Moyenne géométrique

De nombreux statisticiens ont conseillé l'emploi de la moyenne géométrique pour le calcul des nombres indices des prix. On a fait observer que la moyenne géométrique est la forme naturelle pour combiner des produits et des rapports, de même que la moyenne arithmétique est la forme naturelle pour combiner des sommes et des différences ou des fonctions linéaires quelconques. Si l’on représente donc les variations des prix par des rapports à une position de base, il est naturel de les exprimer par leur moyenne géométrique, de même que si ces variations étaient représentées par des différences par rapport à un niveau fixe, il serait naturel de les exprimer par leur moyenne arithmétique. On a dit que la moyenne arithmétique convenait à la représentation d’un état moyen, la moyenne géométrique à celle d’un mouvement moyen.

Ces arguments ont leur valeur; ils sont d’ailleurs plus particulièrement pertinents quand il s’agit des indices du type monétaire; en ce qui concerne les indices budgétaires simples, ils ne sauraient suffire à justifier l'emploi de la moyenne géométrique.

Nous avons vu que le grand défaut de la moyenne arithmétique était d’être irréversible par rapport au temps, par suite du changement qu'’entraîne le renversement du sens de la comparaison, dans le budget implicite dont la moyenne arithmétique simple exprime le coût relatif. La moyenne arithmétique ne peut être changée de base sans un nouveau

(1) Cf. cependant Coggeshall, « The arithmetic, geometric and harmonic means », Q. J. E., 1886-1887, pp. 83-86, cité par Irving Fisher, « The making..», p. 34,

calcul. Ces inconvénients n’existent pas dans la moyenne géométrique.

On a en effet G1,0 — VERRE SEE et Goi=4/E x te Le

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La moyenne géométrique jouit donc des propriétés de réversibilité et de transférabilité dont jouissent les prix relatifs individuels. Ses partisans ont encore invoqué en sa faveur un autre argument. Jevons, en particulier, après avoir critiqué la moyenne arithmétique, qui indique dans certains cas des augmentations moyennes trop fortes (ce à quoi Laspeyres réplique : en quoi trop fortes ?), recommande la moyenne géométrique comme étant intermédiaire entre la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique, et comme n’exagérant pas l'influence des marchandises dont le prix a beaucoup augmenté. Il est exact qu’en vertu des propriétés mêmes de la fonction logarithmique, ies prix relatifs élevés influencent moins la moyenne géométrique que la moyenne arithmétique et que les prix relatifs faibles influencent plus la moyenne géométrique que la moyenne arithmétique, mais it est impossible de dire d’une manière générale si c’est là pour la moyenne géométrique une qualité ou un défaut. Il semble que les partisans de la moyenne géométrique aient eu en vue cette corrélation négative entre les variations de prix et la consommation dont j'ai déjà parlé. Le lin, avons-nous dit, a subi par rapport à l’avant-guerre une augmentation de prix particulièrement forte; la consommation en a en même temps diminué. Ne devrions-nous pas en conséquence

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diminuer son influence dans le résultat d'ensemble ? En employant la moyenne géométrique au lieu de la moyenne arithmétique, nous réduisons à juste titre l'influence des marchandises dont le prix relatif a particulièrement augmenté et dont nous pouvons par suite présumer que l'importance relative a diminué, et inversement nous augmentons l’influence des marchandises dont le prix relatif est particulièrement bas et dont nous pouvons présumer que l’importance relative a augmenté. Ici encore on confond dans le raisonnement poids et quantité. La corrélation inverse que l’on a envisagée n’existerait qu'entre variations de prix et variations de quantité et non entre variations de prix et variations de valeur. Que la quantité consommée de certaines marchandises diminue quand le prix relatif s’en élève, c’est assez souvent le cas, mais rien ne dit que la valeur de la quantité consommée diminue aussi. Or l'importance attribuée à chaque élément de l’indice, son influence sur le résultat global, ou pour employer un terme plus précis son poids, est proportionnel, non à la quantité consommée, produite, échangée, etc., mais à la valeur de la consommation, de la production, de l’échange, etc. L'hypothèse que comporte l’emploi de la moyenne simple, c’est l’égalité de la valeur de la consommation, etc. On n'aurait à se préoccuper d’atténuer l'influence des prix relatifs élevés que si l’on avait des raisons de croire que la valeur de la consommation, etc., a diminué pour les marchandises correspondantes. Nous n'avons aucune raison de croire qu'il en est ainsi en général dans les indices des prix de gros des marchandises.

