CONCLUSION

Un rapide coup d'œil jeté sur les questions que je viens d'aborder ou qui s'y rattachent me tiendra lieu de conclusion.

La Géométrie et l'Algèbre ont entre elles des relations nécessaires sur lesquelles il importe d'être fixe.

Faut-il ériger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis essayer d'y rattacher les vérités géométric[ues ?

Faut-il, au contraire, suivre la voie tracée par Descartes et déduire les éléments d'Algèbre des premières données de la Géométrie pure?

De ces deux méthodes, la seconde semble être la plus rationnelle.

En effet, si peu qu'elle interroge l'expérience, la Géométrie n'en est pas moins une science d'observation. Elle considère les corps, leurs parois, leurs arêtes, afin d'en abstraire les solides , les surfaces et les lignes ; puis elle commence par étudier ces figures et finit par les mesurer pour en faciliter la comparaison. Descaries est donc autorisé par là même à fonder l'Algèbre sur la considération des droites et des opérations qu'elles comportent. Mais ce qui fait surtout le mérite de sa méthode, c'est cju'elle se guide uniquement sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les propriétés du nombre et les lois qui le

régissent; tandis qu'en suivant la voie contraire, on est bien vite réduit à ne raisonner que sur de jjurs symboles.

Autant qu'on en peut juger par cette remarque à peine ébauchée :

La nature s'imite... les nombres imitent i'esjiace qui sont dénature si différente ( ' ).

Pascal n'approfondit pas la question qui nous occupe. Mais Cauchy montre sa prédilection pour les idées pythagoriciennes lorsqu'il traite du même sujet en ces termes :

On pourrait dire que les points mathématiques, les distances, les surfaces et les volumes subsistent à la manière des nombres. Ainsi, une distance est réalisée par la création de deux atomes, comme le nombre 5 peut être réalisé par la création de cinq objets divei's et les relations nécessaires qui subsistent entre les distances mutuelles de certains points peuvent elles-mêmes être comparées aux relations nécessaires qui subsistent entre certains nombres. Ainsi, par exemple, si en portant à la suite les unes des autres et à partir d'un point donné, dans trois directions perpendiculaires entre elles, trois longueurs dont l'une soit l'équivalent et chacune des deux autres le double d'une longueur donnée, on détermine un second point dont la distance au premier est triple de la longueur dont il s'agit, cela tient simplement à ce que la somme faite des carrés des nombres 1, 2 et 2, est ellemême le carré du nombre 3. On prouverait de la même manière que toutes les propriétés des lignes, des surfaces, des volumes,, peuvent être considérées comme les propriétés des nombres et c'est en développant cette idée que Descartes a créé une science nouvelle, savoir : V Application de l'Algèbre à la Géométrie ('-).

Ai-je besoin de rappeler qu'après mûr examen de l'œuvre cartésienne, c'est le contre-pied de cette conclusion qu'il faut prendre.

Au surplus, Cauchy ne se rallie sans doute aux idées pv-

(') Pensées, édition Faugère.

(^ ) Cauchy ( A.). Sept leçons de Physique générale, publiées par M. l'abbé Moigno (Paris, Gauthier-Villars).

CONCLUSION. l-i

thagoriciennes que pour mieux faire acceplcr les purs symboles de l'Algèbre et leur interprétalion géonélrique,

jNIais, au lieu d'affubler ainsi des êtres de raison de toutes les propriétés du nombre, Descartes ne laisse pas de frayer encore la route à ceux qui viendront après lui.

S'agit-il, en effet, de fixer sans ambiguïté possible la position des divers points de l'espace, il assigne deux sens contraires aux droites quileur servent de coordonnées et marque des signes + ou — ■ les valeurs absolues de ces droites. Procède-t-il en outre à la résolution graphique d'une équation de degré quelconque, il a soin de constater que l'opposition de sens des racines trouvées s'accorde constamment avec l'opposition de signes de leurs valeurs numériques.

Bref, il est amené de la sorte à doter les droites absolues de deux manières d'être inconnues des anciens; puis à mesurer les nouvelles droites en tenant compte à la fois de leur grandeur et de leur sens. Or, l'innovation a son prix, puisqu'il suffisait de définir les opérations dont ces mêmes droites sont susceptibles, pour en déduire la théorie des nombres de signes contraires.

Reconnaissons toutefois que cette dernière considération semble échapper au grand novateur et qu'il n'étend pas sa méthode aux expressions imaginaires.

Après lui, l'interprétation des purs symboles de l'Algèbre reprend faveur. La doctrine des quantités géométriques n'a pas d'autre objet. Mais, bien qu'elle gratifie la droite absolue d'une nouvelle manière d'être, la direction, elle ne tarde pas à se voir environnée d'obstacles qu'elle est impuissante à franchir. Quant à la méthode cartésienne, elle n'a qu'à s'appuyer sur des conceptions plus générales que celles de \\allis ou d'Argand pour être en mesure de résoudre les grands problèmes qui nous occupent.

C'est ainsi qu'en assignant aux éléments des figures deux nouvelles manières d'être, collectivement appelées modes

contraires, je parviens, d'une part, à créer les nombres imaginaires au même titre que les nombres réels, puis à démontrer toutes les règles du calcul algébrique; d'autre part, à généraliser l'Analyse ancienne et celle de Descartes pour en former la Géométrie supérieure. D'où il suit que la science de l'étendue et celle des nombres gagnent toutes deux à se prêter un mutuel secours et que la réforme cartésienne des Mathématiques pures se trouve dès lors accomplie.

Peut-être, est-ce en désespoir de cause et pour n'avoir pu déchiffrer les énigmes de l'Algèbre que Von Slaudt s'est proposé d'affranchir la Géométrie supérieure ou de position de toute idée de nombre. Que sa méthode, en partie fondée sur des rapprochements entre les figures planes et celles de l'espace, fournisse de précieux moyens d'investigation, nul ne saurait en disconvenir. Mais qu'elle suffise pour dissiper tous les mystères de la Géométrie de position, personne encore n'en a fourni la preuve. L'œuvre de Von Staudt n'a donc pas l'importance qu'on voudrait lui donner. Voici du reste ce qu'en pense un compatriote du géomètre allemand.

Cette œuvre, dit Hankel, classique dans sa singularité, est une grande tentative en vue de soumettre la nature, dont l'essence est de se manifester sous mille formes variées, à l'uniformité d'un schématisme abstrait et systématique. Une telle tentative n'était possible qu'en Allemagne, pays des méthodes scolastiques, et nous pouvons ajouter, de la pédanterie scientifique. Certes, les Français n'ont pas moins fait que les Allemands pour les sciences exactes ; mais ils prennent leurs moyens d'investigation partout où ils les trouvent; ils ne sacrifient pas l'évidence au système, la facilité des recherches à la pureté des méthodes ( ' ).

Ces réflexions sont marquées au coin du bon sens. Loin de mettre la vérité dans tout son jour, les systèmes ne contribuent guère cju'à l'obscurcir. N'est-ce pas de la tendance à

( ' ) Favaro, Géométrie de Position.