FM-FM = 20A

Décrivant alors de F' comme centre, avec 2 OA pour rayon, une circonférence qui coupe FF' en Q et F' M en R, il vient

F'Q = 2 OA ( — I -+- v/2 ), RM z^ FM.

Supposons maintenant que le centre O et le foyer F' s'éloignent de A jusqu'à l'infini, sans^ que la distance FQ varie; la circonférence F'Q se transforme aussitôt en une droite QR|, perpendiculaire à QF, et la branche hyperbolique AM est une courbe de même mode AM, , telle que M| R, parallèle à QF reste égale à FMj c'est-à-dire en une parabole ayant pour axe QF, pour sommet A, pour foyer F et pour directrice QR. On verrait de même que les conjuguées tangentes à l'hyperbole OA se convertissent en paraboles imaginaires ayant, avec la précédente, un système de diamètres conjugués commun. C'est à l'ensemble de ces nouvelles branches que nous donnerons le nom àe parabole réelle.

Il suffit d'-ailleurs de poser 0A(— 1 + ^/2^=/?, puis de traduire en nombres la transformation dont on vient de parler pour conclure de l'équation de l'hyperbole équilatère celle de la parabole réelle, y^ =r ^px.

COURBES PLANES. lOg

En procédant de même à Tégard des foyers F^, (G, G'), (G', G), on trouve une autre parabole réelle et deux paraboles imaginaires exprimées, la première par ^^ - — ^^^ qi jgg deux antres par x'^ ^=^ ± ip'y* où Ton suppose

/?'— OBi(— i-t-v/2J.

Quand l'hyperbole OA devient imaginaire, ses foyers changent de mode ainsi que les paraboles correspondantes; et, quand elle est mixte, elle se transforme en paraboles mixtes comme elle, tous ses foyers étant alors imaginaires.

En résumé, Thyperbole équilatère, l'ellipse, Thyperbole quelconque et la parabole ne sont que des transformées plus ou moins immédiates de la circonférence.

D'après leur constitution même, les coniques coupent toujours l'axe des abscisses en deux points réels ou imaginaires, qui peuvent s'éloigner jusqu'à l'infini et le produit des distances de ces points à l'extrémité d'une abscisse quelconque est au produit des ordonnées répondant à cette abscisse dans un rapport constant. D'où il suit que chacune de ces courbes s'exprime par une équation du second degré à deux variables.

Réciproquement, le lieu de l'équation

Ax' -h- Bxy -t- Gy^ -h T>x 4- E/ -h F = o

dont les coefficients sont réels, imaginaires ou mixtes, ne saurait être, dans le système de coordonnées rectangulaires, qu'une des coniques étudiées plus haut.

Comme cette réciproque fait partie du théorème de Newton, dont elle n'est qu'un cas particulier, il est plus simple de démontrer immédiatement ce théorème d'une manière générale.

Soit donc

Aa?'« -H B^'«-^/ -h ... -h E/'" -h . . . Ga?"-+- H/ + K 1= 0, l'équation d'une courbe plane de degré m.

JIO CHAPITRE III.

Si l'on suppose j' = o, l'équation résultante

(i) kx'" , . . -h G^ -hK = o

a pour racines les abscisses des points où la courbe proposée coupe l'axe des x et le produit de ces abscisses est

En supposant de même a: = o, dans l'équation primitive, on obtient la nouvelle équation

(2) Er'«. . . -+- Hj 4- K = o,

dont les racines représentent les ordonnées des points où la courbe en question coupe l'axe des y et le produit de ces ordonnées est

Divisant membre à membre les équations précédentes, il vient

Mais quand les axes de coordonnées se déplacent parallèlement à eux-mêmes, ou qu'on remplace dans l'équation proposée x par a-^ x\ y par b -f- y'^ les valeurs des coefficients A et E ne sauraient varier. Donc :

Si, dans le plan d'une courbe algébrique, on mène deux parallèles aux axes de coordonnées, le produit des segments déterminés par la courbe sur l'une d'elles à partir de leur commune intersection est au produit des segments déterminés sur l'autre dans un rapport constant.

Cette démonstration, telle qu'on la donne habituellement, suppose que les intersections de la courbe proposée, soit avec les parallèles en question, soit avec les axes eux-mêmes.

sont toutes réelles. Mais la considération des points et des segments rectilignes de modes contraires ne laisse subsister aucune restriction à cet égard. De plus, la conclusion précédente s'étend même au cas de parallèles disjointes. Car, dans ces formules x^=a-\-x\y=b -hy\ les constantes a et 6 peuvent indifféremment prendre des valeurs réelles, imaginaires ou mixtes. La généralité du théorème de Newton se trouve donc ainsi parfaitement établie.

