GO - OA , = GD.GD

80 CHAPITRE m.

et de l'autre

G(N,N').G(N',]\):=rGC -CNi ,

= GC -u CN .

z=GC -4-OG —OAi ,

et ces conclusions s'étendent à tous les autres cas. D'où il suit que deux droites réelles menées d'un même point à une circonférence de mode quelconque sont coupées par elle en parties réciproques.

C'est ce qu'on exprime encore en disant que, lorsqu'une droite réelle tourne autour d'un de ses points, considéré comme fixe, dans le plan d'une circonférence quelconque, le produit des distances de ce point à ceux où la droite rencontre la circonférence est constant. Ce produit s'appelle, comme on sait, la puissance du point fixe relativement à la circonférence donnée.

Les considérations précédentes permettent déjà de résoudre graphiquement l'équation générale du second degré à une inconnue, quel que soit le mode de ses coefficients, et même de prouver que ses deux racines ont toujours pour somme le coefficient de la première puissance de l'inconnue pris en signe contraire et, pour produit, le terme tout connu.

En effet, l'équation proposée étant ramenée à la forme

ûo- — 2aœ -^ b- :=^o

on peut d'abord en déterminer les racines de la manière suivante.

Soient O^, Oy (/ig' 52) deux axes rectangulaires d'origine O. Si l'on prend sur O^, à partir de ce dernier point, le segment droit OA = a, la circonférence décrite du point A

comme centre avec AO pour rayon s'exprime par

ou

(^7 — a)* -f-y*ir^a',

x^ — 2 ax -^ y^T^i o\

et l'on voit que, pour y = b, les racines de cette équation

Fig. 02.

ne sont autres que celles de la proposée.

Il suit de là que la construction donne :

Pour b = OB << OA, les racines réelles de même sens

x' r= BL, :r^ — BM ;

Pour b = OC Z> OA, les racines mixtes

Pour b = OBt, les racines réelles de sens contraires

x=:(B,B')(Q,Q') = BQ, j;''=:(B,B')(Q.Q',)=BQ,;

Enfin, pour b ^^ 0(C,C'), les racines mixtes

On voit encore, à l'inspection de la figure, que les racines û^'j x^\ quel qu'en soit le mode, ont constamment pour demisomme a et pour produit 6^.

Les valeurs imaginaires ou mixtes de a, combinées avec des valeurs quelconques de 6, conduisent d'ailleurs à des constructions du même genre.

Comme la conique rectangle, la circonférence comporte une infinité de diamètres réels, et deux de' ces diamètres, s'ils sont conjugués, se coupent toujours à angle droit.

Les cordes interceptées sur une droite réelle par toutes les circonférences situées dans le même plan sont évidemment conjuguées de diamètres parallèles entre eux. Lorsque la droite en question, tout en restant parallèle à elle-même, s'éloigne jusqu'à l'infini, les extrémités de ces cordes finissent par se confondre en deux points imaginaires conjugués qu'on appelle points cycliques. Les coniques rectangles du plan passent aussi par les mêmes points.

Avant de chercher les intersections de la circonférence et delà droite radiée, il convient de résoudre ce problème pour la conique rectangle.

Soient, en conséquence, la conique rectangle O et la droite radiée 0< (A., A') {fig. 53) qui ont chacune l'origine réelle et pour axe Ox.

A la seule inspection de la figure, on reconnaît déjà que ces deux lignes se coupent aux points (A, A'), (B,B'); et que leur corde commune a pour composantes les droites égales BA, B'A'. Si l'on mène à ces composantes les perpendiculaires OC, OC, celles-ci sont symétriques par rapport à Ox et leur angle COC est égal à AOiB'. Mais, dans le triangle rectangle OAB la perpendiculaire OC et la médiane

OL menées du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse font des angles égaux avec la bissectrice Ojc de cet angle. Donc, OC coïncide avec OL. De même OC coïncide avec la médiane OL^ et l'on a de plus OL = LA = 0U= L'A'. Il suit de là que les segments radiés 0(L,L'), (L,L')

(A, A') sont perpendiculaires entre eux, et qu'ils sont en outre égaux, mais de modes contraires.

Or, quand la radiée 0< se meut parallèlement à elle-même sans que son origine réelle cesse d'être sur Ox^ la radiée 0(L,L') passe évidemment par les milieux des cordes correspondantes. C'est donc un diamètre conjugué de ces cordes ; et Ton verrait de même que la parallèle menée par l'origine O àla radiée Oi est le diamètre conjugué des cordes parallèles à 0( LU).

De là la possibilité de rapporter la conique rectangle à ces diamètres conjugués d'un nouveau genre; et, comme les segments 0(L,L'), (L,L') (A, A') sont évidemment proportionnels aux distances de leur origine à leur extrémité," si

l'on désigne la première de ces distances par Xy la seconde par y^ on en conclut pour la conique rectangle la même équation x^ -|-^2 -- q que si les axes étaient réels.

Il est facile de voir en outre que le produit des distances 04(A,A'), 04(B,B') est constant.

En effet, les distances 0^(L,L'), (L,L'j (A, A') sont respectivement la demi-somme et la demi-différence des proposées. D'où

=z0t(L,L')4- 0(L,LO .

Mais si Ton tire LL' qui coupe Ox en P, il vient

Oi(L,L') ;r=0,P -PL