PA. PA =. OP — OA

On a donc finalement

— PC zzz OP - OA , ou, en désignant PC par y et OP par x,

Cela posé, si, par le point C, on mène à la circonférence une tangente coupant xx' en Q, les antiparallèles CA, CA' donnent

qG=z QA.QA =:6q-6Â\

Mais, en rabattant QC suivant QE et QE' sur la perpendiculaire élevée en Q à xx', on reconnaît que le lieu des points

E, E' est une hyperbole équllatère ayant OA pour demi-axe transverse ou rayon.

Or, rien n'empêche de supposer qu'après avoir engendré la circonférence réelle OA, le point A devienne imaginaire et que ses composantes décrivent, la première, l'arc AE, la seconde, l'arc AE', ou vice versa.

Dans cette hypothèse, les points (E, E') et (E', E) sont imaginaires conjugués. Leur abscisse commune est OQ. Quant à leurs ordonnées respectives, elles sont QEt, QE'i,

c'est-à-dire les produits par i des ordonnées QE, QE'. Gomme

on a d'ailleurs QE^. QE'i= — QEf = QC , on en conclut

— QEf nzOQ -OA , ou, en désignant QEf par j^ et OQ par x^

Prenons enfin sur la circonférence OA deux points A|, Ai, équidistants de A. Supposons que ces points devenus imaginaires décrivent les hyperboles équilatères OA,, OAj, de même mode qu'eux et prenons sur ces courbes les points (F, F'), (G, G/), symétriques par rapport à xx\

Ces derniers points sont déterminés chacun par une équation telle que

RFtzriOR — OA .

Lorsqu'on les rapporte aux axes xx\ yy^ ^ ils ont pour abscisse commune 0(T, ï') et pour ordonnées respectives les segments égaux mais de modes contraires (T,T') (F, F'), (T, T') (G, G'). On a par suite

D'autre part, les segments (T, Ï')A, (T, T')A', dont la demi-somme est O (T, T') et la denai-différence OA, ont pour

produit

(T,T')A.(T,r)A'==0(T,T') - OA .

Or, sî, désignant par a l'angle AOR, on projette la brisée 0(T,r) (F, F) sur les directions des segments OR, R(F,F'), ce qui donne

OR == 0(T, T') cosa 4- (T, T') (F, F') sina, RFi =: 0(T, T') sina - (T, T'j (F, F') cosa,

et qu'on substitue ces valeurs dans l'équation

-RFi=0R — OA , on trouve

-(T,ïj(F,F)=0(ï,T)-OA('), ou, en désignant (T, T') (F, F) pary et O (T, ï ) par x,

fli <> o

— y .=zx- — r-.

Il suit de là que, si l'on appelle circonférence réelle l'ensemble de la branche circulaire et de ses conjuguées hyperboliques en nombre infini, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne symétrique entre deux segments droits différant constamment entre eux de AA'= 2r, et qu'elle a pour équation

— y^z=^x^ — r* ou œ--t-y'=^r\

Lorsque le rayon OA devient nul, la circonférence réelle se réduit au système de ses deux asymptotes, c'est-à-dire à la conique rectangle ayant pour axe O^ et dont l'équation est,

( * ) On eût pu conclure immédiatement cette relation de ce que les droites A (F, F'), A' (G, G') sont antiparallèles^ comme on le verra plus loin à propos de la mesure des angles.

comme on Ta vu,

Si le rayon OA change de mode et devient (Jig. 46)

0(\,A')=OAiz=r/ rien n'empêche de le faire tourner encore autour du centre O.

Fig. 46.

jp'ûT-^

Son extrémité (A, A') décrit alors une circonférence dont tous les points sont imaginaires comme ayant leurs composantes diamétralement opposées.

Prenons pour axes de coordonnées la direction de O (A, A') et celle du rayon 0(B,B') qui lui est perpendiculaire. Puis, considérons sur cette nouvelle courbe deux points quelconques (G, C), (D,D'), ayant leurs composantes de même ordre symétriques par rapport à xx\

Ces points ont pour abscisse commune 0(P, P') = OP i et pour ordonnées respectives

(P, P) (C, C ) == PC i, (P, P) (D,DO = PDi.

