PREFACE. VII

de toute figure variable avec la formule générale qui l'exprime : ce qui dispense de fonder la corrélation des figures sur le principe de continuité. J'arrive également, par cette voie, soit à démontrer des théorèmes nouveaux, soit à signaler d'anciennes erreurs adoptées sans discussion. Enfin, malgré sa généralité, la théorie que je propose ne laisse pas de s'accorder avec tous les essais antérieurs du même genre, puisqu'elle comporte, comme autant de cas particuliers, les quantités géométriques d'Argand, les coniques supplémentaires de Poncelet, les figures idéales de Marie et les quaternions d'Hamilton.

Cette extension légitime des Mathématiques pures est en soi fort importante. Elle peut, d'ailleurs, avoir des conséquences d'un autre ordre : car Leibniz, s'inspirant des vues de Descartes, n'a-t-il pas dit :

Sans les Mathématiques, on ne pénètre point au fond de la Philosophie; sans la Philosophie, on ne pénètre point au fond des Mathématiques; sans les deux, on ne pénètre au fond de rien.

J'ose donc appeler l'attention des mathématiciens et des philosophes sur ce précis, que je me suis efforcé de rendre élémentaire; et je remercie d'avance ceux qui voudront bien m' adresser, à ce propos, leurs conseils ou leurs critiques.

A. MOUCHOT.

DE LA

Les grands génies de la Science devancent trop leurs contemporains pour en être goûtés. Aussi, d'autant plus méconnus pendant leur vie qu'ils s'élèvent davantage audessus de la foule, laissent-ils aux siècles à venir le soin d'apprécier leurs vues et d'en marquer la portée.

Descartes, moins que personne, ne pouvait échapper à cette loi. Son génie impatient devait offusquer jusqu'à ses plus grands disciples. Quant à ses contemporains, ils n'étaient pas doux aux novateurs.

M. Descartes, qui est mort à Stockholm, en Suède, le 1 1 février i65o, était un homme de mauvaise mine, qui n^avait rien d'agréable... II avait bien des visions dans sa tête qui sont mortes aussi bien que lui(i).

Qui parle ainsi? Gabriel Naudé, l'un des oracles de la

(*) Naudœana, page ii3.

Science officielle de son temps, l'auteur de V Apologie des grands hommes faussement accusés de magie.

Ce n'était là toutefois que dédain ou pitié. La haine harcelait aussi le grand novateur, et devait couver longtemps sur sa tombe.

Quarante-cinq ans après la mort de Descartes, nos pères essayaient encore d'insulter à son génie, mais avec une franchise qui commande l'admiration.

On lit, en effet, dans le Journal des Savants, cette annonce :

Histoire de la Conjuration faite à Stockholm contre M. Descartes. In-i2, à Paris, chez M. J. Boudot; 1695.

Les qualités, les accidents et les formes substantielles que M. Descartes a rejetées de sa philosophie, sont les terribles ennemis qui ont conjuré sa perte. Quand elle eut été résolue entre eux et qu'il eut été solennellement déclaré novateur, et, comme tel, condamné à être retranché de la société des savants, la chaleur se chargea de Texécution et agit avec tant de violence dans le corps de ce philosophe, qu'elle y excita une fièvre avec transport au cerveau qui ruinèrent en peu de jours sa santé, sans que toutes les connaissances qu'il avait acquises lui servissent à la conserver. Ce fatal exemple apprend qu'il est plus sûr de suivre les traces des anciens que de chercher de nouvelles routes (*).

1 1 est bon de se reporter à ces temps déjà lointains pour en juger sainement les hommes et les choses.

C'était une époque de rénovation et, par conséquent, de

( ' ) On peut comparer cette oraison funèbre à celle que Tillustre chimiste Van Helmont s'était attirée, cinquante ans plus tôl, de la part du fameux docteur Guy Patin :

a Van Helmont était un méchant pendard flamand qui est mort enragé depuis quelques mois. 11 n'a jamais rien fait qui vaille. J'ai vu tout ce qu'il a fait. Cet homme ne méditait qu'une Médecine, toute de secrets chimiques et empiriques, et, pour la renverser plus vite, il s'inscrivait fort contre la saignée, faute de laquelle pourtant il est mort frénétique. » Guy Patim, Lettres ( 16 avril i645).

lutte. Mais, si la résistance était vive, le progrès n'en prenait pas moins un merveilleux essor.