En appliquant ce théorème au système formé de l'axe des abscisses et d'une parallèle à l'axe des ordonnées, on en conclut immédiatement qu'une courbe de degré m coupant l'axe des abscisses en m points, le produit des distances de ces points à l'extrémité d'une abscisse quelconque est au produit des ordonnées répondant à cette abscisse dans un rapport constant. De là, pour m = 2, la réciproque qu'il s'agissait de démontrer.

Dans quelle mesure le théorème de Newton servirait-il à définir les courbes de degré /n, puis, à les regarder, d'après leurs modes respectifs, comme faisant partie de courbes plus générales, c'est une question qu'on peut se dispenser d'aborder ici, puisque l'extension donnée au système de Descaries permettra toujours de construire le lieu complet de chacune des équations fournies par ces courbes. Je n'ai donc plus qu'une remarque à faire.

Lorsque, pour trouver le lieu d'une équation algébrique fi^yy) ^^ ^y ^^ donne à x des valeurs de la forme a -+- bi, en laissant a et 6 parfaitement arbitraires, on obtient pêlemêle tous les points cherchés. Mais, dès qu'on établit une relation quelconque entre a et 6, ces points se classent en une infinité de branches conjuguées de l'une d'elles. Dans certains cas, il suffit de supposer nul tantôt 6, tantôt a, pour en conclure la première branche et l'une de ses conjuguées. Dans d'autres cas, ces mêmes branches répondent à des valeurs de x multiples d'un binôme constant a-j-^ï. Les

changements d'axes permettent ensuite de trouver les autres conjuguées du lieu. On peut aussi chercher les intersections de ce dernier soit avec une droite réelle se déplaçant parallèlement à elle-même, soit avec une droite quelconque tournant autour de l'origine. L'essentiel est de ne jamais assigner à la variable indépendante une série de valeurs capable de modifier le classement des points du lieu que l'on étudie.

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. Il3

Pour être vraiment générale, la conception des deux manières d'être opposées que je désigne sous le nom de modes contraires doit s'étendre sans peine à tous les éléments des figures.

Aussi convient-il de montrer qu'elle ne s'applique pas moins bien aux surfaces planes et aux angles qu'aux points et aux lignes.

Ce sera de plus une occasion de mettre en relief les propriétés de quelques fonctions transcendantes.

Soient xx' ^ yy {fig* 68) deux axes rectangulaires; O, leur origine.

Prenons sur ces axes les longueurs OA =^ OA', OB 3= OB'; puis, achevons les rectangles OM, OM', OM", 0]W\ ayant chacun deux de ces longueurs pour dimensions.

Ce ne sont là que des rectangles absolus, tels que les considère l'Analyse ancienne. Mais il est facile de leur en substituer d'autres susceptibles d'offrir deux sens ou deux modes contraires.

Admettons, en effet, que les droites OA, OB soient réelles et positives.

Lorsque la droite OB se déplace parallèlement à ellemême, dételle sorte que son pied parcourre OA, ses composantes décrivent deux nappes rectangulaires égales et super-

posées dont les composantes de OA sont les bases. Le système de ces nappes est un rectangle réel-positif que nous désignerons par OM.

Si l'on multiplie OA par i et qu'on prenne pour base le produit 0(A,A') — OAî, rien n'empêche d'admettre que les composantes de OB, tout en restant parallèles à ellesmêmes, se séparent de telle sorte que le pied de l'une par-

Fig.

ri —

B' Su*"

courre OA, celui *de l'autre OA', et qu'elles décrivent ainsi deux nappes égales, mais opposées, dont la première réponde à OA. Le système de ces nappes est le rectangle 0(M,M').

La multiplication de 0(A.,A') par i conduit ensuite à la droite réelle-négative OA', qui devient la base d'un nouveau rectangle OM' engendré par OB. Les nappes de ce rectangle sont égales et superposées comme celles de OM; mais elles présentent avec celles-ci la même opposition de sens que les droites OA, OA'.

Enfin, si l'on multiplie OA' par i, ce qui donne la droite imaginaire-négative 0( A',A) = OA'if, le rectangle 0(M',M) ayant cette droite pour base et pour hauteur OB se compose de deux nappes opposées comme celles de 0(M,M'), mais dont la première répond à OA'.

Quant au produit de 0(A', A) par i, comme il n'est autre que OA, il nous ramène au rectangle OM.

