Condition de changement d’unilé de mesure, —— Comme

la condition (2) de M. March.

Des huit conditions ainsi posées, trois portent sur les indices corrélatifs, les conditions 2, 4 et 6, et tiennent aux circonstances très particulières dans lesquelles le professeur Irving Fisher a abordé le problème des nombres indices des prix; trois sont considérées également comme nécessaires par M. Lucien March : les conditions de commensurabilité, de proportionnalité et la condition circulaire; deux sont nouvelles : la condition de détermination et la condition d’addition ou de suppression d’un élément. Au contraire, deux conditions posées par M. March sont omises par le professeur Irving Fisher, les conditions de sensibilité et de simplicité.

Après avoir énuméré les conditions auxquelles doit satisfaire un indice, le professeur Irving Fisher compose une liste de 44 formules et examine si elles satisfont ou non à ces conditions. Pour apprécier la valeur respective de ces 44 formules, il a recours à un procédé original : il leur donne des notes, { quand la formule satisfait à une condition pour deux années quelconques, 1/2 quand elle n’y satisfait que si l’une des années est l’année de base, 0 quand elle n’y satisfait pas du tout, puis il additionne les points obtenus, comme s’il s’agissait d’un candidat à un examen. je ne donnerai pas le résultat de cet examen un peu spécial, parce que le professeur Irving Fisher a par la suite repris entièrement ces recherches. Au surplus cette étude n’était pas susceptible d'aboutir à des conclusions précises : il est évident d’abord que toutes les conditions n'étaient pas d’égale importance; d’autre part une formule qui obtenait { pour une condition ne pouvait pas être regardée comme deux fois meilleure qu’une autre qui n’obtenait qu’1/2 pour cette même condition. Disons toutefois que ce sont Îles formules les plus simples qui ont obtenu les notes totales les plus élevées : sur un maximum de 7 points (la 6° condition n’ayant pas été prise

en considération), le maximum obtenu a été de 5 1/2, le minimum de 2. Or les seules formules qui aient obtenu 5 ou 5 1/2 sont l’agrégat, la moyenne géométrique et la médiane

DH CR D qd ; :

= et =— ainsi que leurs com- 2 Po go 2 poqi

simples, et les formules

binaisons.

Dans cette recherche, le professeur Irving Fisher avait concentré son attention sur les propriétés algébriques des différentes formules. Dans ses travaux ultérieurs, qui ont abouti à la publication de l’ouvrage célèbre « The Making of Index Numbers », son attention s’est portée surtout au contraire sur les résultats numériques des diverses formules ayant des propriétés algébriques différentes. Mais « dès que ces résultats numériques furent calculés, ils révélèrent de nouvelles directions dans lesquelles étudier les raisons des différences et ressemblances, étude d’une importance pratique beaucoup plus grande que les propriétés algébriques des formules » (1).

Dans sa nouvelle étude, le professeur Irving Fisher n’a plus imposé que deux conditions à la formule, mais ces conditions ne lui ont pas servi seulement à apprécier la valeur des différentes formules; il s’en est servi aussi pour former rationnellement une liste des formules. Cette liste n’a naturellement pas la prétention de comprendre toutes les formules possibles, puisque celles-ci sont en nombre infini, mais elle comprend notamment les formules qui ont été proposées jusqu'ici et 1l semble qu’elle n’omette aucune formule susceptible de présenter un intérêt quelconque.

Les deux grandes conditions que le professeur Irving Fisher impose aux formules sont d’être réversibles par rapport au temps et par rapport aux deux facteurs, prix et quantités. On se rappelle que, dans son ouvrage précédent, il avait posé huit conditions. La condition de réversibilité

(1) The Making.…, p. 419.

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 921

par rapport au temps remplace la condition n° 7, c’est-à-dire la condition circulaire. La condition de réversibilité par rapport aux facteurs peut être considérée comme remplaçant les conditions portant sur les indices corrélatifs, c’est-à-dire les conditions 2, 4 et 6. Il reste quatre conditions, que le professeur Irving Fisher à négligées dans le corps de son ouvrage, mais qu’il a examinées à titre accessoire dans un appendice; ce sont les conditions de commensurabilité, de proportionnalité, de détermination, d’addition et de suppression d’un élément. J’exposerai d’abord la théorie du professeur Irving Fisher sur la recherche des formules et l’appréciation de leur valeur.

