RE= -OR — OA

ou

REizin ORi — OA; c'est-à-dire, en désignant REe par y et OKi par x,

Il est encore une infinité d'autres branches jouissant des mêmes propriétés que les précédentes. Ce sont autant d'ellipses ayant chacune avec les deux hyperboles un système de diamètres conjugués commun.

Considérons, en effet, les demi-diamètres conjugués OB, Op de l'hyperbole OA.

On sait que ces deux diamètres sont égaux, au mode près, qu'ils font, avec OA, des angles complémentaires, et que l'angle BOA étant désigné par a, on a

y/cos 2 a V ces 2 a

Cela posé, prolongeons OB jusqu'à sa rencontre en É| avec la branche A'B< ; puis, sur BB< comme diamètre, décrivons une circonférence de même nature que O AD. L'abscisse d'un point quelconque (y, y') ^^ cette circonférence étant OS et l'ordonnée correspondante Sy^? ces deux coordonnées satisfont à la relation

Syî^OS

OA

ces 2 a

Si l'on rabat Syi suivant SGi sur la parallèle SG à Op, on a donc aussi

SGi-rzOS-

OA

ces 2 a

Mais, les coordonnées du point (G, G') par rapport aux axes xx'.yf étant 0(Q,Q^), (Q,Q') (G,G^), on trouve aisément

co (Q,Q')r G, GMcosûc-0(Q,0')sina

oljr = )

ces 2 a

^g 0(Q,Q^)cosa — fQ,Q ) (G,G)sina ,

ces 2 a '

et la substitution de ces valeurs dans l'équation précédente donne

(Q,Q')(G,G')-OiQ,Q0-OA, ou, en désignant (Q,Q') (G, G') parj^ et 0(Q,Q') para:.

Si donc on nomme hyperbole équilatère réelle l'ensemble de la branche hyperbolique OA et de ses conjugués en nombre injGni, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, cette courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits ayant pour différence constante A A' = 2r, et qu'elle a pour équation

ou