LES FORMULES D’'INDICES BUDGÉTAIRES PONDERES

pas désirable que la formule satisfasse à la condition de réversibilité par rapport au temps.

Les conditions que nous venons d’étudier sont-elles les seules qu'il y ait lieu d'imposer aux formules de nombres indices des prix ? Le professeur Irving Fisher lui-même, dans son livre sur le Pouvoir d’achat de la monnaie, en avait imposé une autre, la condition de changement de base ou condition circulaire. D’après cette condition, l’indice exprimant la variation du pouvoir d’achat de la monnaie entre deux époques, doit avoir la même valeur, que les deux époques soient comparées directement ou en passant par l'intermédiaire d’autres époques. Si les deux époques extrêmes comparées sont identiques, la condition devient la condition circulaire, qui peut s’écrire :

Le Does here ont= "1.

Cette condition est souvent appelée condition de Westergaard, parce que — paraît-il — Westergaard est le premier à en avoir proclamé l’importance, mais je n’ai pu trouver nulle part l'indication du travail dans lequel Westergaard a traité cette question.

La condition circulaire peut être mise sous une forme plus simple. En effet si une formule y satisfait pour une série quelconque de trois années, elle y satisfera pour un nombre quelconque d’années (1): montrons d’abord qu’elle y satisfait pour quatre années, c’est-à-dire qu’on a

Lou x sy x Ius x Tia = 1 Par hypothèse on a (4) Jen x Je x Tin = 1 et l’on a°de même (2) Lys x Liu x Ja = 1

Or Is — . L’équation (2) peut donc s’écrire : 1/:

Li x Ha = La En portant cette valeur de Lx: dans l'égalité (1), elle devient Ion x Iso x Ius x Li = 1 CGr0 FD;

(1) The Making, pp. 426-427.

On peut étendre ce raisonnement de quatre à un nombre quelconque d’années.

Donc la condition circulaire n’est en réalité qu’une condition triangulaire. C'est la généralisation de la condition de réversibilité par rapport au temps, son extension de deux à trois périodes.

Pourquoi le professeur Irving Fisher, qui avait d’abord admis la nécessité de la condition circulaire, a-t-il estimé par la suite qu’il suffisait que la formule fût réversible par rapport au temps ? Parce que « la condition triangulaire est sur un autre plan que la condition binaire, ou condition de réversibilité, car un indice n'implique que deux époques et non trois. La condition triangulaire introduit un élément étranger non déjà représenté dans l’indice lui-même » (1). Pour préciser sa pensée, l’auteur recourt à l’exemple suivant (2), que je crois devoir citer en raison de l’importance de la question. « Supposons que nous veuillons comparer le niveau des prix en Géorgie, en Norvège et en Egypte. Considérons quinze marchandises, dont cinq du groupe du bois sont importantes à la fois en Géorgie et en Norvège; cinq, du groupe du papier, sont importantes à la fois en Egypte et en Norvège, cinq, du groupe du coton, sont importantes à la fois en Géorgie et en Egypte. Supposons de plus que les marchandises du groupe du bois aient à peu près les mêmes prix en Géorgie et en Norvège, et qu’ils dominent tellement la comparaison entre ces deux pays que l’indice est à peu près le même pour les deux pays, les deux autres groupes ne modifiant pas sensiblement cette égalité, parce que l’un est sans importance en Géorgie et l’autre en Norvège. De même, en comparant la Géorgie à l’Egypte, le groupe du coton domine tellement l’indice Géorgie-Egypte que le niveau des prix semble à peu près le même en Géorgie et en Egypte. » On trouvera donc que le niveau des prix est le

(1) Loc. cit. m@. 497.

(@) Loc. cit. pp. 271 et suiv.