Les formules primaires sont obtenues en combinant les différents types de moyennes avec les différents systèmes de pondération. Les divers types de moyennes sont ceux que nous avons déjà énumérés : moyenne arithmétique, moyenne harmonique, moyenne géométrique, médiane, dominante et agrégat. Quant à la pondération, elle doit être proportionnelle à la valeur de la production, de l'échange, de la consommation, etc. Mais doit-on pondérer selon la valeur de l’année de base ou de l’année considérée ? La chandelle est bien moins importante aujourd’hui que sous la Révolution, et inversement le caoutchouc est beaucoup plus important aujourd’hui qu’il y a 30 ans : en comparant le niveau des prix sous la Révolution et aujourd’hui, ou il y a 30 ans et aujourd’hui, faut-il prendre pour poids les valeurs v, ou les valeurs v, ? De plus on ne doit pas oublier que la valeur ne varie pas du tout de la même manière pour tous les éléments.

On voit immédiatement que deux systèmes de pondération sont également possibles, le système v,=p,q, et le système v,=pP,q. Mais en outre on peut concevoir deux systèmes mixtes de pondération, dans lesquels les prix sont ceux d’une année et les quantités celles de l’autre année. D’où quatre systèmes de pondération :

Iron Ep:

LE, 0ps INR

Ces systèmes se réduisent à deux dans le cas des agrégats, qui utilisent les prix absolus et où les poids sont par suite les quantités et non les valeurs.

Chacun des 5 premiers types de moyennes donne donc naissance à 5 formules (par application de la pondération égale et des 4 systèmes de pondération ci-dessus), et l’agrégat 3 formules (pondération égale et 2 systèmes de pondération). D’où 28 formules, mais ces 28 formules ne sont pas toutes distinctes : les formules A 1 (moyenne arithmétique pondérée par les valeurs (p,q,), H Z11 (movenne harmonique pondérée par les valeurs p,q,), et Ag 1 (agrégat pondéré par Si: de même les formules A 11 (moyenne arithmétique pondérée par les valeurs Pod), H 1V (moyenne harmonique pondérée par les valeurs P,q.) et Ag 11 (agrégat pondéré par les quantités q,) s’écri-

les quantités q,) s’écrivent toutes trois

X pi qu Y poq1

mules primaires distinctes.

vent toutes trois

On n'a donc formé ainsi que 24 for-

Nous avons dit que pour apprécier la valeur des diverses formules, 1l faut, d’après le professeur Irving Fisher, examiner si elles satisfont à deux conditions de réversibilité. La condition de réversibilité par rapport au temps a été étudiée plus haut; son importance avait été reconnue déjà par Pierson en 1896 (1) et par M. Correa Moylan Walsh en 1901 (2). La condition de réversibilité par rapport aux facteurs a été posée au contraire pour la première fois par le professeur Irving Fisher, probablement, ainsi qu'il l'indique lui-même, parce qu'on à rarement calculé des indices de quantité et presque

(1) Ec. 7.

(2) « The Measurement of the General Exchange-Value, 1901.

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 223

jamais parallèlement à l'indice de prix correspondant (1). Cette condition est que le produit des résultats obtenus en interchangeant dans une formule les prix et les quantités doit donner exactement le rapport des valeurs.

Si l’on appelle Q la formule obtenue en interchangeant les prix et les quantités dans une formule P d'indice de prix, V pi qu

Sn les deux conditions de réversibilité 0 (o

l’indice des valeurs

s’écrivent (4) Lo X Lou —1 (2) Pi» x Qi = Vi,

Le professeur Irving Fisher a démontré ensuite que ceriains types de moyennes et certaines méthodes de pondération rendent le produit P1 x Poy systématiquement, soit supé-

rieur, soit inférieur à 1.

