Médiane et dominante

L'emploi de la médiane simple consiste à prendre pour indice le prix relatif qui partage en deux parties égales la liste des prix relatifs supposés rangés par ordre de grandeur. Il a été recommandé très vivement par quelques-uns des sta-

tisticiens les plus éminents qui se soient occupés de la théorie des nombres indices des prix, en particulier par les professeurs Edgeworth, Bowley et Irving Fisher.

On a surtout invoqué en sa faveur des arguments d’ordre pratique; cependant on a fait valoir également l’argument théorique que la médiane est peu sensible à l’influence des prix relatifs extrêmes, en particulier des prix relatifs très élevés. Le professeur Wesley Mitchell a noté cette particularité dans son livre « Gold-Prices and Wages under the Greenbackstandard », à propos des prix extrêmement élevés qu'avaient atteints à l’époque considérée les marchandises provenant des Etats du Sud et notamment le coton; pendant cette période, la médiane est très sensiblement inférieure à la moyenne arithmétique; la différence maximum se produit en juillet 1864; elle atteint 42 points, soit 20 % de la médiane (Mé—194; A —236).

Cette propriété tient au fait que la grandeur des différents prix relatifs n’influe pas sur la médiane, mais seulement leur ordre. L’argument ainsi invoqué l’a été également en faveur de la moyenne géométrique, et j'ai déjà dit que je ne le considérais pas comme valable. Il n’est en effet nullement démontré que l’importance relative d’une marchandise diminue dans le cas général quand son prix subit une hausse particulièrement forte.

L’argument qu’on a le plus invoqué en faveur de la médiane, c’est la facilité avec laquelle on peut la calculer : en réalité 1] n’y a même pas de calcul proprement dit, il suffit de ranger les quantités considérées, puis en partant des quantités extrêmes de laisser tomber successivement une grandeur à chaque extrémité de la liste. En fait, il n’est même pas nécessaire de ranger toutes les données; même en présence de données nombreuses, on voit immédiatement à peu près où tombera la médiane. En tout cas on distingue tout de suite un groupe de quantités certainement inférieures et un groupe de quantités certainement supérieures à la mé-

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diane, et on supprime dans chaque groupe un nombre égal de quantités, sans prendre la peine de ranger le groupe; on ne range que le groupe central.

Il est incontestable que la médiane d’un certain nombre de données est très facile à déterminer — une fois que les données sont calculées —, mais d’abord cet argument a perdu de sa force, aujourd’hui que l’emploi des procédés mécaniques de calcul s’est généralisé. De plus je me demande si le calcul de la médiane exige moins de temps que celui de la moyenne arithmétique. Considérons par exemple un indice portant sur 100 marchandises. Pour calculer la médiane comme pour calculer la moyenne arithmétique, il faut commencer par calculer les 100 prix relatifs, donc aucun gain de temps de ce côté-là ; puis, pour obtenir la médiane, il faut classer, sinon la totalité de ces 100 prix relatifs, du moins un bon nombre d’entre eux; il ne faut pour cela qu’un petit nombre de minutes, soit, mais croit-on qu'il faudra beaucoup de temps pour additionner — même sans le secours d’une machine à calculer — 100 nombres de 4 chiffres (ce qui est le cas général pour les indices actuels, calculés avec une décimale sur la base de 100) et diviser le total par un nombre voisin de 1400 ? Même si on ne dispose pas d’une machine à calculer, mais seulement comme moi-même d’une table de logarithmes, le calcul complet d’une moyenne arithmétique d’une centaine de prix relatifs, à partir des prix absolus, demande sensiblement moins de deux heures. Quant au calcul de la moyenne géométrique, exécuté dans les mêmes conditions, il ne demande pas plus de temps, et si l’on n’a pas besoin de connaître les prix relatifs eux-mêmes, le calcul complet de la moyenne géométrique d’une centaine de prix relatifs, à partir des prix absolus, demande moins de 3/4 d'heure.

Ainsi dans les hypothèses les plus favorables à l'emploi de la médiane, la substitution de la médiane à la moyenne arithmétique ou à la moyenne géométrique ne peut procurer qu’une économie de temps insignifiante.