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 95,

même en Egypte et en Norvège si on passe par l’intermémédiaire de la Géorgie. Mais si nous procédons à une comparaison directe, nous n’avons pas à nous référer à la Géorgie pour déterminer notre pondération, et c’est alors le groupe du papier qui dominera la situation, alors qu’il ne jouait qu’un rôle insignifiant dans les deux autres comparaisons. Si le prix du groupe du papier n’est pas le même dans les deux pays, on trouvera un résultat en contradiction avec le précédent. Il n’y a, il est vrai, aucune absurdité dans cette contradiction, car les trois comparaisons sont différentes de nature, La contradiction disparaît d’ailleurs si chacun des trois groupes, au lieu d’être prépondérant dans une des comparaisons la domine complètement. Dans ce cas, on aura irois indices d’une marchandise chacun, et il n’y a aucune contradiction dans le fait que le prix du bois est le même en Géorgie qu’en Norvège, le prix du coton le même en Egypte qu'en Géorgie, tandis que le prix du papier est plus élevé en Norvège qu’en Egypte.

Il en résulte que quand nous étudions un ensemble de n années, chaque paire d’années devra avoir son propre nombre indice dépendant des prix et des quantités correspon-

dant à ces années particulières, sans égard à n'importe

quelle autre année; il faudra donc calculer n (n—1) indices

groupés en “1 paires d'indices, chaque paire étant

formée d'indices inverses l’un de l’autre si la formule satisfait à la condition de réversibilité. On notera que la représentation graphique qu’on donne habituellement des nombres indices n’est pas correcte, et que la seule représentation correcte consisterait à joindre chaque point à l’origine : on n’a pas le droit de joindre les points successifs les uns aux autres,

La portée d’un indice est donc limitée à la comparaison des deux années auxquelles il se réfère. Par suite nous ne pouvons songer à Jui imposer la condition circulaire. Et pourtant pour que les nombres indices du mouvement des

252 LES NOMBRES INDICES DE LA VARIATION DES PRIX ". ins

prix aient une utilité, il est indispensable qu'ils permettent la comparaison directe du niveau des prix de deux années quelconques. Quand on publie une série de nombres indices, il est impossible de prévoir toutes les applications qu’en voudront faire ceux qui les consulteront : comparaison du niveau des prix à telle époque au niveau des prix à telle autre époque, différente de l’époque de base de la série, comparaison de la série avec la série d’un autre pays qui a une autre époque de base, comparaison avec une série d'indices du change, des salaires, du chômage, etc. Il sera bien rare que ces comparaisons puissent se faire sans un changement de base, Or ce changement de base est impossible de par la nature même des nombres indices.

Il faut reconnaître très franchement ici que, si le problème

du calcul des nombres indices peut être correctement résolu, celui du calcul des séries de nombres indices, qui est le problème que nous imposent les nécessités de la pratique, est théoriquement insoluble. Mais, dira-t-on, si en principe un nombre indice ne peut servir qu'à la comparaison des deux “époques 0 et 1 auxquelles il se rapporte, et si par suite on n’est pas en droit de lui imposer de satisfaire à la condition circulaire, n’y a-t-il pas cependant des formules qui, en fait, satisfont à cette condition ? En effet, parmi les cent trente-quatre formules étudiées par le professeur Irving Fisher, ii y en a dix qui satisfont à cette condition : la moyenne géométrique et l’agrégat simples, sur lesquels je n’insiste pas, puisque nous cherchons une formule d’indice budgétaire pondéré, et les moyennes géométriques et agrégatives à poids constants, Maïs il est évident qu’une pondération constante n’est pas théoriquement correcte. « Il est impos- Sible de justifier l'emploi des mêmes poids pour comparer le niveau des prix de 1913, non seulement à ceux de 1914 et de 1915, mais à ceux de 1860, de 1796, de 1492, de l’époque de Dioclétien, de Ramsès IT ou de l’âge de pierre. » (1)

(DBLOc. cit., D. 275.