Nous avons déjà vu que l’on a toujours : A,,*Ao1 1, Hi,6xHou< 1, et GioxGou= 1. On exprime ce résultat en disant que la moyenne arithmétique comporte une déviation positive et la moyenne harmonique une déviation négative, ou encore que la moyenne arithmétique dévie en plus et la moyenne harmonique en moins, tandis que la moyenne géoméitrique n’a pas de déviation.

Quant à la déviation due au système de pondération, on la met en lumière en opérant sur la moyenne géométrique dont le type ne comporte pas de déviation.

Pour une formule donnée, l’indice à pondération 7 (p,q,) est toujours plus petit que l’indice à pondération 11 (p,q,), de même que l’indice à pondération J1 (p,q,) est toujours plus petit que l’indice à pondération IV (p,q,); en outre il est très probable que l’indice à pondération 1 (p,q,) sera plus petit que l’indice à pondération 1V (p,q,) et que l’indice à pondération /1 (p,q,) sera plus petit que l'indice à pondération ZIE (p,q,).

(4) Loc. cit., p. 82.

En effet pour passer de la pondération 1 à la pondération 111, on remplace p,q, par p,Q,; on donne ainsi un poids plus grand aux prix relatifs élevés et inversement. Donc tout indice à pondération 111 sera plus grand que l'indice de même type à pondération 1. Mais dans le passage de la pondération 111 à la pondération 1V, il y a incertitude. Les deux indices seront probablement peu différents l’un de l’autre, mais le sens de la différence dépendra du sens de la corrélation entre les variations de prix et les variations de quantités. On peut mettre les déviations dues à la pondération sous la même forme que les déviations dues au type de moyenne. Le professeur Irving Fisher démontre ainsi que les systèmes 1 et 11 entraînent une déviation en moins et les systèmes 111 et IV une déviation en plus. Les déviations ainsi trouvées augmentent très rapidement avec la dispersion des prix relatifs.

On est alors amené à grouper les formules en cinq catégories : celles qui comportent deux déviations en plus, l’une due au type de moyenne, l’autre due au système de pondé-

ration (A II et À IV, celle-ci Ex» ee étant particulière-

= D Em ment intéressante pour avoir été appliquée par Palgrave), celles qui comportent une seule déviation en plus (G ZI et G IV), celles qui comportent deux déviations de signe contraire (AI, À 11, H HI, H 1V, c’est-à-dire £ et y}, celles qui comportent une seule déviation en moins (G Z et G 111), celles qui comportent deux déviations en moins (H / et H 11). Ces groupes forment ce que le professeur Irving Fisher appelle pittoresquement la « fourchette à cinq dents ». On réserve le nom de formule « déviée » (1) aux formules comportant une déviation de sens donné, ou deux sortes de déviations de même signe. Les formules pour lesquelles les deux sortes de déviations sont de signes différents sont dites simplement

(4) En anglais, hiased.

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 929%5

« erratiques » (2). Les formules pour lesquelles la déviation globale est faible, mais pour lesquelles la déviation de la formule prise dans un seul sens peut être forte, sont dites « capricieuses » (3). Le professeur Irving Fisher range parmi ces dernières les médianes et les dominantes, à cause de leur insensibilité fréquente, et les indices simples dont les poids égaux sont très différents de ce qu’ils devraient être en fait.

Les conditions de réversibilité ont été appliquées par le professeur Irving Fisher au développement de la liste des formules. Etant donnée une formule d’indice des prix Pi» on appelle antithétique de cette formule par rapport au temps

1 me la formule are Cette relation est réciproque, car si on part de cette dernière formule, on obtient son antithétique par

rapport au temps en permutant les périodes, d’où puis

en prenant l’inverse, ce qui ramène à P;». D'autre part l’antithétique de P:% par rapport aux facteurs est obtenu en divisant l’indice des valeurs par l’indice résultant de la È pi qu permutation des p et des q dans la formule, soit Emw , Q1,0 Si on prend la moyenne géométrique d’une formule et de son antithétique par rapport au temps, la nouvelle formule obtenue est réversible par rapport au temps : on a bien en effet be X V = De même en prenant la moyenne géométrique d’une formule et de son antithétique par rapport aux facteurs, on obtient une nouvelle formule qui est réversible par rapport aux facteurs. En effet on a bien ru sa Qyo X Ve SA P10 — +

Ypo Go »2 qe Po : 2 Poe

(2) En anglais, erratic.