Or, le diamètre (A., A') (A', A) ^= AA'i étant imaginaire.

11 en est de même des segments

(P, P') (A, A') =z PAi, (P, P') (A', A) — PA'/,

dont la demi-somme est OPi et la demi-diflFérence OAi.

D'ailleurs, les antiparallèles menées des points (C,C') et (D,D') aux points (A\ A) et (A,A^) donnent

PCf.PDf==PAï.PAV;

et, comme on a d'une part

PCi.PDi:=r— PC* ,

d'autre part

PA i. PA'f = ÔFi - ÔÂT/ , on en conclut

— PCi -=OPf —OAi ; ou, en désignant PCt parj^? OPi par x,

Gela posé, si par le point (G, C) on mène à la circonférence 0(A, A) une tangente coupant xx' en (Q, Q')? ^^^ segments compris* entre ce point et les extrémités du diamètre (A, A') (A', A) sont

(Q, QO (A, A') =. QA/, (Q, Q') (A'. A) --.: QA'e;

leur demi-somme est OQt, leur demi-diflFérence OAi, et les antiparallèles (G,GO(A,A'), (G, G') (A', A) donnent

(^)G i --=^ Qki. QX'i — OQ i —OXî .

Mais, si l'on multiplie QGi par t, et qu'on suppose le produit rabattu suivant (Q, Q') (E, E') perpendiculaire kxx', on trouve que le lieu des points (E,E'), (E',E) est une hyperbole équilatère susceptible d'être décrite par l'un des points

Comme on a, par hypothèse,

il en résulte

et, par suite,

QCi—-QË^

ou, en remplaçant QE par j^ et OQt par x.

Celte hyperbole a donc mêmes propriétés segmentaires et métriques que la branche circulaire 0(A, A').

Or, chaque point de cette dernière branche peut, ainsi qu'on le reconnaîtra sans peine, engendrer une hyperbole identique à la précédente et satisfaisant aux mêmes conditions.

Si donc on appelle circonférence imaginaire l'ensemble de la branche circulaire O (A, A') et de ses conjuguées hyperboliques en nombre infini, on a le droit de dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette nouvelle courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne, symétrique entre deux segments droits ayant pour différence constante (A, A) (A^, A) = 2r« et qu'elle s'exprime par l'équation

Il peut arriver enfin que le segment mixte

O (A, A'):- r-\- si

ifig' 47)? tourne autour du point O comme centre. La branche circulaire que son extrémité (A, A') décrit alors est formée de deux composantes concentriques, mais d'inégale longueur.

Menons par le point O des axes rectangulaires dont l'un xx^ coïncide avec O ( A, A'), et tirons deux rayons, O (G, C) , O (D, D'), symétriques par rapport à ce dernier axe.

Les points (G, C), (D, D'), où ils coupent la branche O (A, A'), ont pour abscisse commune O (P, P') et pour or-

Fig. 47.

données respectives les segments égaux, mais de sens contraires (P, F) (G, G'), (P, P') (D, D').

D'un autre côlé, le diamètre (A, A') (Ai , A'^ ) étant mixte, il en est de même des segments (P, P') ( A, A'), (P, P') ( A, , Aj ), dont la demi-somme est O (P, P') et la demi-différence

D'ailleurs les antiparallèles

donnent

(P,F) (C,C'). (P,P) (D,D') = (P,P) (A,AO (P,P') (A„ a; ).

COURBES PLANES. t3

Donc

-iF,P)(C,G') :-0(P,P') -0(A,A') > ou, en désignant (P, P') (G, C) par^* et 0(P, P) par^,

— j2 - ^2 — (r -^ si)'.

Si, par le point (G, C'), on mène à la branche circulaire O (A, A') une tangente coupant ^^' d (Q, Q'), les segments

(Q, Q') (A, A'), (Q,Q') (A<, A;) ont pour demi-somme O (Q, Q'), pour demi-diCFérence O (A, A'), et les antiparallèles (G,C)(A,A'),(G,C')(A,, a;), donnent

Multipliant alors (Q, Q') (G, G') par i et portant le produit (Q, Q')(E, E') sur la perpendiculaire élevée en (Q, Q') à O^, on trouve que le lieu des points (E, E') est une hyperbole dont les composantes cessent d'être équilatères.