LES FORMULES D'’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 253

La question est de savoir s’il vaut mieux employer des formules qui satisfont à la condition circulaire, mais qui comportent nécessairement une pondération en général assez différente de la pondération correcte, ou employer des formules ne satisfaisant pas à la dite condition et comportant ce que les topographes appellent « une erreur de fermeture ». Pour répondre à cette question, il faut connaître l’importance de cette «erreur de fermeture. Le professeur Irving Fisher a examiné ce point, et il conclut que pour tous les bons indices l’erreur est faible. Pour huit formules satisfaisant à la condition de réversibilité, il a trouvé pour le triangle 1913-1914-1915 une erreur de fermeture comprise entre 0,34 et 0,40 %. Pour la formule idéale, il a poussé le calcul plus loin et a trouvé pour limite inférieure de l’erreur, pour erreur probable et pour erreur maximum :

—0,40 % 0,19 % +0,48 % pour les comparaisons triangulaires

—0,45 % 0,82 % +0,81 X — quadrangulaires —0,77 % 0,25 % +0,89 % — pentagonales —0,47 X 0,85 X +1,19 % — hexagonales

Ces chiffres très faibles doivent encore être divisés par le nombre des côtés du polygone.

Les études faites sur ce même point par différents auteurs ont toutes démontré que l’erreur commise en changeant de base par simple division est peu importante, si le niveau des prix de la nouvelle base est peu différent de celui de la base primitive. Dans le transfert de l’indice des prix de gros de la Statistique générale de la France de la base 1901-1910 à la base juillet 1914, la différence maximum a été de deux points (1).

Le professeur Irving Fisher a rangé les diverses formules par ordre de conformité à la condition circulaire : parmi les formules les plus connues, l’erreur de fermeture est pratique-

ment nulle pour les formules G J, G IV, VAXH (qui diffère

(1) Dugé de Bernonville, S. S. P., 1924, pp. 238-239.

très peu de la moyenne géométrique, laquelle satisfait à la condition circulaire), insignifiante pour les formules

2 pi (go + qu = A PT, VE,

assez faible pour les formules £ et y. En général l’erreur

de fermeture est notable pour les formules non croisées déri-

vées de la médiane et de la moyenne géométrique.

Je n’ai examiné jusqu'ici que les raisons théoriques qui peuvent nous guider dans le choix d’une formule. Il importe de tenir compte maintenant des conditions pratiques du calcul, J’ai indiqué que la formule doit être aussi simple que possible, Cette condition est double en réalité : la formule doit être simple à comprendre et simple à calculer. Le professeur Irving Fisher a noté pour les cent trente-quatre formules qu’il a étudiées la durée exigée par le calcul de l'indice à deux décimales, On suppose que les quantités et prix absolus sont donnés, et que l’on dispose de machines à calculer et de tables de logarithmes. Les mesures du professeur Irving Fisher ont porté, pour chaque formule, sur cinq indices annuels de trente-six marchandises. J’en ai transformé les résultats, de manière à me placer dans le cas d’un indice d’une centaine de marchandises (cas de l'indice du Federal Reserve Board pour la France). La durée trouvée est alors la suivante :

Zipa F TT LE 0 heure 35 Zpo & api —— 1 heure Zpoq LS DS ere 3 heures n Po PARU (| B = ———...... 3 heures 30 Y poqo n £ FE = 6 ER SUN TETE 4 heures Po p'o Mé (médiane simple,...... 4 heures 30 “ =sPidi ŸY=—...... 5 heures

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 9255

Ep (at 5 heures 30 Epo(do+q) Formule idéale 1/8. y = te Sn es 9 heures 2 poqo 2 Pot