Pour ne parler que des Sciences : Kepler trouvait les lois du mouvement des planètes ; Galilée fondait la Physique sur l'observation et l'expérience; Van Helmont dégageait la Chimie des langes du grand-œuvre; Harvey découvrait la circulation du sang; Descaries, enfin, dont le génie encyclopédique prenait une large part à toutes ces conquêtes de l'esprit humain, formulait, dans le Discours de la Méthode, les principes fondamentaux de la réforme scientifique.

La Géométrie^ cette première application du nouveau code, allait ouvrir aux Mathématiques régénérées une ère de progrès que nul, excepté son auteur, n'eût osé prévoir. Mais ce qu'il faut admirer dans cette réforme partielle, peut-être autant que son immense portée, c'est la simplicité des moyens employés pour l'accomplir.

Descartes, voulant reconstituer la Mathématique universelle ou la science générale des rapports, commence par interroger l'Analyse ancienne et l'Algèbre des modernes.

Il reconnaît que (c la première est toujours si astreinte à la considération des figures, qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination. » Il trouve ensuite qu'on a fait de la seconde ce un art confus et obscur qui embarrasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive. » Puis, de guerre lasse, il se met à considérer les grandeurs les plus simples, les droites, afin d'en étudier les rapports et de les combiner entre eux.

Mais les droites sont des grandeurs continues, c'est-à-dire susceptibles de croître par degrés insensibles; et le nombre, collection d'unités si petites qu'elles soient, ne saurait les suivre dans leurs variations. C'est là le moindre souci de Descartes. Comme l'avait fait Viète, il représente par des lettres les rapports de ces droites à leur unité; et, pour éviter toute chicane, laisse celle-ci parfaitement arbitraire. Les pre-

mières lettres de l'alphabet répondent d'ailleurs aux droites constantes ou données, et les dernières, soit aux droites variables, soit aux inconnues d'un problème.

Pour combiner entre eux les rapports ainsi obtenus, Descartes n'a plus qu'à soumettre les droites aux opérations élémentaires, en ayant soin de laisser subsister les signes mêmes de ces opérations dans l'expression des résultats qu'elles fournissent. C'est ainsi qu'étant données deux droites dont les rapports à l'unité sont a et 6, leur somme s'exprime par a + 6, et leur diflFérence par a — 6.

Jusqu'à Descartes, le produit ah des mêmes droites représente l'aire du rectangle dont elles forment les dimensions. De même, le produit de trois droites exprime le rapport d'un solide à son unité. Quant au produit de quatre ou d'un plus grand nombre de droites, il cesse d'avoir une signification géométrique.

Pourquoi ce défaut d'homogénéité dans les résultats d'opérations effectuées sur les droites? Les auteurs du temps ne le disent pas, et pour cause.

C'est alors qu'intervient le grand novateur. Accordez-lui comme un principe démontré par Euclide, ou même comme un fait d'expérience, que deux parallèles coupent deux droites concourantes en parties proportionnelles, et l'anomalie disparaît.

Pour Descartes, en efi*et, le produit ah n'est autre que — •

De même, les produits ahc,ahcd, ... se transformentrespec-

abc ahcd ^ ' *n n

tivement en > rj • • • • rL.t que signihent ces nouvelles

expressions? La première — représente une quatrième proportionnelle à trois droites ; les autres expriment de même des droites faciles à construire.

De plus, toutes les opérations subséquentes relatives aux droites, la division, l'élévation aux puissances, l'extraction

des racines, s'obtiennent à l'aide de procédés du même genre, c'est-à-dire purement géométriques, sans jamais cesser de donner pour résultats des droites. En sorte que, finalement, tout monôme algébrique représente une droite; tout polynôme de cette nature, une somme de droites; toute équation algébrique à une ou plusieurs inconnues, l'égalité de deux expressions d'une droite, dont il reste à déterminer une ou plusieurs parties.

Ces idées nouvelles étaient assurément simples, accessibles à tous. Mais dire qu'elles se sont imposées sans lutte et qu'elles ont fait immédiatement vibrer toutes les intelligences à l'unisson du génie, ce serait méconnaître l'éternelle histoire du progrès humain.

Quoi qu'il en soit, elles permirent d'abord à Descartes de trancher la question qui forme le principal objet de la Géométrie.

