X- — y^zir-r

Lorsque le rayon OA devient nul, l'hyperbole équilatère se réduit au système de deux droites réelles, qui sont les bissec-

Fig. 60.

trices des angles formés par les axes, et ce système a pour équation

Si ce rayon OA devient imaginaire et se transforme en 0(A,A') = ri{fig.&o)^ on voit de même que le point (A, A') peut engendrer d'abord une hyperbole équilatère (A, A')

(B,B') dont les points ont leurs composantes symétriques par rapport à l'origine O; puis une circonférence (A, A') (CjC) dont les points ont leurs composa'ntes symétriques par rapport à l'axe yy' ] puis une .hyperbole réelle OD; puis, enfin, une infinité d'ellipses ayant, comme la branche circulaire, un système de diamètres conjugués commun avec les branches hyperboliques.

L'ensemble de la branche imaginaire (A, A') (B,B') et de ses conjuguées en nombre infini constitue donc une courbe qui, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, peut se définir le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits différant entre eux de (A, A') (A', A) = iri.

Mais, bien qu'elle ait une conjuguée réelle, cette nouvelle courbe est imaginaire comme sa première branche. Elle a d'ailleurs pour équation

y^ -m: x^ H- r- ou x^ — J* ^= — ^^'

Il peut arriver enfin que le rayon de l'hyperbole équilatère soit un segment mixte, tel que 0(A, A') ^=.r -\-si {fig- 6i).

Si, prenant pour centre l'origine O de deux axes rectangulaires ^ a;', ^j^', on décrit la circonférence 0(A, A'), puis que par le point quelconque (B,B') de cette courbe on lui mène une tangente coupant xx' en (P,?') et qu'on rabatte (P,F;(B,B') suivant (P,P') (C,C') perpendiculaire à xx', le lieu des points (C,C') est une hyperbole formée de deux branches équilatères, et la construction donne

(P,PnG,G')^(P,P')(A,AO.(P,PO(A„A;).

Comme le diamètre (A, A') (A,, Ai) est mixte, il en est de même des segments (P,F)(A,A'), (P,F) (A,,A',), dont la demi-somme est 0(P,F) et la demi-différence 0(A, A'). On a donc aussi

OU, en désignant (P,F) (G,C') par j^ et O (P,P ) par x,

y^zi^x^ — {^r-^- si)'.

Soient actuellement 0(Q,Q') l'abscisse, (Q,Q')(B,B')

Fig. 6i.

Tordonnée du point quelconque (B,B') de la circonférence 0(A,A'), on a, par construction

ou, puisque les deux segments du diamètre ont pour demisomme O (Q)Q') et pour demi-difTérence 0(A, A'),

Mais, si l'on multiplie (Q,Q')(B,B') par i, ce qui donne (Q,Q')(D,D'), il vient

-(Q.QHB,B') = (Q,Q')(D,D)

et, par suite,

CQ,Q'j(D,D)z30(Q,Q'j-0(A,A') , ou, en désignant (Q,Q'; (D,D') parjK et 0(Q,Q') par^,

yi ..-- jA ( ,. | 5 /) \

En continuant de la sorte on assujettirait aux mêmes con~ ditions d'abord une branche h^^perbolique conjuguée de la proposée, puis une infinité d'ellipses ayant avec ces dernières un système de diamètres conjugués commun.

D'où il suit que, si l'on nomme hyperbole équilatère mixte l'ensemble de toutes ces branches, on peut dire que, rapportée à deux axes rectangulaires convenablement choisis, la nouvelle courbe est le lieu des points dont l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre deux segments droits différant constamment entre eux de (A, A') (A|, A'i) = 2(r-h5i), et qu'elle a pour équation

y':zix-—{r-\-siY ou x^ — y'z=^{r-\-siY,

La différence constante dont on vient de parler se nomme dans tous les cas Xaxe transverse ou plus simplement l'axe de l'hyperbole équilatère. Cet axe a pour milieu le centre et pour moitié le rayon de la courbe. Son diamètre conjugué s'appelle \axe imaginaire de cette courbe.

Lorsqu'on fait tourner chacun des axes de coordonnées de l'angle — a autour de l'origine, l'hyperbole équilatère de rayon quelconque R a pour équation

X' -\- 1 xv tane2a — r* = •

•^ ° '^ cos2a

Dans le cas particulier où les nouveaux axes sont les asymptotes delà courbe, cette équation se réduit à

lOO . CHAPITRE III.

Rapportée à deux diamètres conjugués dont le premier s'incline de l'angle a sur l'axe Iransverse, l'hyperbole équilatère se traduit encore en nombres par l'équation

ces 2 a

Enfin, lorsque le centre de cette courbe, au lieu d'être Tôrigine, est un point quelconque du plan des axes, il suffit d'exprimer cette particularité dans les équations précédentes pour les rendre générales.