Mais, ajoute-t-on, en même temps que la médiane, on à, grâce aux quartiles, une mesure de la dispersion. J’estime qu'on a trop négligé jusqu'ici l’étude de la dispersion, je suis donc tout particulièrement sensible à cet argument. Mais il n’est valable que si l’on se contente de la mesure très grossière de la dispersion qu’on peut tirer de la considération des quartiles; l’écart relatif moyen et surtout le coefficient de variation seraient bien préférables. En tout cas, l'argument n’est qu’accessoire, car, ainsi que M. Correa Moylan Walsh l’a fait observer (1), la détermination de l’indice et la mesure de la dispersion sont deux problèmes distincts.

Notons enfin que la médiane, contrairement à la moyenne arithmétique et à la moyenne harmonique, est réversible par rapport au temps, le changement de sens de la comparaison ayant simplement pour effet de renverser l’ordre des prix relatifs. Mais la médiane ne satisfait pas à la condition circulaire. D'autre part le professeur Edgeworth considère la médiane comme recommandable parce qu’étant « de l’espèce la plus objective, adaptée à aucun but spécial, tel que les besoins du consommateur, ou les difficultés du producteur, mais plus impersonnelle et absolue » (2). Sans doute la médiane est objective, mais pas plus que la moyenne géométrique, et il n’est pas certain que ce soit là une qualité.

On a au contraire adressé à la médiane divers reproches, d'inégale importance. Tout d’abord, a-t-on dit, si l’on a réparti en groupes les marchandises étudiées, les médianes des différents groupes ne peuvent être combinées comme pourraient l’être des moyennes arithmétiques. Pour avoir la médiane de l’ensemble des prix relatifs, il faut recommencer toute l’opération sur cet ensemble, tandis que si l’on veut calculer la moyenne arithmétique à partir des moyennes

(1) The Problem of Estimation, p. 133, note 182 = (2) Papers, pp. 327-398.

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de groupes, il n’est nullement nécessaire de connaître tous les prix relatifs, il suffit de connaître, outre les moyennes de groupes, le nombre d’articles contenus dans chaque groupe. Il ne faut pas s’exagérer l'importance de ce reproche, car dans le cas de la médiane il n’est pas nécessaire de refaire l’opération de classement sur tout l’ensemble, mais seulement sur la partie centrale, comprise entre les médianes partielles extrêmes; elle exige cependant que l’on dispose des prix relatifs eux-mêmes.

On doit, a-t-on dit, rejeter la médiane parce qu’on pourrait remplacer tous les prix relatifs supérieurs à la médiane par des prix relatifs plus élevés et tous les prix relatifs inférieurs à la médiane par des prix relatifs plus faibles, sans changer la médiane. On peut même imaginer une infinité de modifications des prix relatifs qui ne feraient pas varier la médiane. C’est exact, mais il en serait de même de toutes les autres formes de moyennes. Tout ce qu’on peut dire, c’est que le choix de ces modifications est plus large pour la médiane que pour les autres formes, parce que la médiane ne dépend que de la position respective des prix relatifs. Au surplus il ne s’agit pas de modifier les données, mais de les prendre telles qu’elles sont et de choisir la meilleure manière d’en déterminer la moyenne.

Si les données sont très nombreuses et très concentrées, il arrive très souvent que la médiane ne réponde plus à sa définition. Si par exemple la médiane tombe dans un groupe très nombreux de chiffres identiques, il n’est plus vrai que la moitié des cas soit au-dessus et la moitié au-dessous de la médiane. M. Wesley Mitchell a cité le cas des variations de prix relevées par le Bureau of Labor Statistics pour 1891 par rapport à 4890 : 232 articles étaient représentés; or 82 articles avaient haussé de prix, 44 étaient restés constants, 106 avaient baissé de prix; donc la médiane tombait dans le groupe sans changement, et même le 6° décile aussi, par

suite ni la médiane, ni même le 6° décile, ne partageaient la série des variations en deux groupes numériquement égaux.