La résolution des équations algébriques de degré quelconque avait bravé les efforts de tous ses devanciers. Viète lui-même, qu'on donne quelquefois comme le rénovateur de l'Algèbre, n'avait couronné son œuvre que par quelques essais de ce genre. Descartes aborde à son tour ce problème ardu. Pour le résoudre, il lui faudra déployer toutes les ressources d'une intelligence d'élite, inventer même une Géométrie nouvelle. Mais il sortira vainqueur de la lutte en imprimant aux Mathématiques pures une impulsion qu'elles attendaient depuis longtemps.

De son clair regard, il a parcouru l'Analyse ancienne. Il en étudie les lieux géométriques; saisit comme d'un bond le principe de cette conception féconde; y voit le moyen de comparer les courbes planes à la droite; reconnaît la possibilité d'exprimer la plupart de ces courbes par des relations algébriques entre deux variables et se trouve dès lors en mesure de résoudre graphiquement l'équation de degré quelconque à une seule inconnue.

Soient, pour le faire voir, AB une courbe plane définie par ses propriétés descriptives ; xx' une direction fixe située dans son plan.

Par V origine O et le point quelconque P pris sur cette direction menons deux parallèles, l'une indéfinie ^j>^', l'autre allant du point P au point M où elle rencontre AB.

D'après la nature de la courbe donnée, quand le point P parcourt xx% il existe évidemment une relation spéciale entre V ordonnée PM =zy ei V abscisse OP = x, variables l'une et l'autre. Dès qu'on peut calculer cette relation à l'aide des opé-

JC

rations élémentaires, la courbe AB devient le lieu des points dont r ordonnée est une fonction algébrique y =z f (^x) de l'abscisse correspondante et prend en conséquence le nom de courbe algébrique.

Toute autre courbe algébrique CD se traduit de même relativement aux axes de coordonnées xx\ yy ^ par une équation de degré quelconque j^ = F (^).

Mais, pour le point M où se coupent les deux courbes, ainsi que pour tous leurs autres points de rencontre, on a

De là la possibilité de déterminer graphiquement les racines de cette dernière équation au moyen de deux courbes

auxiliaires convenablement choisies, ces racines étant les abscisses des points communs aux deux courbes.

Descartes parvint de la sorte à résoudre les équations des six premiers degrés, et put en toute assurance terminer sa Géométrie par ces mots :

Mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de comprendre beaucoup en peu de mots, commQ on jugera peut-être que j'ai fait, si l'on considère qu'ayant réduit à une même construction tous les problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire à une infinité d'autres diverses, et aussi de résoudre chacun d'eux en une infinité de façons. Puis, outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont plans en coupant d'un cercle une ligne droite et tous ceux qui sont solides en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un degré plus composé en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini. Car, en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres. Et j'espère que nos neveux me sauront gré non seulement des choses que j'ai expliquées, mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le plaisir de les inventer.

Si complète qu'elle parût être, la solution trouvée par Descartes laissait néanmoins subsister une lacune que deux siècles de progrès ne sont pas encore parvenus à combler.

On sait, en effet, que, selon les valeurs de ses coefficients, l'équation générale de degré m à une inconnue comporte tantôt m racines numériques, tantôt moins. Dans le cas où le nombre de ces racines se réduit à /i, les formules qui donnaient les m — n racines disparues deviennent symboliques ; mais comme, pour d'autres valeurs des coefficients, elles seraient de nouveau susceptibles de se traduire en nombres, on ne cesse jamais de leur appliquer les règles du calcul algébrique. Force est donc alors d'opérer sur des symboles, tels que a — 6, \Ja^ — b^^ dans lesquels les valeurs de b surpassent

constamment celle de a. Ces deux espèces de symboles peuvent d'ailleurs se simplifier et deviennent les uns, pour b := a-}- c, des nombres négatifs de la forme — c; les autres , pour 62. ^2 j ^2 jgg expressions imaginaires de la forme cy/ — I. Enfin, si, dans le système de Descartes, les premières se traduisent par des coordonnées positives ou négatives, les secondes ne peuvent sans ambiguïté s'interpréter de la même manière et n'ont pas encore de rôle à remplir.

Gela posé, lorsqu'une équation de degré m ne comporte que n racines positives ou négatives, on n'en affirme pas moins qu'elle a toujours m racines, mais que n de celles-ci sont réelles, tandis que les m — n autres sont imaginaires. Puis on admet que les courbes qui servent à déterminer ces racines se coupent en m points, dont n sont réels, m — n imaginaires et que Tharmonie la plus parfaite ne cesse jamais de régner entre la science de l'étendue et celle des nombres, quel que soit le degré de l'équation proposée.

