III. — Marchandise A 50 100 id. A

Dépense totale 250 200

Dans le premier cas, la dépense n’a pas changé de t, à t,; dans le second, elle a augmenté de 25 %; dans le troisième, elle a diminué de 25 % — et cependant la moyenne géométrique n’a marqué de changement dans aucun cas.

Au contraire la moyenne arithmétique exprime les variations du coût d’un budget déterminé (implicite s'il s’agit d’une moyenne arithmétique simple), ce qui est le but même des indices budgétaires.

Il ne faut pas cependant se laisser abuser par la terminologie : tout nombre indice du mouvement des prix comporte une part d’abstraction, mais cette part est variable selon les cas : quand il s’agit d’un indice du coût de la vie, cette part est minimum; s’il s’agit au contraire d’un, indice du mouvement général des prix de gros, elle est maximum; dans le premier cas l’indice est proprement budgétaire, il montre les variations du coût d’un budget moyen, d’ouvrier par exemple; mais dans le second cas, l’indice se présente sous la forme d’une moyenne des prix relatifs des différentes marchandises, pondérée d’après l’importance de chacune d'elles. Dans le premier cas il est désirable que la forme de la moyenne utilisée ait un sens concret; dans le second, l’emploi d’une forme plus abstraite ne me semble nullement à écarter a priori. Or nous nous sommes placés dans le pré-

INDICES BUDGETAIRES NON PONDERES 485

sent chapitre dans le domaine de l’abstrait, puisque nous avons admis par hypothèse que tous les éléments de l’indice sont également importants, ce qui est loin d’être exact dans la réalité. Le budget implicite qui correspond à la moyenne arithmétique simple étant purement, fictif, l’inconvénient d'employer une forme de moyenne qui n'ait pas de sens concret me paraît beaucoup plus faible que l’inconvénient que présente la moyenne arithmétique de ne pouvoir être changée de base directement.

Il n’y a d’ailleurs pas entre ces deux formes de moyennes l'opposition qu’on pourrait croire. Considérons en effet deux instants infiniment voisins t,, t,; si l’on envisage la variation absolue des prix, la moyenne arithmétique conviendrait, mais si l’on envisage la variation relative, c’est la moyenne géométrique qui convient : cette variation est en effet

tu d ti \ 2e | a. Log.p loc) P po to « to

M. Lucien March a montré (1) d’autre part que la moyenne géométrique différait infiniment peu d’une moyenne arithmétique des prix relatifs dans laquelle le prix à chaque instant serait rapporté, non plus à sa valeur à un certain moment pris pour base, mais à la moyenne des valeurs successives de ce prix. Lorsqu'il s’agit d’un phénomène permanent donnant lieu à des changements quasi-périodiques, on serait dispensé d’avoir à calculer de nouveau ce prix à chaque instant nouveau en prenant pour base le prix moyen de la période.

Le professeur Edgeworth a proposé récemment (2) une formule que l’on pourrait substituer, le cas échéant, à la moyenne géométrique : faisant observer qu'il n’y a aucune raison de préférer la moyenne arithmétique à la moyenne harmonique, il suggère d’employer la moyenne géométrique

(4) Metron, 1921, p. 77 et S. S. P., 1923, p. 262. (2) R. S. S., 1995, p. 566.

entre ces deux formules, soit /A x H. Cette formule est identique à la moyenne géométrique dans le cas de deux éléments seulement; dans le cas général elle en diffère très peu.

ET SPAS EME TwENTeE

RTE À gmoyenne arithmétique) SC (moyenne géométrique)

Ges deux formules, moyenne arithmétique rapportée au prix moyen et (/A.H n'offrent aucun avantage théorique ni pratique sur la moyenne géométrique.

Il est intéressant d’examiner quels sont les liens qui unissent en fait la moyenne arithmétique à la moyenne géométrique. On a représenté sur le graphique n° 45 les variations de la moyenne arithmétique et de la moyenne géométrique des 98 séries de prix relatifs entrant dans la COMPOsition de l’indice du Federal Reserve Board pour la France.

INDICES BUDGETAIRES NON PONDERES 187

à ms

On voit immédiatement que la moyenne géométrique est toujours plus petite que la moyenne arithmétique, ce qui est conforme à la théorie,.et que les deux courbes sont sensiblement parallèles; elles atteignent toutes deux leurs maxima et leurs minima en même temps, et à une exception insignifiante près, les variations d’un mois sur le précédent sont toujours de même sens pour les deux moyennes. Il faut se rappeler que ce parallélisme n’a certainement pas été constant, puisque si j’avais pu représenter les deux courbes depuis leur origine 1913, elles seraient parties de deux points infiniment voisins.

