O 6 T= OA ^- OB

0(6, 6') :=OA^O(B, B'j.

De même, les segments isorectangles 0(C,C'!, 0(D,D') {/îg- 7j ont pour somme

L'égalité des triangles OCr/, OC ri' montre, dans ce dei-

Fig. 1.

nier cas, que le segment mixte 0{d^ d') est isorectangle. En général, un segment radié mixte est scalène.

Lorsque les parties de la somme cju'il représente viennent à changer simultanément de mode, un segment mixte subit des transformations identiques à celles qu'on obtiendrait en changeant alternativement le sens de ses composantes. Le nouveau cycle qu'il engendre de la sorte peut s'appeler mixte.

Ainsi, le segment mixte

i^fig. 8), dont les parties changent ensemble de mode, engendre le cycle radié mixte OBB'B"B"'.

A moins d'être isorectangle, un pareil cycle ne renferme qne des segments scalènes. Ces derniers, suivant qu'ils sont entre eux de même mode ou de modes contraires, ont des angles égaux ou supplémentaires compris entre compo-

santes de même ordre directement ou inversement proportionnelles.

L'ensemble de tous les segments reclilignes homogènes groupés dans un plan autour d'un même point forme, dans le sens le plus général du mot, une ligne droite ayant ce point pour origine.

L'ensemble des segments inverses des premiers constitue la droite inverse de la première.

LIne droite est dite radiée ou réelle, suivant que les segments dont elle se compose sont radiés ou droits.

LIGNIÎ DROITi;. - CONIQl'l-S Uli; Cï 1 L I G X E S. 2)

La droite rectangle esl une variété de la radiée. Elle ne comporte que des segments isorectangles, c'est par elle que nous commencerons l'étude de la droite.

Soit 0(A,A') {fig. 9) un segment rectangle réel-positif.

Il détermine un cycle OAA'A"A"' ayant Ox pour axe principal.

Les quatre segments 0(;A,A'), 0(A',A"), 0(A", A"'). 0( A'", A) font partie d'une droite rectangle dont le point O est V origine réelle.

Lorsqu'ils viennent à croître indéfiniment, sans que leurs composantes cessent d'être égales, ces quatre segments se transforment en quatre branches isorectangles. .Celles-ci font encore partie de la droite en question. Elles en forment le premier système.

Si l'on prend, dans ce premier système, deux segments quelconques de modes contraires entre eux, leur somme est, comme on sait, un segment isorectangle mixte. Celui-ci détermine un cycle de même nature, puis un système mixte ou conjugué du premier. D'où l'on voit, sans aller plus loin, que la droite rectangle se compose d'une infinité de systèmes partant de son origine réelle et subordonnés à l'un d'eux. Elle est d'ailleurs complètement déterminée par le segment réel-positif 0(A, A') ou par la branche correspon-

dante. Celle-ci se nomme en conséquence la tige de la droite rectangle et lui donne ses axes.

Ajoutons que chaque branche de la droite proposée peut être prise au besoin pour tige secondaire et fournir ainsi tous les autres points de celte droite.

Enfin, ce n'est pas seulement autour de l'origine O que les points de la droite 0(A, A' j se répartissent en une infinité de branches isorectangles. Car tout autre point de celte droite est susceptible de devenir Vorigine imaginaire d'une infinité de branches du même genre.

En effet, si, d'un point quelconque (A, A') de la droite proposée, on mène l'équipollent (A, A') (B, B' ) d'un segment isorectangle quelconque issu de l'origine O, le point ("B, B' ) fait nécessairement partie de celle droite. Et, réciproquement, le segment (A, A') (B, B') mené par le point (A, A'; et le point quelconque (B, B'} de celle-ci ne saurait être que l'équipollent d'un des segments isoreclangles partant de l'origine O.

Donc, le point imaginaire (A, A'j est l'origine d'une infinité de branches disjointes équipollentes à celles dont l'origine est réelle. El l'on peut en dire autant de tous les autres points de la droite rectangle.

Comme on est libre en outre d'adopter pour tige secondaire une quelconque des nouvelles branches, on en conclut que :

Chaque point d'une droite rectangle et chaque branche issue de ce point peuvent, à l'occasion, jouer le même rôle que l'origine réelle et la tige de celte droite.

Nous n'aurons guère qu'à répéter pour la droite radiée ce qui vient d'êlre dit de la droite rectangle.

Le segment isoradié 0(A, A') {fig. lo) engendre d'abord un cycle isoradié dont l'axe principal est Ox, puis un premier système de même nature.

La somme de deux segments de modes contraires appartenant à ce premier système donne ensuite un segment radié

LIGNE DliOlTi:. " COMQUKS R K CT 1 L 1 1. N E S. 27

mixte. Celui-ci détermine à son tour un cycle radié dont les segments scalènes peuvent croître indéfiniment sans que leurs composantes cessent d'être proportionnelles : et l'on obtient de la sorte un système radié mixte.

De là la possibilité de construire autour de l'origine O, d'abord un premier système isoradié, puis une infinité de systèmes radiés mixtes conjugués de celui-ci.

L'ensemble de tous ces systèmes constitue la droite radiée,

Fiî. 10.

dont l'origine réelle est O, la lige 0(A, A') et l'axe Ox.

Cette droite comporte d'ailleurs autant d'origines imaginaires que de points de cette espèce, autant de tiges secondaires que de branches issues de ces mêmes points.

II ne reste plus qu'à dire quelques mots de la droite réelle.

Tout segment droit réel-positif OA détermine un cycle isoscèle; puis un premier système droit du même genre.

La somme de deux segments de modes contraires pris dans ce premier système donne ensuite un segment, puis un cycle droit mixte. Les quatre segments d'un pareil cycle sont d'ailleurs scalènes et peuvent croître indéfiniment sans que leurs composantes cessent d'être proportionnelles. Le cycle se transforme alors en un système droit mixte, et rien n'empêche de concevoir, à partir de l'origine réelle O, une infinité de systèmes analogues ayant, comme le premier, pour direction OA.

L'ensemble de tous ces systèmes est une droite réelle, et

28 CilAPITRK II.

chaque point de celle-ci peut être l'origine d'une infinité de systèmes du même g^enre.

Enfin, lorsqu'un point imaginaire a ses composantes symétriques par rapport à une droite réelle, il peut décrire une infinité de segments équipollents à ceux de la droite. L'ensemble de ces nouveaux segments forme encore une droite réelle qui se nomme disjointe et dont la première droite est Vaxe.

Ainsi (M, M') (N, N'; i^fig- ii) est une droite réelle disjointe ayant pour axe AB.

Les droites radiées et réelles peuvent évidemment se dé-

Fig. II.

duire de la droite rectangle en projetant celle-ci, d'une part, sur un plan quelconque passant par son axe principal, d'autre part, sur cet axe même. De là les services que sont appelées à rendre, dans les applications, ces propriétés projectives.

D'après ce qu'on a dit plus haut, une droite est donnée par deux quelconques de ses points. Mais, lorsque ces points déterminent un segment mixte de la droite, il importe de savoir trouver immédiatement la somme isorectiligne correspondante.

Soit d'abord le segment droit mixte 0(A,A') i^fig- 12).

Fig. 12.

Si l'on prend le milieu B de l'intervalle AA', il vient immédiatement