D'après tout ce qu'on vient de dire, l'hyperbole équilatère n'est, à proprement parler, qu'une transformée de la circonférence concentrique de même rayon. Car, cette dernière courbe étant rapportée à deux diamètres rectangulaires, il suffit d'en multiplier l'ordonnée par i pour obtenir l'autre.

Comme il importe de se familiariser, au moins dans les cas les plus simples, avec les transformations de ce genre, soit OA {fig» 62) une circonférence réelle rapportée à deux diamètres rectangulaires.

Lorsqu'on multiplie par i l'ordonnée de cette courbe, il est clair que la branche réelle AB et la branche imaginaire A(G, G') se transforment en d'autres branches, l'une imaginaire A(B, B'), l'autre réelle AC. Mais que devient la branche B(D, D'), par exemple? Pour répondre à cette question, multiplions par i l'ordonnée (P, P') (D, D'), ce qui donne

PDj zr P D' et P'D; ^- PDj z= - PD

pour composantes respectives du produit. Le point (D, D') se transforme par suite en (D<, Dl).

Afin de nous assurer que (D<, Dl) fait bien partie de l'hyperbole OA, menons les diagonales du rectangle D| D'Dl Dj, lesquelles se coupent en leur milieu E, et tirons OE jusqu'à sa rencontre en G avec la branche réelle AG'.

La droite EF, qui joint le milieu de deux côtés du triangle

loi

D'DD2, est parallèle au troisième côté D2 D et coupée en son milieu I par la médiane D'P du triangle. Le point I est aussi le milieu de D'P. De plus, la perpendiculaire élevée en I à EF divise OD' en deux parties égales. D'où il suit que la

Fig." 62.

circonférence circonscrite au triangle rectangle OFD' passe par le point E. Il en résulte que OED' est un triangle rectangle, que OD'F=OEF comme inscrits dans le même segment et qu'on a par suite D'OF = GOA.

Or, celle dernière égalité montre que OG = OD' ou que la circonférence décrite de O comme centre avec OD pour rayon passe par les points G et D2* D'ailleurs ED' := ED4

et l'angle EHA' = E A'H est complémentaire de EOA. Donc, enfin, (D<,Dj) est bien un point de l'hyperbole OA.

Observons de plus que l'angle GOD' étant égal à l'angle AOB, les secteurs circulaires GOD', AOB sont entre eux comme les carrés de leurs rayons. Mais, si l'on désigne l'angle GOA par a, on sait que

OA =: OG cosaa.

Donc,

AOB ™GOD'cos2a.

D'un autre côté, les triangles EOD|, EOD', sont tels que

EODi = EOD'sinOEH — EOD'cos2a,

et l'on verrait sans peine que les demi-segments EGD|, EGD', l'un elliptique, l'autre circulaire, sont dans le même rapport. D'où l'on conclut GODi = GOD' cos2a et par suite GOD^ = AOB, relation bonne à retenir ainsi que l'égalité des angles EOD', AOB.

Lorsqu'on multiplie par «l'ordonnée d'un point quelconque

Fig. 63.

du plan des axes, la distance de l'origine du système à ce point se transforme en un rayon hyperbolique de même valeur.

C'est ainsi qu'aux distances OA, 0(B,B'), OC(D, D') {fig* 63 , 64; 65 ) répondent les rayons hyperboliques O ( A, A') ,

COURBES PLANES. Io3

0(B<,B'), 0(G, C) (D|, Dj), qui leur sont respectivement égaax.

Dans ces transformations, l'hyperbole équilatère dont on

Fig. 64.

se donne un point et le centre n'est complètement déterminée que parce qu'elle a pour axe celui des abscisses.

On peut appeler distance hyperbolique de deux points quelconque le rayon parallèle à une direction fixe de l'hyper-

Fig. 65.

bole équilatère ayant pour centre l'un de ces points et passant par l'autre. La valeur numérique de cette distance s'appelle module et se désigne par p.

Lorsque la direction donnée est celle de l'axe des abscisses, la distance hyperbolique de deux points ayant pour coordonnées rectangulaires ^',^^'5^'', y s'exprime par la formule

io4

Les coordonnées d'un point quelconque' de l'hyperbole équilatère forment une brisée rectangle qui peut être réelle,imaginaire ou mixte. Le segment rectiligne mené du centre de la courbe à ce point prend le nom de vectrice.

La \ectrice équivaut, dans tous les cas, à la somme des parties de la brisée correspondante.

Quoique plus générale que la conception des quantités géométriques, celle des vectrices s'y rattache par certains côtés.

Soit OA le rayon d'une hyperbole équilatère rapportée à ses axes {fig* 66).

Tout point (B, B ) de la branche circulaire conjuguée de

Fi g. 66.

cette courbe a pour abscisse un segment réel OP, pour ordonnée un segment imaginaire P(B, B; = PBt et pour distance hyperbolique à l'origine, ou module,

Vop

OP ~ PBi

OP -h PB.