D'après ce qu'on vient de voir, les rectangles de même hauteur OM, 0(M,M'\ OM', 0(M',M) ont leurs nappes

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. Ïl5

proportionnelles aux composantes de leur base et constamment disposées comme ces dernières. Il est donc rationnel d'assigner à chaque rectangle le mode et le sens de sa base. De là, par conséquent, des rectangles réels ou imaginaires pouvant en outre être positifs ou négatifs.

Mais, si l'on prend pour unité la surface du carré construit sur Tunilé linéaire, réelle-positive, l'aire du rectangle OM est le produit OA.OB de sa base par sa hauteur ou plutôt des nombres qui les expriment.

Donc, les aires des rectangles 0(M,M'), OM', 0(M',M) sont respectivement OAi.OB, OA'.OB, OA't.OB.

Revenons maintenant au rectangle OM et multiplions-en la hauteur par i, La droite imaginaire positive O (B, B') ^= OBt, qui résulte de cette opération, peut évidemment se déplacer parallèlement à elle-même, de telle sorte que son pied parcourre OA. Elle engendre ainsi le rectangle 0(M,M'^') formé de deux nappes égales, mais opposées, dont la première répond à OB.

La multiplication de 0(B,B'j par i produit ensuite la droite réelle-négative OB', génératrice du rectangle OM''', qui se compose de deux nappes égales et superposées de sens contraires à celles de OM.

Enfin, la hauteur 0(B',B) = 0B7 résultant de la multiplication de OB' par i donne à son tour naissance au rectangle 0(M''',M), formé de deux nappes égales, mais opposées, dont la première répond à OB'.

Après quoi, la multiplication de 0(B', B) par jf nous ramène à la hauteur OB et, par suite, au rectangle OM.

Si Ton observe encore ici que les rectangles de même base OM, O(M,M'0; OM''"', O(M'^M), sont entre eux comme leurs hauteurs sous le triple rapport de la valeur absolue, du mode et du sens, on arrive à cette conclusion que les aires des trois derniers sont respectivement OA.OBt, OA.OB', OA.OB'i.

Ji6 CHAPITRE IV.

Multiplions actuellement par i la base et la hauteur du rectangle OM, ce qui donne les droites imaginaires OAt, 0B«, on peut admettre que les composantes de la seconde se déplacent parallèlement à elles-mêmes, de telle sorte que le pied de l'une parcourre OA et celui de l'autre OA'. Elles engendrent alors deux nappes rectangulaires symétriques par rapport à l'origine O. Le système de ces nappes, dont la première répond aux composantes OA, OB, forme le rectangle 0(M,M").

Les rectangles 0(M,M"), 0(M,M'}, ayant même base OAî, il vient d'abord

0(M,M ^O OBe 0(M,M') ~" OA'

Les rectangles 0(M,M'), OM, de même hauteur, donnent ensuite

ôM — ;ôâ^

d'où l'on conclut finalement

OrM.M^^) 0\/.0R« ÔM ~ OA.OB

Comme l'aire du rectangle OM est OA.OB, celle du rectangle O (M, M'O est donc OAf.OBi^r — OA.OB.

La multiplication par i des droites 0A«, OBt conduit ensuite au rectangle OM'', dont l'aire est OA'.OB' == OA.OB. Celle des droites OA', OB' donne également

OAi.OB'iz= — OA.OB,

pour l'aire du rectangle à dimensions imaginaires 0(M", M), après quoi, la même voie nous ramène au rectangle OM.

Ajoutons que, dans les angles yOx\ xOy' ^ se trouvent encore les rectangles 0(M',M"'), 0(M"',M), dont les dimensions sont imaginaires, mais dont l'aire est positive.

On peut remarquer en outre que les rectangles à dimensions imaginaires se distinguent à la fois des rectangles réels et des rectangles imaginaires proprement dits : i® parce que leurs nappes ne sont ni superposées, ni symétriques par rapport à une dimension commune, et qu'une demi-rotation de l'une autour de l'origine l'amène en coïncidence avec l'autre; 2® parce qu'ils ont, d'une part, l'aire réelle et que, d'autre part, cette aire est négative ou positive, suivant que leurs dimensions sont de même sens ou de sens contraires.

En résumé, l'aire du rectangle est toujours égale au. produit de ses dimensions, quel qu'en soit le mode ou le sens; et l'on verrait sans peine qu'il en est de même pour les rectangles de dimensions mixtes.

Les aires du parallélogramme, du triangle, du trapèze, se déduisent trop aisément de celle du rectangle pour nous arrêter.