Gomme on a

on en conclut

-(Q,Q')vE,E') =0(Q,Q') -0(A,A') , ou, en désignant (Q, Q') (E,E') parj^et 0(Q, Q') par j:,

— y^z= x'- — (r -^ siy.

Gette hyperbole a donc mêmes propriétés segmentaires ou métriques que la branche circulaire O (A, A') et l'on verrait aisément que chaque point de celle-ci peut à son tour être Torigine d'une hyperbole identique à la précédente et satisfaisant aux mêmes conditions.

D'où il suit que, si l'on appelle circonférence mixte l'ensemble de la branche circulaire O ( A, A') et de ses conjuguées en nombre infini, on peut dire que cette nouvelle cir-

74 CHAPITRE ÏII. '^

conférence étant rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne symétrique entre deux segments droits différant entre eux de (A, A') (A<, Ai) = r -f- ^^ et qu'elle a pour équation

— y^-~a:^ — (r -h si)^ ou ^^-h j^=: (r-+- 5ï)-.

Le centre d'une circonférence de rayon quelconque Rpeut d'ailleurs être un point réel ou imaginaire, autre que l'origine; et, si l'on désigne par a et 6 les coordonnées rectangulaires de ce point, lesquelles sont, ainsi que R, susceptibles d'affecter l'un ou l'autre mode, Téquation de la courbe est toujours de la forme

Il est bon d'ajouter que, si les composantes des diverses branches du lieu sont tantôt superposées et tantôt disjointes, suivant que le centre est réel ou imaginaire, leur configuration n'en reste pas moins la même. On reconnaît facilement aussi qu'aucun changement d'axe ne saurait la modifier.

Avant de montrer que toutes les propriétés de la circonférence absolue s'étendent à la circonférence de mode quelconque, il convient de généraliser quelques notions élémentaires.

La distance de deux points géométriques ordinaires peut se définir le rayon de la circonférence ayant pour centre un de ces points et passant par l'autre. Cette définition s'applique également à la distance de deux points de modes quelconques.

D'après cela, tous les points de la circonférence de rayon r sont à la distance r de son centre. Si l'on prend celui-ci pour origines d'axes rectangulaires, sa distance au point quelconque {x^y) de la courbe s'exprime par r = \Jx'^ 4-^^. Or, telle est aussi la valeur du segment rectiligne compris entre

les deux points, tant qu'il est droit. Dans tout autre cas, le segment recliligne allant de Torigine au point {oc^y) est isoradié. De plus, il a constamment, comme on va le voir, le même mode que la distance de ses deux points extrêmes. D'où la possibilité de l'identifier avec cette distance et de prendre /• =: \Jx^ -\- y^ pour sa mesure qui n'était pas encore effectuée.

Soient donc O^r, Oy {fig* 48) deux axes rectangulaires

appartenant, le premier, au segment réel 0(A, A'), le second, au segment imaginaire 0(B, B^), et considérons en outre le segment rectangle O (G, C) qu'il est indifférent de rapporter à l'un ou l'autre axe.

Pour trouver la distance du point O au point (A, A), c'està-dire le rayon de la circonférence ayant pour centre le premier de ces points et passant par le second, il faut mener Aa parallèle à 0:r jusqu'à sa rencontre en a avec O^'; puis, du point a comme centre, avec Aa pour rayon, décrire un arc de cercle qui coupe Ox en a, et le rayon réel Oa est la distance cherchée ou la valeur du segment 0(A, A').

De même, si l'on tire B6 parallèle à O^ jusqu'à sa ren-

76 CHAPITRE ni.

contre en b avec Oo?, et qu'on décrive du point b comme centre avec B6 pour rayon un arc de cercle qui coupe Oy en p et p', on voit que la circonférence ayant le point O pour centre et passant par (B, B') ne saurait être qu'imaginaire et que son rayon O (3, P') = O^i mesure la distance du point O au point (B, B') ou le segment O (B, B'),

Quant à la distance du point Oau point (G,0), elle est nulle. Ce qui s'accorde avec le nom de circonférence infiniment petite donné à la conique rectangle O (G, G),

S'agit-il maintenant de trouver la distance du point O au point quelconque (M, M') {fig- 49)?