(3) En- anglais, freakish.

Etant données deux formules antithétiques par rapport au temps, leurs antithétiques par rapport aux facteurs sont entre elles antithétiques par rapport au temps; de même étant données deux formules antithétiques par rapport aux facteurs, leurs antithétiques par rapport au temps sont entre elles antithétiques par rapport aux facteurs.

On peut ainsi grouper les formules par quatre, comprenant une formule À, son antithétique par rapport au temps B, son antithétique par rapport aux facteurs C et l’antithétique de C par rapport au temps; cette quatrième formule D est, ainsi qu'il vient d’être dit, antithétique de B par rapport aux facteurs.

On procède à une double rectification de la formule initiale A, c’est-à-dire qu'on obtient une formule satisfaisant aux deux conditions de réversiblité, en prenant la moyenne

géométrique VLE BxCxD.

Cette double rectification des indices pondérés les rend à peu près concordants. Si l’on forme des faisceaux successifs, composés des prix relatifs individuels, puis de leurs moyennes pondérées ne satisfaisant à aucune des conditions de réversibilité, puis des formules satisfaisant à une seule des conditions de réversibilité, enfin des formules satisfaisant à ces deux conditions, on voit les faisceaux successifs se resserrer progressivement d’une manière saisissante; si l’on exclut les formules dérivées de la dominante, et surtout si l’on exclut également les formules dérivées de la médiane, le dernier faisceau se réduit pratiquement à une ligne unique.

Aux 28 formules primaires viennent s’adjoindre leurs 28 antithétiques par rapport aux facteurs; parmi ces formules,

S ; VER ñ . : =pidi l . 147 r Je citerai seulement SRE V RL qui à été recommandée

DT qi t DER

Zpog Ze

par Nicholson et par M. Walsh, qui est la formule

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 227

de Drobisch et de Rawson-Rawson déjà étudiée, enfin

pin Xp à Ÿ pi qi : qui se confond avec y |= ;

Zpogo qopo Ë po qi

En croisant ces différentes formules avec leurs antithétiques par rapport au temps, on obtient 32 formules qui satsfont à la première condition (réversibilité par rapport au temps), mais ces 32 formules ne sont pas toutes distinctes :

VA 1xH IV et VA IxH HI, VAg 1xAg IV

de même que les croisements de leurs antithétiques par rapport aux facteurs se réduisent à une seule formule d’impor-

Enw Ÿ pi qi

tance capitale VE (VB.y); en outre certaines se

À po go * pd confondent avec des formules primaires; la moyenne géométrique, la médiane, la dominante et l’agrégat simples étant réversibles par rapport au temps, la formule croisée qui dérive de chacune d'elles est identique à la formule primaire; il en est de même pour leurs antithétiques par rapport aux facteurs. De même en croisant les formules primaires avec leurs antithétiques par rapport aux facteurs, on obtient 28. formules satisfaisant à la deuxième condition (réversibilité par rapport aux facteurs). Les formules croisées dérivées de A Let de A 11, de H 111 et de H 1V, de Ag I et de Ag IV se réduisent toutes à 4/8.+.

En croisant les formules satisfaisant à la première condition avec les formules correspondantes satisfaisant à la deuxième condition, on obtient seize formules satisfaisant aux deux conditions de réversibilité. Pour la moyenne géométrique, la médiane, la dominante et l’agrégat simples, ce nouveau croisement ne donne pas une formule différente de fa formule provenant du premier croisement. Enfin les formules dérivées de

VA TxH IV, de VA IH xH HI, de VAg TxAg IV ne sont autres que la formule déjà rencontrée plusieurs fois :