Ces chiffres sont intéressants à retenir étant donnée la grande expérience des calculs relatifs aux nombres indices que possèdent le professeur Irving Fisher et ses collaborateurs. Ils sont en accord avec les résultats de mon expérience personnelle en ce qui concerne les indices pondérés, mais les chiffres donnés pour les indices simples me surprennent, à la fois par leur valeur absolue et par leur valeur relative. À moins que je n’aie mal compris les indications données par l’auteur, il semble que celui-ci compte { heure pour le calcul de la moyenne arithmétique simple de 36 prix relatifs. N'ayant pas assez la pratique des machines à calculer, je ne ferai aucune hypothèse sur ce que durerait le calcul si l’on se servait d’une telle machine; mais je dois dire que, même si l’on fait le calcul avec une table de logarithmes à cinq décimales, ce qui suffit pour la précision demandée, le temps indiqué me paraît sensiblement trop fort : le calcul comporte uniquement la recherche des trente-six logarithmes des prix p,, l’addition de ces logarithmes aux cologarithmes des prix p, (supposés calculés à l’avance une fois pour toutes), la recherche des prix relatifs à partir de leurs logarithmes, leur addition et la division de leur total par trentesix ; même s’il faut compter en plus la fraction correspondante du calcul des cologarithmes des prix p,, 3/4 d’heure me paraissent très suffisants pour tout le calcul. Mais où les chiffres donnés par le professeur Irving Fisher me semblent surtout trop forts, c’est pour le calcul de la moyenne géométrique et de la médiane. Ce dernier calcul ne peut pas être notablement plus long que celui de la moyenne arithmétique, tel qu'il vient d’être évalué, car une fois les trente-six prix relatifs calculés, au lieu d’en faire la somme, puis de la diviser par trente-six, il faut éliminer les prix relatifs extrêmes et classer

les prix relatifs centraux, ce qui est très rapide; or le professeur Irving Fisher compte 1 heure 1/2 pour le calcul de cette médiane. Quant à la moyenne géométrique, si l’on tient à calculer les prix relatifs eux-mêmes, le calcul a exactement la même durée que celui de la moyenne arithmétique, soit, selon mon évaluation, 3/4 d'heure, alors que le professeur Irving Fisher compte 1 heure 20, et si l’on n’a pas besoin des prix relatifs, il est beaucoup plus rapide; le calcul de colog. DD ere étant supposé fait à l’avance, il n’y a à calculer que les trente-six log. p,, comme pour le calcul de la moyenne arithmétique (quand on fait celui-ci à la table de logarithmes), ajouter colog. p,x...., diviser par n; d’où log. G, et G; 15 à 20 minutes suffisent pour l’ensemble de ce calcul.

Le choix de la formule est enfin influencé par une circonstance extrêmement importante, c’est qu’en général on ne dispose pas des poids Il, ou des coefficients q, pour chaque année considérée. Les statistiques relatives aux quantités produites, échangées, consommées, etc., sont de plus en plus nombreuses; malgré cela, elles ne portent encore aujourd’hui que sur les marchandises les plus importantes; surtout elles ne paraissent qu’à des intervalles éloignés ; il est exceptionnel qu’elles soient hebdomadaires, souvent elles sont mensuelles, mais certaines ne sont qu'annuelles; de plus elles paraissent souvent avec un long retard. Or le moins qu’on puisse exiger actuellement d’une série de nombres indices des prix de gros, c’est d’être mensuelle; encore tend-on, comme nous l’avons vu, à publier des séries hebdomadaires, Il sera donc impossible d'appliquer aux indices hebdomadaires ou mensuels toutes les formules comportant l'emploi des systèmes de pondération p,q, et p,q,. Le choix se trouve de ce fait très réduit, Des cent trente-quatre formules du professeur Irving Fisher, il ne subsiste, en dehors des six moyennes à poids ou coefficients constants, que seize formules. De ces seize formules, il faut éliminer les sept formules qui ne sont pas pondérées (six moyennes simples et la formulé

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 257

VA x H), les deux formules dérivées de la médiane et les deux formules dérivées de la dominante, à cause de leur manque de sensibilité. Nous restons alors en présence de cinq formules ; je les énumère ci-dessous, en indiquant l’ordre de mérité que leur attribue le professeur Irving Fisher et la quali-

fication qu'il leur donne.

Ÿ pi do 0 3 à Ge n° 36 très bon

Ypo qo

COR / (es Pig nn 71 passable

X po go De Gr— \/(&) ph MEN NTO passable

- 2 Podo prie Ha no GI(D}I médiocre Dr X Poqgo Aur = Ex 2H. n° 104 médiocre po D pige

La formule £ est erratique (les déviations dues au type et à la pondération étant de sens contraire), les formules G 1 et G III sont simplement déviées (déviation due à la pondération), les formules H 1 et À 111 sont doublement déviées (déviations dues au type et à la pondération, toutes deux en moins pour H 1 et en plus pour A 111).

