BL
BM ;
Pour b :^ OC > OA, les racines mixtes
Pour 6 =^ OBï, les racines réelles de sens contraires
^' = (B,B , (Q, Q ) = BQ,
^" = (B,B'KQ,Q;)=BQ,; M. 6
Enfin, pour b = OfC,C' ), les racines mixtes
x" ^{0,0 (D,D'), x" = (C,C') fD,.D;).
On voit encore, à l'inspection de la figure, que les racines x , x" ^ quel qu'en soit le mode, ont constamment pour demisomme a et pour produit b'-.
Les valeurs imaginaires ou mixtes de a, combinées avec des valeurs quelconques de b^ conduisent d'ailleurs à des constructions du même genre.
Comme la conique rectangle, la circonférence comporte une infinité de diamètres réels, et deux de' ces diamètres, s'ils sont conjugués, se coupent toujours à angle droit.
Les cordes interceptées sur une droite réelle par toutes les circonférences situées dans le même plan sont évidemment conjuguées de diamètres parallèles entre eux. Lorsque la droite en question, tout en restant parallèle à elle-même, s'éloigne jusqu'à l'infini, les extrémités de ces cordes finissent par se confondre en deux points imaginaires conjugués qu'on appelle points cycliques. Les coniques rectangles du plan passent aussi par les mêmes points.
Avant de chercher les intersections de la circonférence et delà droite radiée, il convient de résoudre ce problème pour la conique rectangle.
Soient, ^n conséquence, la conique rectangle O et la droite radiée Oi A.,A') 'fig- 53) qui ont chacune l'origine réelle et pour axe O.2;.
A la seule inspection de la figure, on reconnaît déjà que ces deux lignes se coupent aux points (A,A' , (B,B'): et que leur corde commune a pour composantes les droites égales BA, B'A'. Si l'on mène à ces composantes les perpendiculaires OC, OC, celles-ci sont symétriques par rapport à Ox et leur angle COC est égal à AO,B'. Mais, dans le triangle rectangle OAB la perpendiculaire OC et la médiane
OL menées du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse l'ont des angles égaux avec la bissectrice Oj7 de cet angle. Donc, OC coïncide avec OL. De même OC coïncide avec la médiane OL' et l'on a de plus OL r=: LA = 0L'=^ L'A'. Il suit de là que les segments radiés 0(L,L'), (L,L')
Fis. 53.
I AjA'i sont perpendiculaires entre eux, et qu'ils sont en outre égaux, mais de modes contraires.
Or, quand la radiée O) se meut parallèlement à elle-même sans que son origine réelle cesse d'être sur 0:r, la radiée 0(L,L'j passe évidemment par les milieux des cordes correspondantes. C'est donc un diamètre conjugué de ces cordes ; et l'on verrait de même que la parallèle menée par l'origine O à la radiée Oj est le diamètre conjugué des cordes parallèles à O(LL').
De là la possibilité de rapporter la conique rectangle à ces diamètres conjugués d'un nouveau genre; et, comme les segments 0(L,L'j, (^L,L') (A, A') sont évidemment proportionnels aux distances de leur origine à leur extrémité, si
84 CHAPITRE m.
l'on désigne la première de ces distances par x, la seconde par y^ on en conclut pour la conique rectangle la même équation x- -^ y- ^= o que si les axes étaient réels.
Il est facile de voir en outre que le produit des dislances 0|(A,A'), 0,(B,B') est constant.
En effet, les distances 0)(L,L'i, (L,L') (A, A'; sont respectivement la demi-somme et la demi-différence des proposées. D'où
0,(A,A').Oi(B,B'j = O, (L,L') — (L,L') (■/V,A')
r=Oi(L,L') + 0(L,L'j .
Mais si l'on tire LL' qui coupe Ox en P, il vient
Oi(L,L') = 0,P - PL
0(L,L') -= OP — PL Donc
Oi(L, L) 4-0(L, L'j =OiP -! OP — 2PL .
Or les antiparallèles OL, 0,L donnent PL— O, P. OP. Par suite,
O, (L,L') +0(L, L'J =(OP-OiP) =:00i .
Donc enfin
Oi(A, A').Oi (B, B'j=ÔÔi'.
Si, dans la figure précédente, on substitue à la conique rectangle O la circonférence de rayon OA = /•, ce qui donne la fig. 54, le diamètre conjugué de la radiée O, est encore 0(L,L').
Pour trouver l'intersection de ce diamètre avec la circonférence OA, du point L, par exemple, on abaisse sur Oy la perpendiculaire LG; puis, de G comme centre, avec GLpour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupe O^ en K; on
tire KL et la parallèle menée à cette droite par le sommet A donne, par sa rencontre en A, avec OL, la première composante de l'intersection cherchée.
Il suffît ensuite de mener par L une tangente à la circonférence décrite, du jioint O comme centre avec 0A^ pour rayon,
Fig. 54.
et de porter cette tangente d'abord suivant LB, LC, puis suivant UB', L'C, pour obtenir les points de rencontre (B, B'), i C, C'j de la radiée O, avec la circonférence proposée.