ICO

U existe une autre méthode pour rectifier les formules,

c’est-à-dire pour obtenir des formules satisfaisant aux deux conditions, c’est de croiser la pondération au lieu de croiser les formules elles-mêmes. Mais le croisement géométrique des deux systèmes de pondération I et IV (p, 4 X P1 qi) est identique au croisement géométrique des deux systèmes IT et HE

evrv Vo EE pi q poy

(Ps Gi XP, LL). On obtiendra ainsi par exempl

à EVodepa go pi qi È V/po do pi u/

De DES (72e as pi a EX Do de Pi qu qui ; ae recommandée par M. Walsh, et de même la formule Zp: V/aoa Zpo Va

par Poulett-Scrope et par M. Walsh; l’antithétique de cette Ÿ pi qi : DIVATE qi

Epodæ » Vr Pi

ve Po Go p: qi

() V/po do pi a fP ( ) VAUT wglophiq po

dérivée de l’agrégat simple, qui a été recommandée

dernière formule par rapport aux facteurs

été également recommandée par M. Walsh.

Les quatre formules à poids croisés dérivées des moyennes arithmétique et harmonique ne satisfont à aucune des conditions de réversibilité, mais en les croisant deux à deux, on obtient deux nouvelles formules satisfaisant à la première condition. Les huit formules à poids croisés dérivées de la moyenne géométrique, de la médiane, de la dominante et de l’agrégat satisfont à la première condition, et leurs valeurs coïncident presque avec celles des formules croisées correspondantes (sauf pour les médianes); aucune ne satisfait à la deuxième condition, mais on peut y parvenir en croisant les formules. La double rectification ainsi obtenue donne cinq formules satisfaisant aux deux conditions et conduit pratiquement aux mêmes résultats que la DE rectification ordinaire. ;

Au lieu de croiser deux formules en en prenant la moyenne géométrique, on peut les croiser en en prenant la moyenne arithmétique ou la moyenne harmonique. Mais ce croiserent ne donne pas des formules satisfaisant aux conditions

LES FORMULES D'’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 229

de réversibilité. On peut par exemple prendre la moyenne

» Piqo > Pi qi

arithmétique des deux formules 8 et y: 8+y

Ÿ podo Y po qu PR F | Son antithétique par rapport soit au temps soit aux facteurs €

St: = © ___,quinest autre que la moyenne harmo- ZE podi Fe ZE po qo

Epigi pig nique de £et de. En prenant la moyenne géométrique de la formule primitive et de son antithétique, on retombe sur la formule/6.+, puisqu'on sait que pour deux nombres G—VAXxH.

De même au lieu de croiser géométriquement les poids, on peut les croiser arithmétiquement ou harmoniquement, mais à la différence de ce qui se passait pour les croisements arithmétique et harmonique des formules elles-mêmes, on obtient de nouvelles formules qui satisfont aux conditions de réversibilité. Remarquons que dans ce croisement, le croisement [-IV n’est pas identique au croisement II-IIT. Ce croisement arithmétique ou harmonique des pondérations n’a été proposé que pour les agrégats. C’est ainsi que Marshall, le professeur Edgeworth et M. Walsh ont conseillé l'emploi

DRE Ja de — et M. Walsh son antithétique par rapport aux » LI] APTE DT (po + pi) : : , facteurs V : a Ces deux formules satisfont à la 2 o (0) 1

première condition, et leur moyenne géométrique aux deux conditions. Lehr a proposé l’antithétique par rapport aux facteurs d’une formule dans laquelle les poids sont une moyenne arithmétique pondérée des pondérations simples

œo po + qi pr 5) 141 > 1 PRESS 0 : = ZT," mt, Les deux formules en question satisfont DD EE (ONE C1 Leo La 2 =4{o go + qi

à la première condition et leur moyenne géométrique aux deux conditions.

Tandis que dans le croisement de deux formules, le résultat se plaçait toujours entre les résultats des deux formules primitives, il n’en est pas de même quand on croise les poids.

On peut encore obtenir de nouvelles formules en croisant les formules doublement rectifiées ou en prenant une base plus large que l’année, ou en prenant des poids arbitraires

MARS de constants (par exemple Dex . IT, ont été recommanrx — pot

dées ou employées par plusieurs auteurs).