De plus,

0(B,B') =iOP-t- PB/.

Or, en remplaçant vectrice et brisée par leurs premières

CQURB-ES PLANES. Io5

composantes, on retombe sur la quantité géométrique OB, somme des droites de modes contraires OP et PB«.

Si ridée de porter les valeurs imaginaires dans une direction perpendiculaire à celle de ses valeurs réelles semble appartenir à Wallis, ce fut, comme on sait, Abraham de Moivre qui reconnut le premier qu'aux multiples successifs de l'angle AOB correspondent les puissances de même degré de la brisée OP-f-PB« : et cette relation, qui tient à la nature de l'hyperbole équilatère, contribua, certes, plus que l'étroite cou'^eption de Wallis, au succès de la doctrine des quantités géométriques développée plus tard par Robert Argand.

Je ferai voir ailleurs que, malgré leur extrême généralité, les vectrices de mode quelconque jouissent, dans un plan comme dans l'espace, des mêmes propriétés que ces dernières grandeurs.

Qu'on la rapporte à deux diamètres conjugués dont l'un s'incline de l'angle a sur son axé, et l'hyperbole équilatère a, comme on sait, pour équation

-fi — ^__

cos2a

Parle changement de mode de son ordonnée, cette courbe se transforme alors en une ellipse rapportée à ses diamètres égaux, et les axes 2 a, 26 de la nouvelle courbe sont dirigés suivant les bissectrices des angles formés par les diamètres.

Rapportée à ses axes, l'ellipse a pour équation

et, dès qu'on change le mode de son ordonnée, cette courbe se convertit en une hyperbole quelconque ayant pour axes 2 a, 261, et pour équation

loC) CHAPITRE III.

Or, l'équation de la nouvelle courbe, par rapport à ses asymptotes, est

On n'a donc plus qu'à remplacer, dans cette dernière équation, b par a, pour revenir à l'hyperbole équilatère et, par suite, à la circonférence.

Observons d'ailleurs que, dans l'équation de l'ellipse rapportée à ses axes, les paramètres a et b peuvent être simultanément réels, imaginaires ou mixtes : que cette équation représente l'hyperbole quelconque, la circonférence ou l'hyperbole équilatère, suivant qu'on y remplace b par èf, par a ou par aij et que rien n'empêche de regarder comme la première branche de chaque lieu celle qui répond à des valeurs de x, de même espèce que celles de a.

On verrait aisément du reste qu'on arrive à des résultats analogues, en passant de la circonférence à l'hyperbole équilatère, puis en projetant les deux courbes sur des plans passant par un de leurs axes.

Si la circonférence n'admet qu'un seul foyer, l'ellipse et l'hyperbole équilatère ou quelconque en ont toujours quatre situés sur leurs axes et qui sont tantôt réels, tantôt imaginaires.

Considérons, pour le faire voir, l'hyperbole équilatère réelle OA (fig. 67) rapportée à ses axes.

Si l'on circonscrit à la circonférence absolue OA le carré F G F' G', ayant ses sommets sur les axes et touchant cette courbe aux points L, Lj, L'j, L', on peut évidemment concevoir quatre coniques rectangles imaginaires tangentes à l'hyperbole proposée : la première aux points (L, U),(U, L); la seconde aux points (L, L'), (L|,Li); la troisième aux points (L|, L'i), (L'i, L^) et la quatrième aux points (U, L),

En effet, la première de ces coniques est formée des droites

rectangles F(L,L'),F(L',L); la seconde, des droites F(L,L'),

F^'Li , L'i ), qui se coupent en ( G, G') ; la troisième, des droites F (L« , L; ), F' (L;, L, ), et la quatrième, des droites F (L', L), F'(L'i,L|), qui se coupent en (G', G).

Les centres F, (G, G'), F, (G', G) de ces coniques rec-

Fig. 67.

tangles sont donc bien les foyers de l'hyperbole équilatère en question, et cette courbe n'en comporte évidemment pas d'autres. Les polaires ou directrices correspondant à ces foyers sont d'ailleurs la droite LL', la disjointe (L,L') (Lu , Lj), la droite L|L', et la disjointe (L'L) (L'j, L|).

Les distances des foyers au centre ont pour valeurs respectives

OF = OFzzr 0Av^2, 0(G, &) = 0(G',G) =: OB^VI.

Elles sont du reste égales, les unes au module les autres au module

p'^VOBi- OA .

Soit maintenant M un point quelconque de l'hyperbole proposée. Les coordonnées de ce point étant œ = OP, y = PM, on trouve aisément pour ses distances aux foyers F, F'

FM -rz OP \/2 — OA, F M ii:: OP v/2 H- OA,

et, par suite,