X- + CE

Donc

GÉOMÉTRIE DE l'eSPACK. 1^3

est l'équalion par rapport aux axes choisis de la nappe sphtrique AA'.

En continuant de s'éloigner du plan j-^, la première branche

Fis- i^l-

de la génératiùce finit par arriver en A où elle se réduit à ce point.

Lorsque le plan mobile dépasse le point A et que sa distance au centre de la sphère est x=^ OG, par exemple, sa trace sur zx rencontre la directrice en un point imaginaire (H, H) dont les composantes sont symétriques par rapport

Étant donnée dans ce plan mobile la circonférence de centre G et de rayon G(H,H'), il est facile de voir que les

r36 CHAPITRE V.

coordonnées d'un point quelconque ( L, L' > de cette circonférence satisfont à l'équation de la sphère.

En effet, soient HH', IvK' deux axes rectangulaires pris dans le plan mobile ;y— G(/, /'), z = {l, /'VL,L'). les coordonnées du point (L. L) relativement à ces axes. On a, par hypothèse,

y- -^z^ = Gm .

Mais la directrice donne

D'où

Or, d'après la loi qui règle ses variations, la première branche de la génératrice OB, dès qu'elle dépasse le point A, se transforme en une circonférence telle que G (H, H' !. Elle engendre alors un hyperboloïde a^ant pour directrice Ai H, H') et dont tous les points ont leurs composantes symétriques par rapport à xx'. Mais, d'après ce qu'on vient de dire, les coordonnées de ces points vérifient l'équation de la sphère. D'où la possibilité de regarder l'hyperboloïde en question comme une nappe imaginaire du lieu. Je l'appelle en conséquence une conjuguée sphérlque du premier genre.

Outre sa branche réelle, la génératrice comporte, comme on sait, une infinité de branches imaginaires. Celles-ci, dans leurs transformations successives, engendrent autant d'hyperboloïdes à une nappe tangents à la sphère AA' suivant des circonférences de grand cercle. Chacun de ces hyperboloïdes peut d'ailleurs être considéré comme faisant partie du lieu. Car, la génératrice occupant la position CED, par exemple, les coordonnées j)^ = C(/??, 772'), ^ = (m,/?2' ) (M,M') d'un quelconque (M, M') de ses points donnent

y--\-z>-— GË'

GEOMETRIE DE L ESPACE

De là, par conséquent, une infinité de nouvelles conjuguées sphériques que j'appelle du second genre. Toutes ces conjuguées viennent d'ailleurs passer par le point A où la génératrice se réduit à une conique rectangle ; puis, après leur coïncidence avec cette dernière, elles ont pour enveloppe la conjuguée du premier genre A (H, H' !.

Admettons maintenant que, dans sa position initiale NBN', le plan de la génératrice se disjoigne et que ses nappes, tout en restant parallèles à yz^ viennent couper l'axe xx' l'une en C, l'autre en C, le point (C,C') ayant ses composantes symétriques par rapport à l'origine O. Comme la trace sur zx du plan disjoint (C, C ) rencontre la directrice en (P,P'), la génératrice OB se transforme en une circonférence réelle ayant pour centre (G,C') et pour rayon (C,C') (P,P') ouCP. Les coordonnées de ses points satisfont encore à l'équation delà sphère. De plus, en passant d'une position à l'autre, elle engendre d'une part une conjuguée du second genre ayant pour cercle de gorge NBÎN', d'autre part une infinité de conjuguées du premier genre répondant aux branches imaginaires du même cercle. Ces dernières ont chacune pour axe transverse le diamètre mené de l'origine des coordonnées à leurs points de contact avec la sphère AA' et les composantes de leurs points sont symétriques par rapport à cet axe. Exemple :

Revenons enfin à la position réelle quelconque CEDE' de la génératrice et soit E(R,R') la branche directrice passant par le point E. Si l'on mène (R,R') (r, r' ) perpendiculaire à xx\ on voit aisément que les coordonnées de tous les points de la circonférence mixte ayant pour centre (/',/'') et pour rayon !/',/•') (Pt, R') vérifient l'équation de la sphère. Lorsque le plan de la génératrice passe de C en (r, r'), la première branche CEDE' donne naissance à une nappe hyperboloïdale qu'on pourrait obtenir par la rotation de Ef R, R ) autour de xx' .

l58 CHAPITRE V.

J'appelle cette nappe une conjuguée spkérique du troisième genre. En même temps, les conjuguées de lagénéraLrlce deviennent celles d'une circonférence mixte et décrivent une infinité de nappes ayant pour directrices les positions correspondantes de E(^^Pv.,R'). Ces nappes qui, par leur mode de génération, se distinguent essentiellement de toutes celles que nous venons d'étudier, s'appellent conjuguées sphériques du quatrième ^e/z/'e. La nappe dont la directrice estE(R, R') et dont la génératrice est la conjuguée mixte (R,R') (S, S'), par exemple, appartient à cette nouvelle et dernière catégorie.

L'ensemble de la nappe sphérique Kh! et de toutes ses conjuguées prend le nom de sphère réelle. Cette sphère a pour centre l'origine O des coordonnées et pour rayon