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A ^ if'

et de porter cette tangente d'abord suivant LB, LC, puis suivant UB', L'C, pour obtenir les points de rencontre (B, B'), (G, C) de la radiée 0< avec la circonférence proposée.

Comme on a, d'après cette construction, LB = OL — 0A|,

— î — 2 — 2 ou — Lbt = OL — 0A^ , on en conclut immédiatement pour

les distances 0(L,L'), (L, U) (B, B'), 0(A|,A;), la relation

-(L,L')iB,B')'zrrO(L,L')-0(A„A;)'.

Si donc on prend pour axes de coordonnées 0(L, L') et la parallèle à la radiée 0< menée par l'origine O, puis qu'on

désigne les distances O (L, L') par x^ (L, L') (B, B') par j^, en observant de plus que la distance O (Ai , A', ) est précisément égale à OA = r, on trouve encore pour la circonférence OA la même équation x^ -{-y^ ^= r^ que si les axes de coordonnées étaient réels, et l'on reconnaîtrait, comme plus haut, que le produit Oi (B, B').0< (G, C) est constant.

Enfin, comme les segments radiés O (L, U\ O^ (L, L') {fie' ^4 ) sont perpendiculaires entre eux , les triangles 0(L,U)Oo 0(L,L')(B,B;, 0(L,Uj(C,C) sont rectangles en leur sommet commun (L, U), et l'on conclut de leurs propriétés métriques que, dans chacun d'eux, le carré de l'hypoténuse est encore égal à la somme de carrés des deux autres côtés.

Il resterait à étendre les considérations précédentes au cas d'une radiée et d'une circonférence quelconque. Mais l'analyse dispense d'entrer dans de longs détails à ce sujet.

En effet, soit^ = mix l'équation d'une radiée passant par l'origine d'un système d'axes rectangulaires, et

{x — ay -^ {y — by —.-R^

celle d'une circonférence quelconque située dans le plan des axes. Ces lignes se coupent toujours en deux points dont les abscisses x\ x'^ sont racines de l'équation

{x — a)2+ {mix — by — R' ou

( I — m^) a?2 — 2 (a -h bmi) x -+- a* -f- ^' — R* = o,

et dont les ordonnées correspondantes sont y'^=mix\ y= mix!\

Si, de plus, on désigne par 8', 3'' les distances de l'origine aux points d'intersection cherchés, on a

8' = v/^'^-f-j'^ == x' v/i — m\ V— sjx"-'^y^ — x" s/i — rn}

et,

par

suite,

près ce

qu'

on a dit

plus haut,

Donc

En d'autres termes, ce produit est constant.

La circonférence comporte également des tangentes radiées qui ne laissent pas de fournir de nouveaux moyens de généralisation.

On sait, par exemple, que les intersections de la circon-

Fig. 55.

férence OA{/ig. 55) et d'une droite réelle passant par un point fixe B situé dans son plan, étant les points G et D si Ton mène par ces points des tangentes à la circonférence jusqu'à leur rencontre en E, le lieu des points E est la per-

pendiculaire EF à la droite OB, et que, réciproquement, si le point E se meut sur EF, les cordes de contacts correspondantes passent toutes par le point B. D'où les noms àe pôle et de polaire donnés à ce point et à la droite EF, relativement à la circonférence OA.

Or, à ne considérer que les tangentes réelles, la polaire en question ne comprend pas la corde GH ; mais, dès qu'on tient compte des tangentes radiées, l'anomalie disparaît.

En effet, par le point B, menons une droite quelconque BI qui ne rencontre pas la branche réelle de la circonférence ; du centre de celle-ci abaissons sur BI la perpendiculaire OK qui rencontre EF en L; puis, déterminons les points d'intersection (M, M'), (M', M) de la droite BI avec la circonférence donnée et tirons LM, LM'.

On a, par hypothèse, OB.OF= OA . Mais les antiparallèles FL,RB donnent OB.OF= OL.OK = ÔA .Par suite, les droites LM, LM' sont tangentes à l'hyperbole MM'. Donc,

les radiées L( M, M'). L(M', M), sont également tangentes à cette hyperbole considérée comme branche imaginaire de la circonférence OA, elle point L où elles se coupent appartient à la polaire EF.

Au surplus, qu'elles soient radiées ou réelles, les tangentes à la circonférence jouissent toutes des mêmes propriétés.

Ainsi, pour n'en citer qu'un exemple très simple, soit 0(A, A') {fig- 56) une circonférence imaginaire. Si, d'un point quelconque M, pris sur la direction de OA, on mène une tangente radiée M(N, N') à cette courbe, le point de contact (N, N') appartient à la conjuguée (B, B') dont Taxe est perpendiculaire à 0(A,A'), et la corde de contact ou polaire correspondante est la droite réelle NN', perpendiculaire à la direction OA.