En face de l’avantage important que présente la moyenne géométrique sur la moyenne arithmétique en ce qui concerne la réversibilité et la transférabilité, les partisans de la moyenne arithmétique n’ont guère invoqué à l’encontre de la moyenne géométrique que sa moindre simplicité : la moyenne géométrique est plus difficile à calculer que la moyenne arithmétique, et plus difficile à comprendre pour la masse de ceux qui ont à se servir des nombres indices des prix de gros.

L’argument est fondé, mais je n’y attache pour ma part que très peu d'importance. Pour ce qui est de la difficulté de calcul, il n’y a pas à s’y arrêter. Si nous supposons un indice comprenant une centaine de marchandises, j'estime qu’en se servant d’une table de logarithmes, il ne faut pas plus d’une demi-heure de travail de plus pour calculer la moyenne géométrique que pour calculer la moyenne arithmétique, soit une demi-heure de travail supplémentaire par semaine ou par mois selon qu’il s’agit d’un indice hebdomadaire ou mensuel. Encore me plaçais-je à l’instant dans l’hypothèse la plus défavorable, car j’admettais que l’on désirait avoir les 100 prix relatifs eux-mêmes, ce qui n’est nécessaire que si l’on veut joindre au calcul de l’indice un calcul de la dispersion; dans ce cas, le travail supplémentaire consistait uniquement dans la recherche des 100 logarithmes des prix relatifs, car le calcul de la moyenne arithmétique de ces logarithmes n'est pas sensiblement plus long que celui de la moyenne arithmémoyenne arithmétique, on est obligé de calculer les 100 prix tique des prix relatifs eux-mêmes. Au contraire, pour l& relatifs dans tous les cas, même si l’on n’a pas à s’en servir pour un autre travail. Dans le cas de la moyenne géométrique, si l’on n’a pas besoin des prix relatifs, on peut abréger beaucoup le travail en calculant une fois pour

toutes log. . 2 —; on n’a plus alors à rechercher chaque DEP ODIPEES.CR

semaine ou chaque mois que les logarithmes des prix moyens absolus de la semaine ou du mois,

Sans vouloir anticiper sur ce qui sera dit plus loin de la recherche des éléments de l’indice, indiquons tout de suite que la réunion des données et l’examen critique qu'il faut en faire, c’est-à-dire la détermination des prix moyens absolus, exigent beaucoup plus de soin, d'intelligence et de temps que le calcul de l’indice une fois toutes les données rassemblées. Ce calcul, qu’il s’agisse de la moyenne géométrique ou de la moyenne arithmétique, peut être effectué par n'importe quelle personne attentive et consciencieuse.

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D'autre part pour comprendre ce qu'est une moyenne géométrique, il faut évidemment des notions de mathématiques un peu plus étendues que pour comprendre ce qu'est une moyenne arithmétique, mais les connaissances nécessaires sont encore bien modestes : il me semble que la définition de la moyenne géométrique, et même des logarithmes, est susceptible d’être comprise par tous, et il n’est nullement indispensable de savoir comment et pourquoi on a été conduit à considérer la fonction logarithmique. Les règles du calcul logarithmique sont extrêmement simples et n'importe qui peut les appliquer correctement et utilement. En vérité d’ailleurs mon expérience personnelle m’a persuadé que beaucoup de ceux qui utilisent ou simplement consultent les nombres indices des prix ne se préoccupent nullement de la méthode de calcul qui a été appliquée; quant à ceux qui ont assez de curiosité d'esprit pour s’en préoccuper, je serais bien surpris si l’emploi de la moyenne géométrique les embarrassait. Je n’attache donc aucune importance au reproche de complication théorique ou pratique qu’on a souvent adressé à la moyenne géométrique:

On peut enfin reprocher à la moyenne géométrique d’être dépourvue de toute signification concrète. La moyenne géométrique simple, a-t-on dit, n’est pas apte à représenter les variations de la dépense. Pierson en particulier a considéré les trois cas suivants (1) :

(1) Ec. J., 1896.

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