GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — POINTS DE MODES QUELCONQUES

G ÉOaiÉïRi li SUPÉRIEURE.

Les figures de Géométrie peuvent être étudiées sous trois points de vue différents, selon qu'il s'agit de leur forme, de leur expression numérique, ou de leur comparaison soit à la droite, soit au plan. De là, pour elles, trois sortes de propriétés, les unes descriptives, d'autres métriques, les troisièmes segmentaires ; celles-ci formant la transition des premières aux secondes.

Les propriétés descriptives des figures tendent à les isoler les unes des autres. Au contraire, leurs propriétés segmentaires ou métriques conduisent à les répartir en groupes naturels oii elles peuvent indifféremment affecter deux manières d'être opposées, improprement dites l'une réelle, l'autre imaginaire ; puis à classer entre eux les nouveaux lieux géométriques ainsi obtenus.

La Géométrie supérieure traite de ces dernières figures. Elle leur applique les procédés de l'Analyse ancienne, mais elle ne laisse pas d'emprunter à la Géométrie de Descartes l'expression la plus généi'ale de leurs propriétés métriques.

L'x\nalyse ancienne, tout en se bornant à l'étude des éléments absolus des figures, n'en découvrit pas moins les propriétés segmentaires des sections coniques et de quelques licuK analogues.

1 G CM A P I T li i; 1 .

Par un de ces traits de génie que l'histoire des Sciences enregistre avec orgueil, Descartes parvint à conclure de ces mêmes propriétés des équations à deux ou trois variables représentant les lignes planes ou les surfaces et permettant d'étudier ces dernières à l'aide des seules ressources du calcul.

Les deux méthodes sont réciproques l'une de l'autre, puisque la première passe des propriétés descriptives des figures à leurs propriétés segmentaires ou métriques, tandis que la seconde suit autant que possible Tordre inverse. 11 ne faut donc pas s'étonner que la Géométrie supérieure ait pu les concilier, les englober, pour mieux dire, en donnant à chacune l'extension désirable et les complétant l'une par l'autre.

Plus générale que l'Analyse ancienne, elle est à celle-ci ce que l'Algèbre est à l'Arithmétique, c'est-à-dire qu'aux éléments absolus des fig;ures, elle en substitue d'autres qui peuvent affecter deux manières d'être opposées ou modes contraires, et qui, pour s'exprimer numériquement, nécessitent 1 emploi i^ationnel de tous les symboles algébriques sans exception.

Plus soucieuse des propriétés de l'étendue et par là même plus féconde que la Géométrie de Descartes, elle met cette dernière en mesure de construire le lieu des équations à deux ou trois variables, quel que soit le mode de ses branches ou de ses nappes, de résoudre graphiquement les équations de degré quelconque à une seule inconnue et de faciliter l'étude des fonctions algébriques ou transcendantes.

En un mot, la Géométrie supérieure embrassant l'Analyse ancienne et celle de Descartes poursuit leur œuvre commune, mais généralise à la fois et ces deux méthodes d'investigation et les figures dont elles s'occupent.

GÉOilÉTRIK SU PlitllKUUK. I7

Points de modes contraires.

Il convient, dès le tlébuL de la Géométrie supérieure, de généraliser la définition du point, afin d'en conclure une extension remarquable des propriétés segmentaires et métriques des figures.

Outre le point géométrique, tel qu'on le définit habituellement, j'ai proposé d'introduire dans la science de l'étendue deux éléments nouveaux : le point réel et le point imaginaire.

Chacun d'eux est le système de deux points géométriques ordinaires appelés composantes. Suivant que ces composantes, sans liaison mutuelle, sont superposées ou séparées l'une de l'autre, le point résultant est réel ou imaginaire.

La distinction, par chaque espèce de point, d'une première et d'une seconde composante est indispensable.

Deux points imaginaires sont conjugués quand ils sont inversement formés des mêmes composantes : c'est-à-dire quand la première composante de l'un est la seconde composante de l'autre, et réciproquement.

Le point réel ayant ses deux composantes superposées ne se distingue pas graphiquement d'un point géométrique ordinaire ; tandis que le point imaginaire se représente par ses deux composantes et se désigne par une parenthèse renfermant dans le même ordre qu'elles les lettres qui les affectent. Exemple : le point (M, M) et son conjugué (M', M).

J'appelle modes contraires les deux manières d'être opposées du point, tel que je viens de le définir. Ces deux manières d'être coexistent sans qu'il soit possible de les confondre et la transition de l'une à l'autre se fait de la façon la plus naturelle.

Les dénominations de point réel et de point imaginaire M. ?

l8 CHArMTRE r.

sont donc mal choisies, puisqu'elles semblent indiquer qu'une seule des deux manières d'être du point existe réellement. Mais j'ai dû les adopter pour me conformer à l'usage.

Quelque mode qu'il affecte, le point, comme on va le voir, peut toujours engendrer des lignes, des surfaces et des volumes; en sorte que la dualité qu'il présente est susceptible de s'étendre à toutes les figures géométriques.

LIGNE DROITE. — CONIQUES RECTILIGNES. 19

LIGNE DROITE. - CONIQUES RECTILIGNES

Ligne droite.

