OA

Si l'on remplace les circonférences réelles OA, OB, parles circonférences imaginaires 0( A, A'), 0(B, B'), sans que les conditions auxquelles la génératrice est soumise soient en rien modifiées, on obtient une sphère imaginaire dont les nappes sont les mêmes que celles de la sphère réelle sous le rapport de la forme et n'en difl'èrent que par la disposition des composantes de leurs points.

C'est ainsi que, dans la nouvelle sphère, les points de la nappe qui remplace AA' ont leurs composantes symétriques par rapport au centre; que ceux de la nappe répondant à A(H, H') ont leurs x imaginaires au lieu d'être réels, leurs z réels au lieu d'être imaginaires, et ainsi de suite.

Enfin, lorsqu'on part d'une directrice et d'une génératrice mixtes, la sphère qu'elles engendrent est de même mode qu'elles, ses nappes peuvent encore se construire sans trop de difficulté; mais elles sont naturellement plus compliquées que celles des autres sphères.

L'équation d'une sphère quelconque ayant pour centre un

GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. 1 5g

point dont les coordonnées rectangulaires x=^ a^y=::b^z = c sont réelles, imaginaires ou mixtes, est d'ailleurs

Lorsque le rayon /-, quel qu'en soit le mode, s'annule, la sphère se transforme en un cône rectangle imaginaire dont les nappes sont asymptotes aux siennes et dont le sommet est le centre.

Je crois avoir assez montré par ces exemples que l'emploi des points de modes contraires a son utilité pour les surfaces comme pour les lignes planes. Aussi, pour terminer cette étude, n'ai-je plus qu'à dire encore quelques mots des distances et des vectrices telles que je les ai définies pour le plan.

La dislance de deux points de l'espace est le ravon de la sphère ayant l'un de ces points pour centre et passant par l'autre.

Si les points donnés ont pour coordonnées rectangulaires, l'un x\ y, z'; l'autre x", y", z", leur distance o est donc fournie par la formule

La distance de deux points de l'espace peut toujours se construire à l'aide des coordonnées rectan2:ulaires de ces points.

Soient, par exemple, O^, Oy\ Oz [fig'. 85 ) trois axes rectangulaires; (M, M') un point quelconque de l'espace;

les coordonnées de ce point.

Si l'on détermine la distance (A, A'; (M, M') et qu'on rabatte cette distance suivant (A, A') (/n, m') perpendiculaire à Ox dans le plan zx, il ne reste plus qu'à construire le ravon de la circonférence ayant pour centre le point O et passant

l6o CHAPITRE V.

par (111, m') pour obtenir la distance cherchée 0(M, M'). En effet, si l'on désigne par z la distance O m, m \, il vient

L'angle de la distance O (M, M') avec l'axe des x est d'ail-

Fie. 85.

leurs celui de la droite O (/?i, m') avec ce même axe. En sorte qu'en désignant cet angle par a, on a

0 cosa.

On peut remarquer aussi que les distances de l'origine O à tous les points de la circonférence de centre (A, A') et de rayon (A, A') (m, m') sont égales entre elles et qu'ayant chacune O; A, A) pour projection sur O.2;, elles font toutes avec cet axe le même angle a.

Désignant par [î, y les angles que la distance O (M, M) fait avec Oj\ Oz, on a de même

jr^OCOSp,

::= ÛCOSY

et, par suite.

=^ S- (cos-a -i- ces- (5 -1- cos-y)

GEOMKTRIE DE L ESPACE. iGl

quelles que soient les valeurs de o et des angles a, [3, v. On en conclut, du reste,

cos-a H- cos-5 H-cos-y :=: I .

comme dans le cas d'angles réels.

Si l'on projette sur O ( JM, M'i la brisée

0(A,A')(B,B')(M,M'), il vient

oz=L X ces a -\- y cosS -i- ^cosy;

et cette dernière formule permet de trouver l'angle de deux distances quelconques issues de O.

P».apportée à trois diamètres rectangulaires, la sphère réelle, imaginaire ou mixte se transforme, par le changement de mode de ses z, en un hyperboloïde équilatère de même rayon; et, si l'équation de l'une est

x-^y- -r-z- = r\ celle de l'autre est

Tout segment rectiligne mené du centre de l'hvperboloïde équilatère à l'un de ses points conserve le nom de vectrice.

Les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M de l'espace étant

x = OX=:a, j = AB = 6, x; = BM = c

{ ftg. 86 ), la distance OM de l'origine à ce point est, comme on sait, donnée par la formule

=:ya^ + b- H- C-.

La direction OM est fournie par les angles a, j3, y, qu'elle fait avec les axes. Mais on peut la déterminer encore d'une autre façon.