Gomme on a, d'après cette construction, LB = OL — 0A|,
ou — LBi = OL — OA,, on en conclut immédiatement pour les distances Oi^L,L'), (L, L') (B, B'), 0(A,,Aj), la relation
-(L,L'j(B,B'j irrU^L, L'j -0(Ai,a;) .
Si donc on prend pour axes de coordonnées 0(^L,L') et la parallèle à la radiée O, menée par l'origine O, puis qu'on
86 CHAPITRE lU.
désigne les distances O ; L, L' ) par x^ (L, L' i (B, B i par y^ en observant de plus que la distance 0(A,,A'i) est précisément égale à OA = r, on trouve encore pour la circonférence OA la même équation x- -^ y- = /'- que si les axes de coordonnées étaient réels, et l'on reconnaîtrait, comme plus haut, que le produit O, (B, B' ).0| ( C, C) est constant.
Enfin, comme les segments radiés O i L, L'\ O, (L, L) [Jig- 54) sont perpendiculaires entre eux, les triangles 0(L,L')0,, 0(L,L')(B,B'j, O (L, L'; (C, C ) sont rectangles en leur sommet commun (L, L'), et l'on conclut de leurs propriétés métriques que, dans chacun d'eux, le carré de l'hypoténuse est encore égal à la somme de carrés des deux autres côtés.
Il resterait à étendre les considérations précédentes au cas d'une radiée et d'une circonférence quelconque. Mais l'anrlyse dispense d'entrer dans de longs détails à ce sujet.
En efl'et, soit j}^ = niix l'équation d'une radiée passant par l'origine d'un système d'axes rectangulaires, et
celle d'une circonférence quelconque située dans le plan des axes. Ces lignes se coupent toujours en deux points dont les abscisses x' . x" sont racines de l'équation
[x — a)- -t- {mix — b)- = Rou
( I — m- ) x- — 2 ( a -h 6 mi) x — aP- + b"- — R^ ^ o,
et dont les ordonnées correspondantes sont y^^ mix \
Il -Il
y —■ mix .
Si, de plus, on désigne par c', o" les distances de l'origine
aux points d'intersection cherchés, on a
o' := \Jx'- -\- y^ =: x' \J l — /fi-,
8" = \/x"-'-^y"- = x" y/i — ni-
el. par suilc,
Or, d'après ce qu'on a dil plus haut,
Donc
En d'autres termes, ce produit est constant.
La circonférence comporte également des tangentes radiées qui ne laissent pas de fournir de nouveaux mo yens de généralisation.
On sait, par exemple, que les intersections de la circon-
Fig. 55.
lérence OA i //^'". 55; et d'une droite réelle passant par un point fixe B situé dans son plan, étant les points C et D, si l'on mène par ces points des tangentes à la circonférence jusqu'à leur rencontre en E, le lieu des points E est la per-
oo CHAPITRE III.
pendiculaire EF à la droite OB, et que, réciproquement, si le point E se meut sur EF, les cordes de contacts correspondantes passent toutes par le point B. D'où les noms àe pôle et de polaire donnés à ce point et à la droite EF, relativement à la circonférence OA.
Or, à ne considérer que les tangentes réelles, la polaire en question ne comprend pas la corde GH ; mais, dès qu'on tient compte des tangentes radiées, l'anomalie disparaît.
En effet, par le point B, menons une droite quelconque BI qui ne rencontre pas la branche réelle de la circonférence; du centre de celle-ci abaissons sur BI la perpendiculaire OK qui rencontre EF en L; puis, déterminons les points d'intersection (M, M'), (M', M) de la droite BI avec la circonférence donnée et tirons LM, LM'.
On a, par hypothèse, OB.OF=^ OA . Mais les antiparallèles FL,RB donnent OB.OF = OL.OK = âA /Par suite, les droites LM, LM' sont tangentes à l'hyperbole MM'. Donc, les radiées L (M, M' ,. L ( M', M i, sont également tangentes à cette hyperbole considérée comme branche imaginaire de la circonférence OA, et le point L où elles se coupent appartient à la polaire EF.
Au surplus, qu'elles soient radiées ou réelles, les tangentes à la circonférence jouissent toutes des mêmes propriétés.
Ainsi, pour n'en citer qu'un exemple très simple, soit O ( A, A I {fig. 56) une circonférence imaginaire. Si, d'un point quelconque M, pris sur la direction de OA, on mène une tangente radiée M(N, W) à cette courbe, le point de contact (N, N') appartient à la conjuguée (B, B' ) dont l'axe est perpendiculaire à 0(A,A'j, et la corde de contact ou polaire correspondante est la droite réelle iNN', perpendiculaire à la direction OA.
Or, les droites ON, MiN, d'une part, ON', MN', de l'autre, formant avec cette même direction des angles complémen-
taires, on voit d'abord que la tangente M('N,N' ) est perpendiculaire au rayon de contact 0(N,N'). De plus, la similitude des triangles MPN, OPxN donne PN = MP. OP, et par conséquent — PNi =r^ MP. OP. D'où il suit que la circon-
Fie. 56.
lérence décrite sur MO comme diamètre passe par iNiN'). D'un autre côté, la distance M(N,N') est donnée par la formule
M(i\,W') = MP — PN
MP