On peut étudier de plus près les rapports entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique et calculer soit le rap-

A : as à .

port c—7, (toujours supérieur à 1), soit ce que le Docteur

Hersch (1) appelle le coefficient de divergence Pa

Ce coefficient a été calculé ci-dessous, d’une part pour les 98 séries de l’indice du Federal Reserve Board, d’autre part pour les 45 séries de l’indice de la Statistique générale de la France (2).

1920 1921 1922 1923 1924 ee || © || me > || ne te —©° || es F.R.B. | S.G.r./lr.n.B. | s.G.r./lF.R.p. | S.G.r.]lr.R.B. | s.G.r.llr.n.p. | S.G.r. Janvier 9,9 | 12,2|| 7,0 | 10,8) 6,2 | 8,0! 8,8] eo! 9,5 | 9,6 Février 10,5 12,5 Te 12.7 6,7 9,3 9,3 8,4|| 10,5 11,2 Mars 9,64 12,3] 8,7 | 12,7|| 6,5 | 8,9]! 9,2 | &6!l 9,7| 9,7 Avril 10,8 12,6 8, 13,0 67 9,3 9,0 9,1 8,6) 8,8 Mai 11,2 13,0 75 12,1 6,7 8,6 8,8 9,0 8,4 Juin 14,5 | 12,91 7,9 | 122|| 6,9 | 9,0! 8,1 8,0|| 8,7 Juillet 140.1 13 0/M7:6. 44-707 on INNe 4110 503 8,3|| 8,5 Août 10,3 | 12,6|| 7,8 | 9,7| 7,4 | 8,5|| 7,4 7,9|| 8,4 Septembre 9,1 12,6|| 6,9 9,3|| 7,0 8,2|| 7,6 8,9|| 8,0 Octobre 8,2 | 10,1|| 6,3 79|| 7,6 | 7,4! 8,0 | 8,5] 7,6 Novembre 8,5 9,411 6,5 7,6 8,4 7,4]| 8,4 9.2 7,6 Décembre 7,9 | 10,1|| 6,2 7,7|| 8,1 7,2|| 8,8 9,11] 7,6 Moyenne 9,9 | 12,0! 7,3 | 10,61! 7,1 | 8,4] 8,5 | 8,6 8,6

(1) J.:S. iS., 19924, I, p. 53-54.

(2) La valeur de la moyenne géométrique correspondant à l'indice de {a Statistique générale de la France pour les 52 premiers mois de la période étudiée a été publiée par M. Dugé de Bernonville dans $S. S. P., 1924, pp. ?244-

Pour les cinq années étudiées, le coefficient moyen de divergence des indices du Federal Reserve Board est de 8,3 %. Pour les 52 premiers mois, le coefficient moyen de divergence des indices de la Statistique générale de la France est de 9,9 %, contre 1 à 2 % avant la guerre. On voit sur le graphique n° 16, qui représente les variations du coefficient

gr. n° 16: coeff de diverg® d= Fe 00

de divergence entre les moyennes arithmétique et géométrique, que ce coefficient varie à peu près comme la dispersion relative : on retrouve les-maxima de 1920 et du début de 1923 et de 1924, mais l’amplitude des variations est beaucoup moins forte que pour la dispersion relative. Cette similitude pouvait d’ailleurs être prévue. Dunckler, puis M. Norman Crump ont établi en effet l’existence d’une relation intéressante entre les valeurs de A, G, et :, On sait en effet qu’à l’écart quadratique moyen ; des prix relatifs correspond l'écart quadratique ;, des logarithmes de ces prix relatifs et qu'aux valeurs A+ correspondent les valeurs Gxantilog. , (1) et Te Or quand la dispersion relative est faible, est très voisin de A— 5, et G x antilog.

antilog. Se

(1) L’antilogarithme de æ est le nombre naturel qui a pour logarithme x.

INDICES BUDGETAIRES NON PONDERES 189

est très voisin de A+, En éliminant æ on trouve la rela-

At G SS 2 2 2 Re D'où A°—G =.

tion

De cette égalité on peut déduire une relation entre le coefficient de divergence d et la dispersion relative. Soit V

le coefficient de variation +. On à A?—G?=V* x 4°.

Coke | 1 Posons + =C et éliminons À et G. Il vient 4——— V?, ; One Dee ou encore V=i—

d nous est donné par le tableau ci-dessus, V par le tableau de la page 92. On a recherché si la relation précédente était vérifiée pour les valeurs moyennes annuelles de V et de d

La vérification n’est qu’approchée, parce qu’en l’espèce la dispersion relative était élevée; elle est presque exacte pour l’année 1921 pendant laquelle la dispersion relative à été le plus faible. La relation A°—G°= 5° est néanmoins très utile à retenir et est susceptible d'applications intéressantes.