On peut dans ce cas donner une conclusion beaucoup plus nette que dans le cas général. Quand on ne dispose que des poids II, ou des coefficients q, de l’année de base, la meilleure

2 pi do

Il ne formule est incontestablement ne x es C'est-à-dire =—, 6 p2 2 po {o

ou formule de Laspeyres.

Il est intéressant de se demander dans quelle mesure les indices calculés par cette formule diffèrent des indices calculés par la formule « idéale »., Cette dernière formule est la moyenne géométrique entre la formule 8 elle-même et la

formule ; — qui ne diffère de la précédente que par la

2 Po ga

substitution des quantités de l’année considérée aux quan-

tités de l’année de base. Or on démontrera au chapitre VIIL que la valeur de l’indice n’est que peu influencée par les variations des coefficients g. On peut donc être certain à priori que ;, et à plus forte raison /8.7, différeront peu de eg. La formule ; est erratique comme 6; la différence entre leurs résultats n’a pas tendance à être toujours de même sens, à moins qu'il n’y ait une corrélation très marquée entre les variations des quantités et des prix. Nous avons vu que la pondération IV (p,q,) déviait en plus, parce qu'elle tendait à associer un poids élevé à un prix relatif élevé, et un poids faible à un prix relatif faible, et qu’il en allait inversement pour la pondération 1 (p,q.). Le professeur Irving Fisher a montré de même que si les quantités étaient en corrélation positive avec les mouvements des prix, dans la formule y des poids élevés étaient associés avec des prix relatifs élevés et des poids faibles avec des prix relatifs faibles; y tendra donc à donner des résultats plus élevés que 8 , mais cette tendance est beaucoup moins marquée que dans le cas des systèmes de pondération, à moins que la corrélation ne soit de 100 %, c’est-à-dire que les quantités ne se comportent exactement comme si c’étaient des prix. (1)

.Le professeur Warren Persons, étudiant les variations des prix et des quantités pour 12 récoltes, a trouvé entre les mouvements des prix et des quantités une corrélation négative très élevée de — 0,88 (c’est-à-dire de bas prix correspondant à des récoltes abondantes); conformément à ce qui vient d’être exposé. & a toujours été trouvé supérieur à y (sauf une exception), la différence étant toujours faible.

Pour les 36 marchandises qu’il a étudiées, le professeur

Irving Fisher n’a trouvé qu’une corrélation beaucoup moins marquée :

1) Loc. cit., pp. 410-418,

LES FORMULES D'INDICES BUDGETAIRES PONDERES 259

Les rapports entre y; et 8 ont été tels qu’on pouvait les prévoir.

| | | ns. | |

La différence la plus forte, pour 1917, année de grande dispersion des prix relatifs, entre 8 et y a été de 1 point, et la différence maximum entre 8 et la formule « idéale » d’1/2 point. Or dans le cas général, on ne trouvera pas de corrélation marquée entre prix et quantités, de sorte que p ne donnera pas des résultats très différents de ceux de la formule idéale.

Certains statisticiens, et en première ligne M. Knibbs (1), ont prôné l'emploi d’une formule dite de la « dépense globale ». Cette méthode est une généralisation de celle qui convient tout naturellement à l’étude des variations du coût de la vie; c’est celle qui met en lumière le caractère bwtgétaire de la moyenne arithmétique pondérée des prix relatifs. Elle consiste à fixer initialement ce que M. Knibbs appelle un « composite unit », c’est-à-dire un régime-type. Ce régime-type est une liste de marchandises, avec indication pour chacune d’une quantité (dans le cas d’un indice du coût de la vie, par exemple pour la classe des travailleurs indus-

43) Rapports n°4 1 et 9.