Le professeur frving Fisher a ainsi composé 170 formules dont 134 sont distinctes et qui satisfont, soit aux deux conditions de réversibilité, soit à une seule d’entre elles, soit à aucune d'elles. Quelle est la meilleure de toutes ces formules ? Nous devons d’abord éliminer les indices simples et leurs dérivés, puisque par hypothèse nous disposons des poids. Nous pouvons ensuite éliminer les dominantes et les médianes pondérées et leurs dérivés, pour les mêmes raisons qui nous ont fait éliminer la dominante et la médiane simples. Ensuite nous éliminerons tous les indices ayant une déviation double ou simple. Nous ne considérerons que les 60 indices com-posant la dent médiane de la fourchette. Sur cés 60 indices, 47 sont erratiques, 13 satisfont aux deux conditions. Ces 60 formules donnent déjà des résultats plus voisins les uns des autres que la pratique ordinaire de la statistique ne l'exige. Mais si l’on cherche la meilleure formule, il faut éliminer les. 47 formules erratiques. Parmi les 13 dernières, le professeur Irving Fisher propose d'éliminer les formules à poids croisés, comme ne donnant pas toujours des résultats compris entre ceux des formules dont les poids sont croisés. Il ne reste alors qué 7 formules : 4 d’entre elles peuvent être éliminées au profit de leurs moyennes; il ne reste alors que ces 2 moyennes, l’une dérivant des moyennes arithmétiques et har-

moniques, l’autre dérivant de la moyenne géométrique, et la

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 231

Zpogo : pou

SUIS en nues formule V6.y. c’est-à-dire \ CR ln tTason

de sa simplicité algébrique et de la rapidité (relative) avec laquelle on la calcule, c’est à cette formule que le professeur Irving Fisher s'arrête. I] la proclame la formule « idéale » (1).

Le professeur Irving Fisher est allé plus loin. Il à cherché à mesurer l'exactitude de sa formule « idéale ». Pour cela, il a assimilé à des observations les résultats des 13 formules satisfaisant aux deux conditions de réversibilité, ces formules ayant été appliquées à 36 séries de prix relatifs moyens annuels. Appliquant la théorie des probabilités à ces résultats, il a trouvé pour l’erreur probable rapportée à la moyenne des 13 indices :

Considérant que 1917 était une année où la dispersion des prix relatifs était particulièrement forte, et que la formule idéale était nettement meilleure que la plupart des 12 autres, il est arrivé à la conclusion que l’erreur probable de la formule « idéale » est d’au plus 1/8 %. Le professeur Irving Fisher a bien précisé qu’il ne s’agissait là que de l'erreur instrumentale, et non des erreurs dues à l’inexactitude des données (prix ou quantités) ou au fait que la formule ne portait pas sur la totalité des données, mais seulement sur les échantillons. Mais de toute facon la conclusion numérique du professeur Irving Fisher ne saurait être retenue, puisqu'elle n’est vraie que pour une dispersion comprise entre certaines limites, souvent dépassées en fait. Le raisonnement même qui y a conduit suppose que les formules

(1) Numérotée 353 dans le système de numérotation adopté par l’auteur.

satisfaisant aux deux conditions sont exactes, et par suite suppose que les deux conditions de réversibilité doivent être satisfaites, et que les formules n’ont pas à satisfaire à d’autres conditions. Nous verrons que la validité de ces hypoœ thèses est contestable et a été fortement contestée.

Toujours en admettant que la formule « idéale » est un parangon d’exactitude, le professeur Irving Fisher a apprécié la valeur de toutes les formules, non plus en examinant si elles satisfont ou non aux conditions posées, mais d’après la différence entre leurs résultats et ceux de la formule idéale. Il est amené ainsi à classer les formules en : indices sans valeur (parmi lesquels la moyenne arithmétique simple, la dominante simple, l’agrégat simple);

Indices défectueux (parmi lesquels la moyenne harmonique simple, la moyenne géométrique simple, la formule

