et l’époque 1 à l’époque 0, sont beaucoup moins fortes. Mais c’est avec raison que l’on compare les formules en les appliquant dans des cas extrêmes (1).

Au surplus si les divergences sont plus faibles dans la réalité que dans l’exemple de Pierson, elles n’en subsistent pas moins, et le professeur Irving Fisher a montré qu’elles étaient de sens déterminé. La démonstration qu'il donne de ce théorème fondamental de la théorie des nombres indices est la suivante (2).

Montrons d’abord que la moyenne arithmétique d’un nombre et de sôn inverse est toujours plus grande que 1. Soit 1+a celui des deux nombres en question qui est plus grand

que 1. L’autre nombre est alors ==" La moyenne arithmé- ER

1+a c'est-à-dire 2+72a +a°

2 ae

ita+ tique des deux nombres est Hs

a? . 2 Fi d. ou encore 1 + saw. Ce qui est évidemment plus grand que 1. La formule générale de la moyenne arithmétique simple des prix relatifs, quand on compare l’époque 1 à l’époque 0 . 1 ge prise pour base est Aio—= Die et quand on compare l’époque NE . Û s 0 à l’époque 4 prise pour base : Ain =; 2.

(1) Cf. dans ce sens WajJsh, Q. J. E.. 192%, pp. 504-505. (2) The Making..., pp. 383-384.

INDICES BUDGETAIRES NON PONDERES sil

Formons le produit 35x35. Chacun des deux facteurs

est à somme de n termes : L+P: hs...

DS TESTS il " ÉD D P: p', : ne ï

Le produit est obtenu en multipliant successivement chaque terme d’une somime par chacun des n termes de l’autre somme, Le produit est ainsi la somme de n° termes, qui sont de deux sortes : les uns sont le produit de deux

termes de même rang, par exemple Eu x tous les termes de cette catégorie sont égaux à 1. Les autres termes sont le produit de termes de rang différent; à chaque terme qui est le produit du terme de rang ? dans la première somme par le terme de rang 7 dans la seconde somme, on peut associer le terme obtenu en multipliant le terme de rang j dans la

première somme par le terme de rang ? dans la deuxième

(2 1 somme. On aura par exemple le groupe À X 5° +5.x Et; Or chacun des deux éléments du groupe est l'inverse de l’autre. En vertu du lemme précédent, la moyenne de ces deux éléments est plus grande que !, ou encore leur somme est plus grande que 2. Le produit considéré est donc la somme de n° termes, dont chacun ou bien est égal à 1, ou bien est associé à un autre terme tel que la somme des deux termes en question est plus grande que 2. Done la somme des n° termes est certainement plus grande que n°. On a done nn 0 c’est-à-dire D FPE

ou encore A1, X Aon >1.

C’est ce que le professeur Irving Fisher exprime en disant que la moyenne arithmétique dévie en plus. Il faut cependant bien s’entendre sur le sens de cette expression, qui pourrait faire croire que la moyenne arithmétique contient en elle-même une source d'erreur systématique. La propriété générale démontrée par le professeur Irving Fisher n’est

nullement une propriété de la moyenne arithmétique, mais seulement de la moyeñne arithmétique de rapports. C’est à la forme adoptée pour le calcul des nombres indices des prix qu'est due la déviation constatée.

Ainsi tandis que le prix relatif d’une marchandise donnée, quand on compare l’époque 1 à l’époque 0, est l’inverse de son prix relatif quand on compare l’époque 0 à l’époque 1, la moyenne arithmétique des prix relatifs de deux ou plusieurs marchandises n’est pas égale à l’inverse de la moyenne arithmétique des prix relatifs quand on renverse le sens de ia comparaison.

La condition Lx x Lou —1 est dite condition de réversibilité par rapport au temps. Elle est susceptible d’être généralisée de 2 à un nombre quelconque d’époques et est alors appelée condition circulaire. On l’examinera au prochain chapitre consacré à l’étude des formules générales d’indices budgétaires. La moyenne arithmétique qui ne satisfait pas à la condition de réversibilité, ne satisfait pas à plus forte raison à la condition circulaire.

Le D’ Paul Hermberg, en combattant l’emploi de la moyenne arithmétique dans le calcul des nombres indices des prix, a invoqué (4) un exemple qui ne porte pas sur un tel indice, mais sur un indice du change, si saisissant cependant qu'il mérite d’être cité : soit les cours du mark allemand fin août, fin octobre et fin novembre 1923, tels qu’on les cote, à Berlin d’une part, à New-York d’autre part.

A Berlin, aux trois dates considérées, 1 dollar valait 4,2 millions, 42 milliards et 4200 milliards de marks. La moyenne arithmétique simple de ces trois cours est de 1.414.001.400.000 marks,

A New-York, 100 marks valaient aux mêmes dates : 0,002 4 cent, 0,000 000 24 cent et 0,000 000 002 4 cent. La moyenne arithmétique simple de ces trois cours est :

(1) Weltwirtschaftliches Archiv., 1924, p. 951.

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0,000 800 080 8 cent. En comparant ces deux chiffres au pair, on trouve pour le mark une dépréciation moyenne de 1,337 milliards dans le premier cas, de 1/3 millions dans le second. L'application de la moyenne arithmétique à des chiffres réels conduit ici à des résultats grossièrement contradictoires.