triels, il s’agit des marchandises principales que consomment ces travailleurs et des quantités de ces marchandises que consomme un individu moyen ou une famille-type ; mais la méthode peut être étendue à la consommation d’une nation toute entière et être appliquée aux marchandises principales entrant dans l’échange, et aux quantités qui en sont échangées dans un intervalle de temps donné). Chaque quantité est multipliée par le prix correspondant, et l’on fait le total des produits ainsi obtenus. Le total est appelé dépense globale, expression qui ne s'applique exactement que dans le cas de la mesure du coût de la vie et qu’il vaut mieux appeler d’une expression moins précise, plus générale: « valeur globale » (des échanges, de la consommation, etc.). Le quotient de la « valeur globale » pour deux années quelconques peut être considéré comme un nombre indice des prix de Id seconde année, par rapport aux prix de la première année prise pour base.

Quels sont les arguments qu’invoquent les partisans de cette méthode ? D'abord, elle est facile à comprendre, disent-ils. En effet, s’il s’agit d’un indice du coût de la vie; <ar pour chacun de nous, l’idée de coût de la vie entraîne immédiatement l’idée de dépense, et notre budget annuel est bien une somme de produits de quantités de biens ou services par des prix; pour nous, les variations du coût de la vie se mesurent bien par les variations de nos dépenses annuelles, mensuelles, etc. Mais s’il s’agit d’une nation entière, l’idée se complique déjà, car elle s’applique à la fois à la consommation de la population en vue de la satisfaction immédiate de ses besoins et à la consommation industrielle. S’il s’agit enfin des échanges, la notion de régimetvpe et de valeur globale n’a rien de compliqué, mais ne me paraît pas plus simple que la notion des prix relatifs pondérés d’après l’importance de la marchandise considérée.

La « valeur globale », dit-on ensuite, a l’avantage d’être facile à calculer et surtout l’indice a l’avantage capital de

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES £64

pouvoir être changé de base par simple division. Mais cette propriété ne tient pas à un principe nouveau que contiendrait la méthode de la valeur globale. Elle est due simplement au fait que l’on admet l’existence d’un régime-type constant, indépendant du temps, que l’on suppose se maintenir pendant toute la période d’application de l’indice. L'indice de la valeur globale satisfait à la condition circulaire, comme tous les indices à poids ou coefficients constants. Il n’y a dans cette méthode aucun principe nouveau, mais seulement une hypothèse particulière : une fois cette hypothèse admise, la méthode de la valeur globale, la formule de Laspeyres (É), celle de Paasche (+ ), la formule « idéale » du profes: seur Irving Fisher, sont toutes identiques. La méthode de la valeur globale a simplement l’avantage pratique, psychologique, pourrait-on dire, de mettre au premier plan l’hypothèse de la constance du régime. En fait d’ailleurs il arrivera souvent que le régime-type sera déterminé à la suite d'enquêtes, de recherches, de calculs effectués pour l’année qui sert de base au calcul des prix relatifs, mais il arrive aussi que le régime-type soit arrêté en dehors de toute relation avec une période quelconque. Si nous transformons la relation de fait entre le régime-type et l’année de base en relation nécessaire, l'indice cesse de satisfaire à la condition circulaire, Dans le premier cas en effet, les quantités sont les mêmes dans l’indice Lx que dans l’indice 10, tandis que dans le second cas, les quantités figurant dans l’indice Lou

sont les quantités q,, différentes des quantités q, qui figurent dans l’indice Li

Je dois enfin signaler que le professeur Truman Kelley a proposé, à juste titre d’ailleurs, d'imposer à la formule de réduire le plus possible l'erreur tenant au fait que l’on ne traite pas l’ensemble des éléments, mais seulement des échantillons (1). Il est malheureusement difficile d'appliquer

cette condition, car l’erreur en question ne peut être calculée directement que pour les formules simples; dans tous les autres Cas on ne peut la calculer que par une méthode indi-recte et a posteriori. Le professeur Kelley à cependant indiqué un classement de diverses formules d’après l'inverse de leur erreur probable; ce classement est fait en attribuant à chaque formule une note comprise entre 0 et 3. Ce classe ment est le suivant :

3 médianes et moyennes géométriques pondérées Es ni ra Epa Va PER dre

poq Zpolde+q) ÆEpo Var 5 T pr

pi qu Sas E pi du n : — :4/T x.

