M,M')==OB-^B(M,M

on peut mener par le point B trois axes secondaires indépendants du système Oxyz, pi-endre dans une direction convenable BN = BM, écrire ensuite

BN = bj -h ck -^ dl,

GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. 1 ()9

et finalement en conclure

B(M,M') = bl-~cj-~dk.

Doù il suit qu'en désignant OB par a. il vient O ( M, M' )--a-r-bl-cj -^ dk.

Les expressions de ce genre ont reçu, du nombre de leurs termes, le nom de rjaaternions.

Lorsque deux vectrices rapportées à un système rectangulaire passant par leur origine ont leurs axes secondaires parallèles chacun à chacun, elles s'expriment dans des quaternions de la forme

p ^=1 a -^ hj ^- ck -\- dl, q^^ a' ~~ m ( bj -^ ck -^ dl i .

le coefficient m étant un nombre réel. Or, Hamilton a prouvé ( 'j que ces formules peuvent respectivement s'écrire

p = p(cos6 -^ a sin6), q = p'(cos6'-H a sinO'j ;

que leur produit est

/>^ = pp'|cos(6 H-0') -hasin(0 — 6');

et que rien n'empêche d'identifier y. avec /. Ce qui s'accorde avec la règle donnée plus haut par le produit de deux vectrices.

Hamilton démontre ensuite que le produit, le quotient de deux vecteurs sont autant de quaternions, puis il assigne à ces expressions svmboliques des interprétations qui peuvent être fécondes, mais qui sortent du cadre que je me suis tracé. L'essentiel est d'avoir concilié la doctrine des quaternions avec celle des vectrices telle que je l'ai présentée.

Conduit, comme je l'ai dit, par l'analyse aux relations

(' Allégret. Thèse. Paris, 1862.

conventionnelles que nous venons d'étudier, Hamilton est oblige de recourir à des considérations philosophiques d'un ordre assez élevé pour établir que le rapport de deux vecteurs doit être un quaternion. Je crois avoir montré que la méthode prudente et sûre de Descartes l'eût mené plus directement au but. Quoi qu'il en soit, sa manière de procéder n'a pas laissé de rencontrer beaucoup d'admirateurs, et l'un d'eux, M. Tait, se prononce assez nettement sur ce point.

Les propriétés des symboles qui se rapportent aux quaternions, dit-il, nous rappellent les symboles électifs de la logique, tels qu'ils sont donnés dans le traité admirable de Boole (sur les lois de la pensée j. La similitude frappante de ces deux systèmes de symboles, types de procédés qui sont au fond les mêmes, nous suggère la remarque qu'après tout il n'y a qu'une science unique de l'Analyse mathématique ayant diverses branches, mais employant dans chacune d'elles les mêmes procédés. Par l'une de ces branches, cette science nous dévoile les mystères de la Géométrie de position hors de la portée du raisonnement géométrique ordinaire; par l'autre, elle permet au logicien d'arriver à des vérités de déduction auxquelles il n'aurait jamais pu atteindie sans le secours de l'instrument des formules ( ' 1.

Adopter sans réserve une pareille conclusion, ce serait plus que jamais faire de l'Algèbre « un art confus et obscur qui embarrasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive. » Descartes a montré le premier qu'on peut déjà fonder en j)arlie la science des nombres sur la considération des droites, du sens qu'elles affectent et des opérations qu'elles comportent. Je pense avoir, sous ce rapport, complété l'œuvre du maître. Ma tâche est donc remplie.

i'} Tait, Traité élémentaire des quaternions, p. 81. Traduction de Plarr. 2 vol. in-8; 1882-188^ (Paris, Gaulhier-Villars).

CONCL USION.