M. II
l62 CHAPITRE V.
En effet, la sphère de centre O et de rayon Oq =. i, coupant OM en m, Oz en /?, et les planes xz^ xy, zOM, suivant les grands cercles pq, qi\ ps, il suffit de connaître la longitude qOs = ).et la latitude s O m = 0 du pointM pour en conclure la direction OM.
Dès qu'on multiplie BM = c par ?, le point M se trans-
Fig. 86.
yy
forme en un point imaginaire ( M, M'j et le segment rectiligne OM en une vectrice O (M, M' i dont le module est
^■=slx^-^y^--
Comme le point (M, M'j ne cesse pas d'avoir pour longitude X et que sa latitude devient 50(m.m')^6i, la vectrice O (M, M) est déterminée, d'un côté, par cette longitude et de l'autre par la relation
OB--BMi
p (ces 6 4- isinQ).
GÉOMÉTRIE DE l'eSI'ACE. i63
La vcctrice unité O (/??, m' ) a de même pour longitude X et pour mesure
O I /«, m') :r= cosO -H « sin8.
Il est bon d'ajouter que, lorsque la distance Om devient la vectrice O ( m, m'), l'angle qOm se transforme en un logarithme qO [m^ m' ) et que celui-ci peut être considéré comme la somme a -t- Oï de la longitude et de la latitude du point ( tn. m' ].
L'addition des vectrices de l'espace consiste aies composer cinématiquement comme on l'a fait pour les vectrices coplanaires.
Le produit de deux vectrices de l'espace s'obtient en effectuant la somme de leurs longitudes et celle de leurs latitudes, puis en affectant celle-ci du produit de leurs modules.
Si l'on rapporte l'hyperboloïde équilatère non plus à ses axes, mais à trois diamètres conjugués quelconques, les conclusions précédentes n'en subsistent pas moins. Les propriétés des brisées rectangles s'étendent donc aux brisées obliques et les vectrices qui répondent aux unes comme aux autres sont susceptibles des mêmes opérations.
Dans toute expression de la forme p(cosO -î- îsinO), le géomèti'e anglais Hamilton voit deux parties entièrement distinctes, l'une algébrique pcosO, l'autre purement symbolique î'p sinO. Il substitue d'ailleurs à cette dernière le trinôme ai -r bj -^ ck, formé d'une part des constantes a, b^ c, d'autre part des symboles i^j,k, assujettis à certaines règles conventionnelle, set crée de la sorte une Algèbre symbolique n'offrant plus, du moins en apparence, que des analogies lointaines avec la science de l'étendue.
Je vais essayer de prouver que la manière de procéder d'Hamilton se rattache directement à la Géométrie cartésienne .
Mais, pour ne pas modifier la signification précise que
j'attache à la lettre t, je remplacerai, dans ce qui va suivre, les variables i,J,k, d'Haniilton, par les variablesy, A, /.
Soit d'abord OA = i (Jig'. 87) le rayon d'une hyperbole équilatère coupant en ( B, B") l'axe Oy perpendiculaire à OA.
Lorsque le point A, devenant imaginaire, décrit la branche circulaire A( B, B') de l'hyperbole proposée, le segment OA
Fis. 8
se transforme successivement en 0(M, M'), 0(N, N'), puis, enfin, en 0(B, B). Or, de même que le produit des vectrices 0(M, M'), 0(N, N') s'obtient en faisant la somme de leurs logarithmes, de même le produit de OA par 0(B, B' 1 a pour
logarithme o -^ - i el par suite égale 0(B,B'). On voit
pareillement que le produit de OA par 0(^B, B ) ayant pour logarithme o -r r.i n'est autre que 0A'= — i.
Observons enfin que les considérations précédentes s'appliquent encore au cas où, l'axe Oy étant quelconque, la circonférence A(B, B' ) se transforme en une ellipse hyperbolique.
Cela posé, soient ax', ,3ii', yy' ifig- 88 ) trois axes ayant O pour origine et que, pour plus de simplicité, nous supposerons rectangulaires.