On commence par construire l'axe Oj;du segment scalène

Fig. 49-

0(M,M') et le segment isoradié 0(A, A')(M, M') qui lui correspond. Puis on détermine les distances O (A, A') (A, A') (M, M'), dont l'une est réelle, l'autre imaginaire, et la somme algébrique de ces distances partielles est la distance cherchée ou la valeur du segment isoradié 0(A, A')(M,M'). Il est bon d'ajouter que la distance 0(A, A') étant Oa = a, on peut en conclure la distance partielle (A, A') (M, M'), en prenant sur la direction OA les longueurs AM4 = AM2 = AM , puis, en menant à Aa les parallèles M< &, M2&', jusqu'à leurs rencontres en b et b' avec O^. Car

on a bien de la sorte « (6, b') = ^t pour la distance partielle (A, A') (M, M') et, par suite, a-j-^t pour la distance totale demandée.

La distance O (N,N') du point O au point (N, ]\') symétrique de (M, M) par rapport h Ox serait de même a -h g/; tandis que les distances O (M', M), 0(N', IN) seraient l'une et l'autre égales à a — P*.

On a supposé jusqu'ici que le point pris pour centre était réel. Mais il est facile de ramener le cas de deux points imaginaires au précédent, car rien n'empêche de mener par un point réel l'équipollent du segment rectiligne compris entre les points donnés.

La distance de deux points quelconques dont les coordonnées rectangulaires sont x\ y\ ^"^y" est, d'après ce qu'on vient de dire, constamment donnée par la formule

et tel est aussi la carré de la valeur du segment rectiligne allant du point (^', J') au point [x'^y").

Déduites, comme on l'a vu, de la seule considération des sécantes antiparallèles, les propriétés segmentaires et métriques de la circonférence entraînent celles du triangle rectangle de mode quelconque, pourvu qu'on regarde les côtés de celui-ci comme étant les distances mutuelles de ses sommets.

Il suffît, pour s'en convaincre, de considérer la circonférence réelle OA, par exemple {fig* 5o).

Si l'on joint au centre les points B, (G, C), (D,D') de cette circonférence, on forme avec les coordonnées de ces points trois triangles rectangles ayant, le premier, tous ses côtés réels, le second, un côté réel Oc, un côté imaginaire cCf, un côté radié O (G, C); enfin, le troisième, un côté radié 0(D, D') et deux côtés mixtes 0{d,d'), (rf, rf')(D, D').

Or, pour tous ces triangles, l'hypoténuse estOA, et Ton

a, d'après les propriétés de la circonférence.

ÔcV cC^= oK\

Quant aux circonférences imaginaires ou mixtes, elles fournissent, comme on le verrait sans peine, d'autres tri-

Fig. 5o.

angles rectangles jouissant des mêmes propriétés métriques.

Une circonférence quelconque rencontre toujours une droite réelle en deux points.

Car, si l'on abaisse du centre de la circonférence une perpendiculaire sur la droite donnée, puis qu'on détermine la moyenne symétrique entre les distances du pied de cette perpendiculaire aux deux points où elle rencontre la circonférence, et qu'enfin, de ce même pied comme centre, on rabatte en sens contraires la moyenne ainsi obtenue sur la droite donnée, il est clair que les extrémités de celle moyenne dans ses nouvelles positions sont deux points communs aux lignes proposées.

Ainsi, pour nous en tenir aux exemples les plus simples,

les intersections de la circonférence réelle OA, ou de la circonférence imaginaire O (A, A) {fig> 5i) avec la droite réelle GH, s'obtiennent en menant OC perpendiculaire à GH ; puis, en construisant la moyenne symétrique entre les droites CA,

CA', ou G (A, A'), G (A', A), et rabattant cette moyenne sur GH suivant G (M, M'), G (M', M), dans le premier cas.

Fig. 5i.

G (N,N'), et G(N',N), dans le second, ce qui donne (M, M') et (M', M), ou (N,N') et (N', N), pour les points cherchés. Si l'on tire la sécante centrale GO qui coupe en D et D' la circonférence OA, en (D,D') et (D', D) la circonférence O (A, A'), on a d'un côté

G (M, M'). G(iVl', M)=:GG-GMi ,