On a prétendu justifier l'emploi de la moyenne arithmétique simple en faisant valoir qu’elle comportait en réalité une pondération implicite et que cette pondération implicite était rationnelle. M. Flux écrit par exemple (1) que les indices simples sont en fait des indices pondérés, exprimant le coût des quantités qui peuvent être achetées à l’époque de base pour 100 unités monétaires, De même M. Divisia trouve (2) que l’indice simple a l’avantage d’avoir une pondération implicite qui est inversement proportionnelle à la cherté des marchandises,

Il est exact que certains indices simples sont en réalité

es indices pondérés : l’agrégat simple est une moyenne arithmétique des prix relatifs pondérée d’après les prix de l’année de base. Maïs il est faux de dire que la moyenne arithmétique simple comporte une pondération implicite. Rappelons que par analogie avec la mécanique, nous avons dit qu’un indice est une moyenne pondérée des différents prix relatifs quand chacun de ceux-ci n’a pas la même importance dans le calcul de l’indice; le poids attribué à un prix relatif est le nombre de fois que l’on compte ce prix relatif. Or dans la moyenne arithmétique simple, chaque prix relatif est compté une fois et une fois seulement; tous les poids sont donc égaux et il n’y a aucune espèce de pondération cachée, Ce qu’il y a d'implicite, c’est le budget de cet indice « budgétaire », que nous avons défini, soit comme une moyenne des prix relatifs pondérée d’après les valeurs, soit comme le coût relatif de quantités déterminées de marchandises détermi-

1921, mn. 178.

()ÈR AS ST (2R MR %P.1995, D:.8b0.

nées. La formule générale d’un indice budgétaire est, soit Vis Pl, soit — ce qui est la même chose —2Èr1, Ce qui Lib ? Zp,4

est implicite dans la moyenne arithmétique simple, ce sont les quantités. Il est facile de les faire apparaître : la moyenne

2 se . 1 D: ENS UE “ arithmétique simple 2 peut en effet s’écrire ——".

bà Po XK pre

La moyenne arithmétique simple exprime donc les variations du coût d’un budget dont les quantités seraient inversement proportionnelles aux prix de l’année de base. Ce sont les quantités de ce budget implicite qui sont, comme le dit M. Divisia, inversement proportionnelles à la cherté des marchandises.

Admettre, comme semble le faire M. Divisia, que ce budget implicite correspond à peu près à la réalité et par suite que la moyenne arithmétique simple convient, ou admettre que l'importance de tous les éléments de l'indice est sensiblement la même et par suile qu’on peut prendre tous les poids égaux, c’est exactement la même chose. Précisons ce point : Soit un nombre indice des prix de gros, dans lequel nous considérons que l'importance de chaque élément doit être proportionnelle à la valeur de la consommation. Supposons que l’on estime pouvoir se contenter d'un indice calculé par la moyenne arithmétique simple, c’est-à-dire que l’on admette que tous les éléments et en particulier le charbon et le lin ont la même importance. Si le charbon valait à l’époque de base 20 fr. la tonne (ou 0,02 fr. le kg) et le lin 2 fr. le kg, ce qui était sensiblement vrai en France en 19143, les quantités du budget implicite seront inversement proportionnelles aux prix de base, soit par exemple 50 kg pour le charbon et 0,5 kg pour le lin. En effet si à l’époque t, le

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charbon valait 80 fr. la tonne et le lin 20 fr. le kg., l’indice Lo est “+200

—700, ce qui peut aussi s’écrire 0£08 x 50k + 20f x 0k5 OPO2S SOUL KES

Admettre qu’en 1913 le charbon et le lin pouvaient être considérés conme également importants au point de vue de la consommation, c’est la même chose qu'admettre que les quantités consommées étaient dans le rapport de 100 à 1, c'est-à-dire dans le rapport inverse du rapport des prix à l’époque de base. Ajoutons qu’en fait il n’en était pas ainsi et que la quantité de charbon consommée en 1913 parait avoir été d’environ 3060 fois la quantité de lin consommée,

Le D° Felix Klezl est allé plus loin : il soutient en effet (1) que la relation fondamentale entre les prix et la consommation est qu'à {out moment les prix des marchandises sont en raison inverse du volume consommé, c’est-à-dire qu'une marchandise dont le prix est double de celui d’une autre est consommée en quantité deux fois moindre par la collectivité, cette relation s'appliquant naturellement non aux prix et à la consommation des marchandises dans l’économie individuelle, mais à la consommation globale de la collectivité, et seulement aux articies principaux de consommation et non aux articies de luxe ou aux succédanés des articles prineipaux de consommation. Le D° Klez! reconnaît que jusqu’à présent l’opinion générale à été qu’une diminution de la demande due au renchérissemrent doit avoir pour conséquence de modérer le prix des articles dont la consommation a diminué, mais il estime que l’expérience et les statistiques de prix de ces dernières années ont révélé que c’est en grand partie le phénomène inverse qui se produit, c’est-à-dire que l’article dont la consommation a nettement diminué renchérit plus que ceux qui sont consommés en masse; si au Cours d'un mouvement de hausse des prix, l'augmentation des revenus