PB
puisque PN=zPB. Mais, à cause de PB"== MP.OP, le
triangle MPB est rectangle, et l'on a
MP"~ PB ^rz MB — MO
Donc enfin
MuN,N')
+ OA— - MO— UAi
c'est-à-dire que la tangente M( N,N') est moyenne proportionnelle entre les sécantes M (A, A'), M(A',A), menées par le point M à la circonférence.
Deux circonférences réelles, imaginaires ou mixtes se coupent toujours en quatre points, dont la construction se
9'> CHAPITRE m.
ramène à la recherche, sur la ligne des centres, d'un point d'égale puissance par rapport aux deux circonférences données.
En effet, soient /■ et /■' les rayons de ces courbes ; cl la distance de leurs centres; x celle de l'un d'eux au point cherché. L'équation qui détermine x est
X' — r""- zr: ix — d)- — /•'".
D'où il suit que deux points de la ligne des centres répondent à la question. Comme l'équation ainsi obtenue s'abaisse au premier degré et devient idx = d- -^ r- -- r'-. on voit de plus qu'un des points cherchés appartient à la droite de l'infini et que l'autre, donné par la formule
Xz---^. ,
2 ld
se construit sans peine.
Or, si, par ce dernier point, on mène une perpendiculaire à la ligne des centres, puis qu'on détermine les intersections de cette pei'pendiculaire avec une des circonférences données, ces intersections constituent déjà deux solutions du problème et les points cycliques en sont les deux autres.
La sécante commune dont on vient de parler est réelle ou radiée en même temps que la ligne des centres. Elle jouit de cette propriété que ses points sont tous d'égale puissance par rapport aux circonférences données et se nomme Vaxe radical de celles-ci.
Lorsque trois circonférences se coupent dans un plan, leurs axes radicaux concourent en un même point. Ce point nommé centre radical fournit un nouveau moyen de résoudre le problème qui nous occupe.
S'agit-il, par exemple, des circonférences OA, Oi B,B ijig- 5'j ), l'une réelle, l'autre imaginaire?
Par les extrémités (C,C'!, ( C',C ) d'un diamètre de la
seconde on lait passer une circonférence réelle qui coupe la première aux points D, E, et l'intersection H des cordes DE. (C,C ) ( C',C ! est un point de l'axe radical cherché.
Fii;. 5-
De même, étant données la circonlerence réelle OA et la circonférence mixte 0'(B,B'; ifig- 58 ), par deux points (C,C') (D,D I de la seconde on fait passer une circonférence réelle qui coupe la première en E, F, et les cordes communes EF. i C,C 1 (D,D') donnent par leur intersection le centre radical (H,H i, d'où résulte la solution demandée.
Une circonférence quelconque et la conique rectangle formée par ses asymptotes, ou deux circonférences concentriques n'ont pas d'autre point commun qu'un double contact sur la droite de l'infini.
Enfin, si l'on noTnvaç. foyer d'une courbe plane le centre d'une conique rectangle, ayant avec elle un double conlacl. on en conclut que la circonférence a pour foyer son centre même.
Considérée comme faisant partie de la circonférence, l'h}-
perbole équilatère n'y joue qu'un rôle secondaire, celui de conjuguée. Mais elle peut à son tour devenir la première branche d'un lieu géométrique portant le même nom qu'elle.
Soient, pour le faire voir, xx' ^ yy' ( ftf(' Sq ) deux axes rectangulaires ; O leur origine ; OA = /- le demi-axe transverse ou rayon d'une hyperbole équilatère AA'.
La corde BB' de cette courbe perpendiculaire en son milieu P à l'axe xx' donne
Pb'= PB''=: PA, PA'.
Comme les segments PA, PA' ont pour demi-somme OP et pour demi-différence OA, on en conclut
PB
PB'"=r OP - OA";
C 0 U R B E s P L A N E s . qS
c'est-à-dire, en désignant OP par x et PB par j',
Cela posé; si l'on admet que le point générateur A devenant imaginaire décrive la circonférence AA', de telle sorte que ses composantes restent symétriques par rapport à xx\
Fis. 5q.
on voit que les points conjugués {C,C'), (C',C) de cette nouvelle branche ont pour abscisse commune OQ et pour ordonnées respectives
Q^C,G'; = QC/, Q(C',C)-=QC'/.
Mais on a, d'une part,
qCi^ QG'7=r. -QC ^ QA.QA',
d'autre part,