Portons respectivement sur chacun d'eux les segments
GEOMETRIE DE L ESPACE
droits
OA = OB = OC = i, 0(A,A') = 0(B, B') = 0(C,C') = ^
Pais, observons que les segments OA, 0(^A, A', bien qu'étant démodes contraires, peuvent se représenter par une même
Fig. 88.
variable y, et désignons pareillement OB, 0(B, B'i, par k: OC, 0,C,C') par ^.
D'après ce qu'on a dit plus haut, le produit de OA par 0( B, B I est
yA=0(B,B'),
et ce produit peut s'obtenir en remplaçant OApar 0('A, A'), puis en faisant tourner ce dernier segment dans le sens direct, pour un observateur ayant les pieds sur le plan a^ et la tête en v. De même, en faisant tourner 0(B, B') d'un quadrant dans le sens direct pour un observateur ayant les pieds sur (5 Y et la tête en a, on obtient le produit de OB par 0(C,C'), et ce produit n'est autre que 0(C,C')= /. Mais 0( C, C I :^ 0( B, B L Bien ne s'oppose donc à ce qu'on remplace le produit des segments OA, 0(B,B') par le seg-
l66 CHAPITRE V.
ment 0(C,C ) perpendiculaire à leur plan et qu'on écrive, par suite,
jk = L
D'un autre côté, si l'on fait momentanément abstraction du signe des coordonnées; il est clair que, pour un observateur ayant les pieds sur a^ et la tête en v', la multiplication
de OB par Oi A, A' i donne
et que, pour ce même observateur ayant les pieds sur ay et la tête en j5, le produit de OA par OrC',Ci est
0(C', C)= 0( A, A' I. Or, en restituant aux coordonnées leurs signes, il vient
Donc
kj^-l ou
-kj=:l.
Enfin, lorsqu'on multiplie OA par 0( B, B i =■ A-, il vient
/A-2— OA'z=-OA, d'où
Ilestbond'ajouterque le produit de 0(A, A' ) par O (A, A'), par exemple, peut aussi se représenter paiV-7 ^^7" ' ^^ ^"^ revient à considérer le premier facteur / comme exprimant l'unité imaginaire.
Des considérations précédentes il résulte qu'on a les relations
jkz=z-^kj—l,
kl=-lk=J,
lj=-jt=k,
GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. 167
ce qui s'accorde de tous points avec les conventious d'Harailton.
Représentons maintenant par / -r- A" + /la diagonale OM du cube construit sur OA, OB, OC. Puis multiplions / par /r, k par /, / par j . La somme des produits partiels ainsi obtenus est
jk -^- kl-\- Ij = l — j -T- k.
Or, le résultat de ces multiplications partielles est évidemment de remplacer OA par 0(C, C), OB par 0(A, A'), OC par 0(6, B'), et, par suite, OM par 0(M, M'). Donc
Pour nous conformer aux définitions d'Hamilton, appelons vecteur tout segment droit OM partant de l'origine du système Oa^Y 6t vecteur-unité celui dont les composantes sont
Fig. 89.
égales à l'unité de longueur. Les variables y, A, / représentent
des vecteurs-unités dirigés suivant les axes.
Les coordonnées relatives au système Oa^^Y d'un point
réel N de l'espace étant b, c, cl {fig. 89^ le vecteur ON peut
s'écrire
0^ = bj ^ck^dl;
et les multiplications partielles dont on vient de parler amènent pour ce vecteur un changement de mode analogue à celui du vecteur OM de la ligure précédente. Mais ce nouveau changement de mode ne s'elTectue plus suivant la direction ON, à moins qu'on ne suppose b ^= c = d.
Dans tout autre cas, le vecteur réel ON se transforme en un vecteur imaginaire 0(Ni,Nj j donné par la formule
bl-\-cj -\-clk = 0{^,,^\).
Cela posé, les coordonnées d'un point réel M [fi g- 90) par
Fig. 90.
rapport au système rectangulaire Oxy z étant
x-^Ok, r = AB, ii^rBM,
s'agit-il de transformer en vectrice la distance OM?
Au lieu de multiplier immédiatement BM par ?', ce qui donnerait la vectrice