Zpo

4 formule de Palgrave, moyenne géométrique simple 12 moyenne arithmétique simple

Je n’ai reproduit ce classement qu’à titre documentaire, car le professeur Kelley n’a pas publié les calculs qui lui ont permis de l’établir. Il n’est pas de nature d’ailleurs à modifier l’avis que j’ai exprimé sur les différentes formules.

De cette longue étude des diverses formules mathématiques d’indices budgétaires pondérés du mouvement des: prix, je tirerai les conclusions suivantes :

A) Quand on ne désire faire que des comparaisons binaires, c'est-à-dire des comparaisons isolées, et que l’on dispose des poids et des coefficients (en général des quantités) pour

les deux époques ou lieux comparés :

+ (1) 1° la formule 4/6.; = V Em, Em est toujours une X po qo Epoqu

(1) Signalons, à titre de curiosité, qua M. Walsh recommande cette formule parce qu'elle comporte à la fois l'emploi de la moyenne géométrique, de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique, de la pondération de l’année de base et de celle de l’année considérée. M. Walsh doit

être un amateur de pots pourris !

LES FORMULES D’INDICES BUDGETAIRES PONDERES 263

formule ; c’est même certainement la meilleur formule quand les coefficients ont un sens concret, ce qui est le cas général;

2° pratiquement on peut sans inconvénient substituer à 2 pi (qo+ qu)

E po (qo+ qu) ment les mêmes résultats, et qui est beaucoup plus rapide à calculer ;

la formule 4/6. pe. la formule < qui donne très sensible-

3° si on ne désire pas une grande précision, on peut Ÿ pi do

appliquer la formule 6 — Epoq

s qui a les mêmes propriétés

2 pi

que la formule Bones et- qui est beaucoup plus rapide à

calculer qu’elle.

B) Si l’on désire calculer des séries de nombres indices, le problème ne comporte pas de no théoriquement parfaite :

1° si l’on dispose des poids ou coefficients à chaque

instant, VAR est une bonne formule, qui a toutefois l’inconvénient de n’avoir pas de signification simple;

2° si l’on ne dispose que des poids ou coefficients relatifs

à l’année de base, la meilleure formule est p = 2%

Epodo

Ces conclusions sont à peu de chose près les conclusions de l’ouvrage du professeur Irving Fisher « The Making of Index Numbers ». Elles aboutissent en somme à rcomman-

a QU

n’est autre que la formule recommandée par Poe dès 4864, On s’est demandé s’il valait de faire de très longs calculs et d'écrire un ouvrage de 526 pages pour arriver à une conclusion aussi modeste. Je n’hésite pas à répondre par l’affirmative. Je ne partage nullement en effet l’opinion du professeur Udny Yule, qui considère l’ouvrage du professeur Irving Fisher comme « tout à fait désappointant au point de vue des principes ». Les adversaires du professeur Irving

der pratiquement dans tous les cas la formule 8 —

Fisher n’ont réussi à contester la nécessité des deux grandes conditions de réversibilité que dans des hypothèses spéciales, En outre, au point de vue pratique, le professeur Irving Fisher a montré définitivement dans le cas général que si la moyenne géométrique peut être considérée comme appropriée pour prendre la moyenne de rapports, elle n’en doit pas moins être rejetée quand elle est pondérée, à moins que

la pondération ne soit croisée, — que la formule XP: , 21

= Ep pourtant recommandée par un auteur aussi éminent que Palgrave, doit être absolument proscrite; -— dans le cas particulier des indices n’utilisant que la pondération 1 (p,q,), que si la moyenne géométrique simple est préférable à la moyenne arithmétique simple, la moyenne arithmétique pondérée d’après les valeurs de l’année de base doit être nettement préférée à la moyenne géométrique pondérée de la même manière, et il a donné une justification beaucoup plus solide que celle des auteurs qui l’avaient précédé, de l’emptoi de la formule classique de Laspeyres.