Or, les droites ON, MN, d'une part, ON', MN', de l'autre, formant avec cette même direction des angles complémen-

taires, on voit d'abord que la tangente M(N,N') est perpendiculaire au rayon de contact 0(N,N'). De plus, la simili-

tude des triangles MPN, OPN donne PN'= MP. OP, et par

conséquent — PNi = MP. OP. D'où il suit que la circon-

Fig. 56.

férence décrite sur MO comme diamètre passe par (N,N'). D'un autre côté, la distance M(N,N') est donnée par la formule

M(iN,JN ) z=i MP — PN -- MP — PB ,

puisque PN = PB. Mais, à cause de Pb'= MP.OP, le triangle MPB est rectangle, et Ton a

MP — PB — MB — MO h OA — MO — OAi

= M(A,A').M(A',A).- Donc enfin

M(iN,N') :r-^M(A,A').M(A',A);

c'est-à-dire que la tangente M(N,N') est moyenne proportionnelle entre les sécantes M (A, A'), M(A',A), menées par le point M à la circonférence.

Deux circonférences réelles, imaginaires ou mixtes se coupent toujours en quatre points, dont la construction se

ff(> CHAPITKE III.

ramène à la recherche, sar la ligne des centres, d^un point d'égale puissance par rapport aux deux circonférences données.

En effet, soient r et r les rayons de ces courbes ; d la distance de leurs centres; x celle de l'un d'eux au point cherché. L'équation qui détermine x est

X* — r» — [x — dy — r'».

D'où il suit que deux points de la ligne des centres répondent à la question. Comme l'équation ainsi obtenue s'abaisse au premier degré et devient 2dx = rf- — r^ -- r'^, on voit de plus qu'un des points cherchés appartient à la droite de l'infini et que l'autre, donné par la formule

se construit sans peine.

Or, si, par ce dernier point, on mène une perpendiculaire à la ligne des centres, puis qu'on détermine les intersections de cette perpendiculaire avec une des circonférences données, ces intersections constituent déjà deux solutions du problème et les points cycliques en sont les deux autres.

La sécante commune dont on vient de parler est réelle ou radiée en même temps que la ligne des centres. Elle jouit de cette propriété que ses points sont tous d'égale puissance par rapport aux circonférences données et se nomme Vaxe radical de celles-ci.

Lorsque trois circonférences se coupent dans un plan, leurs axes radicaux concourent en un même point. Ce point nommé centre radical fournit un nouveau moyen de résoudre le problème qui nous occupe.

S'agit-il, par exemple, des circonférences OA, 0'(B,B ; {fie' ^7)î l'"^c réelle, l'autre imaginaire?

Par les extrémités (C,C'), (C',C) d'un diamètre de la

seconde on fait passer une circonférence réelle qui coupe la première aux points D, E, et Tintersection H des cordes DE, (C,C) (C',C) est un point de l'axe. radical cherché.

Fig. 57.

De même, étant données la circonférence réelle OA et la circonférence mixte 0'(B,B') {fig* 58), par deux points (C5C ) (D,D') de la seconde on fait passer une circonférence réelle qui coupe la première en E, F, et les cordes communes EF, (CjC) (D,D') donnent par leur intersection le centre radical (H, H), d'où résulte la solution demandée.

Une circonférence quelconque et la conique rectangle formée par ses asymptotes, ou deux circonférences concentriques n'ont pas d'autre point commun qu'un double contact sur la droite de l'infini.

Enfin, si l'on nomme yb^er d'une courbe plane le centre d'une conique rectangle, ayant avec elle un double contact, on en conclut que la circonférence a pour foyer son centre même.

Considérée comme faisant partie de la circonférence, rh>-

perbole équilalère n'y joue qu'un rôle secondaire, celui de conjuguée. Mais elle peut à son tour devenir la première branche d'un lieu géométrique portant le même nom qu'elle.

Fig. 58.

Soient, pour le faire voir, xx^ ^ yy^ {fig* Sq) deux axes rectangulaires ; O leur origine ; OA r=r r le demi-axe transverse ou rayon d'une hyperbole équilatère AA'.

La corde BB' de cette courbe perpendiculaire en son milieu P à l'axe xx' donne

PB — PB' z= PA, PA.

Comme les segments PA, PA' ont pour demi-somme OP et pour demi-différence OA, on en conclut

PB 1= PB' =r OP - OA ;

c'est-à-dire, en désignant OP par x et PB par^,

Cela posé, si Ton admet que le point générateur A devenant imaginaire décrive la circonférence AA', de telle sorte que ses composantes restent symétriques par rapport à xx' ^

Fi g. 59.

on voit que les points conjugués (C,C), (C',C) de cette nouvelle branche ont pour abscisse commune OQ et pour ordonnées respectives

Mais on a, d'une part,

QCt - qGi rzr. - QC ^ QA. QA,

d'autre part,