On peut en dire autant des secteurs pris dans le cercle ou dans l'hyperbole équilatère. Mais il s'agit de montrer en outre que les premiers fournissent la mesure des angles réels ou imaginaires, et les seconds celle des logarithmes de mode quelconque.

Angles de modes contraires. Leur mesure, — L'angle de deux droites quelconques est celui de leurs tiges. Il a pour composantes respectives les angles que forment entre elles les composantes de même ordre de ces tiges.

Soit O une circonférence réelle de rayon OA = r {fig* 69 ). Elle est coupée en M par la droite réelle OM, et l'angle réelpositif AOM, système de deux angles ordinaires égaux et superposés, a même mesure que sa première composante.

On prend ordinairement pour cette mesure le rapport a de l'arc AM au rayon. Mais rien n'empêche de remplacer ce rapport par un autre qui lui soit égal.

Or, si l'on mène à la circonférence la tangente AT qui

rencontre OM en T et la bissectrice de l'angle des axes en L, Taire du triangle rectangle isoscèle AOL est \r^. Celle du secteur circulaire, AOM = ^r^a. On a donc

ACM AOL

C'est ce rapport d'un secteur circulaire au demi-carré con-

Fig. 69.

struit sur le rayon qui va nous servir à mesurer, dans tous les cas, l'angle au centre correspondant.

De plus, comme en posant >yT- = a, Leibniz a trouvé que,

pour a-< I,

AOM I , I ,

nous aurons à faire voir que cette formule est générale.

Si l'on multiplie l'ordonnée de la droite OM par i, cette droite se transforme en une radiée 0(M, M) qui rencontre la circonférence proposée en (N,]N ). L'angle AO(N, N') formé des composantes opposées AON, AON', est imaginaire. Il en est de même du secteur circulaire AO(N,N')

qui lui correspond et dont l'aire est AON t. La mesure de l'angle AO(N,]N') est, par suite,

AON/ AOL'

En désignant toujours le rapport ^^^t P^^ a, on a, d'après

Huygens, pour a<^ I.

AON 1.1,1,

AOL 357

et l'on en conclut identiquement

AONe ./ I , I ^ I ,^ \

Mais cette dernière égalité revient à

AONi . I , .,, I , .,- I , .,-

j^^ -ai — ^{aiy — g {aiy—-{ai)- -+-...;

et, comme l'intersection (T, T') de AT par 0(N, N) donne

A(T,TM

= ai,

on voit que la formule de Leibniz trouve encore ici son application.

Soit maintenant, dans la circonférence imaginaire de rayon 0(A, A), l'angle au centre (A, A')0(M, M| ). Le secteur correspondant est ( A, A') 0(M, M, ) == — AOM, et le demicarréconstruitsurlerayondevient(A, A')0(L, L') = — AOL. La mesure de l'angle (A, A')0(M, M4) est, par suite,

— AOM AOM

- AOL ~ AOL '

résultat qui se trouve être en parfaite harmonie avec la figure, puisque les segments OM, 0(M,M4), de la droite réelle OT font avec l'axe OA le même angle que celle-ci.

De plus, la tangente de l'angle (A, A') 0(M, M<) est ( A, A') (T, T< ) et son rapport au rayon

Donc, la formule de Leibniz s'applique à ce nouveau cas.

S'agit-il, enfin, de l'angle (A, A')0(N', N<) que fait avec 0(A, A') le segment radié 0(lX', N< )? On voit que cet angle répond, d'une part, au secteur (A, A') 0(N', N< ) = — AONî, d'autre part, au demi-carré (A, A')0(L, U) = — AOL. Il a donc pour mesure

— AON i __ A ON g

— AOL " AOL '

ce qui montre que les segments démodes contraires 0(N, N'), 0(N',N|), d'une même radiée et, par suite, les segments mixtes de cette droite fonl avec OA des angles égaux. De là, par conséquent, une nouvelle analogie entre la radiée et la droite réelle.

La tangente relative à l'angle (A, A')0(N', N<) est d'ailleurs (A, A') (T', Ti), et son rapport au rayon

(\,AO(r,T,) .

La formule de Leibniz ne cesse donc pas ici d'être applicable, et l'on verrait aisément qu'il en est de même dans tout autre cas, où la série formée par le second membre de cette formule reste convergente.

Les angles imagina:ires tels qu'on vient de les définir ne sauraient s'étendre au delà des asymptotes correspondantes. Mais, en les combinant avec les angles réels, il est facile de leur faire envahir toutes les régions du plan des axes.

Soient, en effet, (P, P^) et (P', P) les intersections de la circonférence réelle OA avec les tiges des radiées 0(P, P'), 0(P', P). La position de ces droites est évidemment déter-