Un autre inconvénient se présente quand, au lieu d’y avoir une forte concentration centrale, les prix relatifs sont éloignés les uns des autres vers le milieu de la liste, ou a fortiori si les prix relatifs sont répartis en deux groupes sensiblement aussi nombreux et éloignés l’un de l’autre; plus généralement la médiane a le défaut de n’être pas sensible : une variation de prix qui ne fait pas passer une quantité de la moitié supérieure de la liste à la moitié inférieure, ou inversement, n’affecte pas la médiane, Cet inconvénient peut devenir très grave si les données dont on prend la médiane ne sont pas nombreuses. Comme dans ce cas il peut y avoir une différence notable entre la médiane et les deux prix relatifs immédiatement voisins, il peut arriver très bien qu’une variation importante des prix relatifs n’affecte pas la médiane; et si celle-ci change, elle change brusquement beaucoup. Le professeur Irving Fisher, ayant à calculer la médiane de 36 prix relatifs, a pris trois d’entre eux au hasard, puis à ajouté successivement les autres prix relatifs deux par deux, toujours au hasard : sur 17 étapes qu'a comportées ce calcul, il n’a trouvé que 6 changements de valeur pour la médiane.

Tous ces défauts tiennent au caractère fondamental de la médiane de n'être pas une fonction des différents prix. La médiane est tout à fait recommandable quand les intervalles des données n’ont aucune signification. Mais un bon indice budgétaire doit être fonction de la valeur des prix relatifs. Pour cette raison je considère que la médiane doit être condamnée théoriquement. Pratiquement elle ne présente aucune supériorité Sur la moyenne arithmétique ni sur la moyenne géométrique. Dans ces conditions je ne vois nulle raison de l’employer.

Il résulte du caractère de la médiane qu’elle n’a aucune position définie par rapport à la moyenne arithmétique ni à

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la moyenne géométrique; elle peut être supérieure à la moyenne arithmétique, comprise entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique, ou plus petite que la moyenne géométrique. En fait elle ne sera presque jamais supérieure à la moyenne arithmétique. Nous avons vu en effet que par suite de la forme même des prix relatifs, qui peuvent croître au-delà de toute limite et ne peuvent tomber au-dessous de 0, les écarts en plus par rapport à la moyenne arithmétique seront en général moins nombreux que les écarts en moins; il en résulte que la moyenne arithmétique sera en général plus grande que la médiane; cependant cette règle souffre des exceptions. Les différentes recherches qui ont été faites à ce sujet montrent, d’autre part, que la médiane suit en général la moyenne géométrique d’assez près. Le professeur Edgeworth estime même que la médiane suit la moyenne géométrique quand la distribution des données est géométrique (c’est-à-dire quand la distribution de leurs logarithmes est conforme à la loi de Gauss) et la moyenne arithmétique quand la distribution des données elles-mêmes est conforme à la loi de Gauss; cela n’a rien que de naturel, puisque dans le premier cas on est certain a priori que la médiane est du même côté de la moyenne arithmétique que la moyenne géométrique, et dans le second cas que, la distribution étant voisine de la distribution normale qui est symétrique, la médiane et la moyenne arithmétique sont voisines.

Le caractère erratique de la médiane est d’autant plus marqué que l’on part de données moins nombreuses. Le professeur Wesley Mitchell l’a vérifié en comparant la médiane et la movenne arithmétique pour 25 années, successivement pour 445 et pour 25 prix relatifs (1). M. Norman Crump à comparé la médiane à la moyenne arithmétique et à la moyenne géométrique pour les séries de prix relatifs servant

au calcul de l’indice du Financial Times (1) : sur 31 comparaisons, la médiane a été 7 fois supérieure à la moyenne arithmétique, 22 fois comprise entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique et 2 fois plus petite que la moyenne géométrique. J'ai comparé de même la médiane à la moyenne arithmétique et à la moyenne géométrique pour les 98 séries de prix relatifs entrant dans le calcul de l'indice du Federal Reserve Board pour la France et pour les 45 séries

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de prix relatifs de l'indice de la Statistique générale de la France. Dans le premier cas, la médiane n’est jamais supérieure à la moyenne arithmétique, elle est comprise 24 fois