Définitions et propriétés descriptives. — Lorsque les composantes d'un point décrivent, sur un plan, deux droites soit de même direction, soit de directions parallèles ou concourantes, le système de ces droites est un segment rec-

tiligne dont elles forment \es composantes. Ces composantes correspondent à celles du point générateur. Leurs origines et leurs extrémités forment Vorigine et V extrémité du segment rectiligne qui se désigne par ces derniers points.

C'est ainsi que le segment dont l'origine est O et l'extrémité (A, A') {fig. I) s'exprime par O (A, A').

De même, le segment ayant pour origine (^A, A ,i et pour extrémité (B, V>' ) se représente par (A, A') (B, B').

Un segment rectiligne est simple quand son origine est réelle : disjoint quand elle est imaginaire.

0( A,A'), par exemple, est un segment simple; (^A,A') (B, B'), un segment disjoint.

Les divers segments rectilignes se distinguent les uns des autres par la longueur ou Tangle de leurs composantes. Ils sont isoscèles ou scalènes, suivant que ces composantes ont, ou non, même longueur; radiés ou droits, suivant que les directions de ces mêmes composantes sont, ou non, concourantes.

Ainsi, OA, 0(B, B'), 0(C,C') [fig. 2) sont des seg-

Fis. 2.

menls droits, les deux premiers isoscèles, le troisième scalène.

De même, 0(1), D'), 0(E,E') {fig. 3) sont des segments radiés, l'un scalène, l'autre isoscèle.

On peut abréger la dénomination de segment rectiligne

Fis. 3.

isoscèle en lui substituant celle de segment isorecliligne.

Deux segments rectilignes sont égaux, quand, appliqués l'un sur l'autre, ils ont même origine et même extrémité.

Deux segments rectilignes sont équipollents, quelle que soit leur origine, lorsque leurs composantes, de même ordre, sont égales, de même sens et parallèles chacune à chacune.

EnH^n, deux segments rectilignes sont inverses Tun de \

LIGNK DROITIi. — CONIQUES KECTIUGNKS. 21

l'autre, ou, le premier, direct, et, le second, inverse, quand ils ont leurs points conjugués deux à deux.

Exemple : 0(B,B') et 0(B', B), 0(D,D') et 0(D',D).

Le mode d'un segment isorectiligne simple ne dépend que de l'angle de ses composantes. Celles-ci peuvent être considérées comme étant de même sens tant qu'elles restent superposées ou qu'elles forment entre elles un angle aigu, et de sens contraires, quand cet angle est obtus ou qu'elles sont opposées l'une à l'autre. Le segment isorectiligne est dit réel, dans le premier cas ; imaginaire, dans le second.

D'après cela, changer le mode d'un segment isorectiligne, c est intervertir le sens d'une de ses composantes. Mais, afin de procéder avec ordre, il convient d'opérer toujours sur la première composante du segment donné, puis de prendre la seconde, qui reste fixe, pour première composante du nouveau segment.

C'est ainsi que, par des changements de mode successifs, le segment droit réel-positif OA i^fig- 4) se transforme

Fis. 4.

d'abord en un segment imaginaire positif O; A, A'\ puis en un segment réel négatif OA', puis en un segment imaginaire négatif 0(A',A), pour revenir ensuite à son premier état.

Des opérations analogues font prendre au segment isoradié réel-positifO(A, A') ifig. 5) les formes successives 0( A', A"), 0,A",A"'), 0(A'",A),0(A,A'), ....

Dans les mêmes conditions, le segment 0{ A', A), inverse de 0(A, A'), devient d'abord 0(A,A"'), puis 0(A"',A"i, OiA",A), .'...

D'où il suit que deux segments inverses l'un de l'autre conservent ce caractère dans toutes leurs transformations.

J'appelle cycle l'ensemble des quatre manières d'être différentes que peut affecter un segment isorectiligne, et clileclioiis du cycle celles des composantes du segment. Ces directions se réduisent d'ailleurs à une seule pour le cycle droit.

Un cycle isoradié a de plus pour axes les bissectrices des angles formés par ses directions. L'axe répondant au segment

Fi g. 5.

récl-positii du cycle en sera dit Vctxe principal ou simplcinenir«.re.

Le segment isorectaiigle ou dont les composantes sont égales et perpendiculaires entre elles est indifféremment réel ou imaginaire. Mais, dès qu'on le suppose réel-positif, il est susceptible d'engendrer un cycle isorectangle.

Lorsque deux cycles isoreclilignes ont même origine et mêmes directions, sans que leurs points soient conjugués deux à deux, les segments qui les composent sont dits homogènes.

Pour additionner deux segments bomogènes, il suffit de

Fis. 6.

mener par l'extrémité du premier un segment équipoUent au second. La somme ainsi obtenue est bomogène à chacune de ses parties. De plus, elle peut se représenter dans tous les cas par le segment rectiligne ayant même origine et même extrémité qu'elle.

C'est ainsi qu'étant donnés { fig- 6) les segments droits

LIGNE DROITE. — CONIQUES R E CI I M (i N E S. 23

OA, OB, 0(B, B'}, si, par l'extrémité A du premier segment on mène les équipollents A^, A(b,b''), des deux autres il vient