Pi Go

de Palgrave ZE x 2%, et la formule analogue EE! x P DT qi Po 2m Go la médiane simple); indices passables

bons indices

2 po qi À po do indices excellents indices superlatifs (parmi lesquels

Ë pa (do + qu) b+y ue 4 /Ep1 o Epiqu

X po(qo + qi 2 % 2 Ypo fo Ypo qi

Q Le — >> 0 > q et la formule idéale VAE = V/ ER RER Û

7 4 po do D Pod

L'auteur reconnaît que ce n’est qu’ « en coupant littéralement les cheveux en quatre qu’on peut proclamer VE. supérieur en exactitude aux autres indices superlatifs, et ceci encore avec un certain doute. Il y a moins de place pour le doute quant, à sa supériorité sur la classe suivante des indices excellents ». Le professeur Irving Fisher estime que,

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 233

d’après les règles ordinaires de la pratique, on peut même étendre l'égalité aux très bons et même aux bons indices. La déviation maximum trouvée par rapport à VB.y à été la suivante (1) :

indices superlatifs 0,1 %

indices excellents 0,2 très bons indices 0,8 bons indices Du indices passables 6,2

indices défectueux 11,7 indices sans valeur 21

L'auteur considère donc comme utilisables les onze formules superlatives, les quinze formules excellentes, les onze très bonnes formules et la plupart des seize bonnes formules, soit près de 40 % des cent trente-quatre formules étudiées.

Telles sont les conclusions d'ordre théorique et d’ordre pratique auxquelles aboutit le professeur Irving Fisher, par un raisonnement qui s’enchaîne admirablement, mais dont la base n’est peut-être pas très solide.

Ces conclusions soulevèrent des critiques très nombreuses. Tout d’abord on reprocha au professeur Irving Fisher d’avoir négligé l’importance, dans la théorie des nombres indices, de tous les problèmes autres que le choix de la formule. Le reproche n’est pas fondé, car le professeur Irving Fisher n’a nullement méconnu l’importance respective des différents problèmes relatifs au calcul des nombres indices (2), et s’il n’en a traité qu’un seul, il n’en à pas moins donné sur certains autres des indications très intéressantes. Tout au plus pourrait-on le critiquer d’avoir donné à son livre un titre

{1} Toujours pour les 36 séries de prix moyens annuels.

(2) 11 écrit notamment : « L'assortiment et le nombre des échantillons forment deux questions probablement aussi importantes que le choix de la formule », (p. 831).

plus large que ne le comportait le véritable sujet de l’ouvrage.

Pour le professeur Irving Fisher, le choix de la formule mathématique ne dépend en rien du but assigné au nombre indice à calculer. La formule « idéale » est la meilleure dans tous les cas, quel que soit le but, s’il appartient au domaine des nombres indices : « que le but soit un nombre indice des prix, des quantités, des salaires, du trafic des chemins de fer, de la valeur de la monnaie, un baromètre du commerce, un indice du coût ou de la quantité du travail industriel... Une formule de nombre indice n’est qu'un mécanisme statistique comme un coefficient de corrélation; il est aussi absurde de varier le mécanisme selon l’objet auquel il est appliqué qu'il le serait de varier la méthode de calcul du coefficient de corrélation » (1).

Cette conclusion était en contradiction avec l’opinion courante et même avec la pratique des auteurs de nombres indices (en particulier tous les Services de statistique, la Statistique générale de la France par exemple, qui se servent de la moyenne arithmétique simple pour le calcul du nombre indice des prix de gros, appliquent une moyenne pondérée, en général £, au calcul des indices des prix de détail ou du coût de la vie). Dans la discussion qui suivit la communication du professeur Irving Fisher au 82° congrès de l’American Statistical Association, plusieurs statisticiens éminents se sont élevés contre les conclusions en cause. La thèse classique a été fort bien soutenue par le professeur Wesley Mitchell : « La formule proposée (2) me semble excellente. En tout cas c’est la meilleure pour le but que le professeur Irving Fisher à en vue. Ce but est d’ailleurs important et couvre la plupart des usages que l’on à eus en vue, ce que j'appellerai le « but général » en matière d'indices. Mais je ne peux admettre que

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