Tel est le triple postulatum, qui, formulé d'une manière plus ou moins générale et sous des noms divers, sert actuellement de base aux spéculations mathématiques.

On est bien forcé de reconnaître, en se plaçant à ce point de vue, que les constructions de Descartes sont loin de fournir toutes les racines des équations algébriques. Mais est-ce là le dernier mot de la correspondance entre l'Algèbre et la Géométrie ? Il est permis d'en douter, et rien n'empêche de chercher mieux en s'inspirant au besoin des aperçus lumineux qui se sont fait jour depuis deux siècles.

Dans l'œuvre de Descartes, on a vu poindre une méthode géométrique assez diff<érente de l'Analyse ancienne.

Celle-ci se préoccupe avant tout des propriétés descriptives ou segmentaires des figures et ne daigne pas assez traduire ces propriétés en nombres.

La Géométrie cartésienne, au contraire, se hâte d'exprimer les lignes ou les surfaces par des équations à deux ou trois

INTBODUCTION. 9

variables, puis elle applique à ces équations les ressources du calcul algébrique et finit par en tirer des formules dont la construction la ramène aux figures considérées. Mais elle fait ainsi trop perdre de vue les procédés purement géométriques. Aussi, malgré les services qu'elle a rendus et qu'elle peut rendre encore, ne faut-il pas s'étonner de la voir provoquer le retour aux éléments d'Euclide ou d'Apollonius.

Qu'on ne s'y trompe pas toutefois. Par suite de son commerce avec l'Algèbre, la Géométrie pure a contracté de nouvelles tendances qui suffisent pour la distinguer de l'Analyse ancienne et lui mériter le nom de Géométrie supérieure.

En effet, au lieu de renouveler ses démonstrations pour chaque état particulier d'une figure variable, elle se contente désormais de supposer Tune d'elles applicable à tous les autres états de cette figure, même quand certaines parties de celle-ci disparaissent ou plutôt deviennent imaginaires; de plus, elle tient suffisamment compte des relations numériques correspondantes et ne craint pas de recourir à la notion de l'infini. Bref, elle s'efforce d'échapper autant que possible aux reproches mérités que Descartes adressait à l'Analyse ancienne.

C'est à Monge, à Garnot, à Poncelet surtout que cette transformation est due. On peut regretter seulement que, trop fidèles à la manière de voir des anciens, les deux derniers géomètres ne veulent considérer que les éléments absolus des figures. Garnot essaye même de remplacer la conception des droites positives ou négatives par celle des quantités directes ou inverses. Poncelet, de son côté, persiste à croire avec ce dernier que les signes — i et y/ — i, pris isolément, ne sauraient dériver à priori d'aucune considération purement géométrique. Mais il pense que la Géométrie et l'Algèbre doivent se développer en vertu d'un principe d'extension qui leur est commun et qui n'est pas mieux démontré pour Tune que pour l'autre. Pour tout dire en quelques mots, il

lO JNTRODUCTION.

admet, sous le nom de principe de continuité, le triple postulatum dont j'ai parlé plus haut. Faute de mieux, ce principe a du moins pour effet de laisser à la science de l'étendue toute son indépendance. C'est ainsi que, pour amener des rapprochements intimes entre la circonférence et l'hyperbole équilatère de même diamètre, Poncelet a soin de consulter, non les équations, mais les propriétés segmentaires des deux courbes. Il observe que, dans chacune d'elles, la demi-corde perpendiculaire au diamètre est moyenne proportionnelle entre les distances de son pied aux deux extrémités de ce diamètre; puis il en conclut que toute perpendiculaire à celui-ci, lorsqu'elle se meut parallèlement à elle-même, intercepte sur la circonférence des cordes réelles ou idéales, suivant qu'elle rencontre la branche circulaire ou l'hyperbole conjuguée. De là sa belle théorie des Coniques supplémentaires.

Moins logique que Poncelet, Chasles adopte à la fois les vues de ce dernier sur les expressions imaginaires et l'introduction en Géométrie des grandeurs positives ou négatives. C'est d'ailleurs en vain qu'il essaye, pour échapper au principe de continuité, d'appuyer ses démonstrations sur les propriétés permanentes des figures et non sur leurs propriétés accidentelles ou contingentes. Car, lorsqu'il détermine, par exemple, deux points d'une droite à l'aide de l'équation

œ- -h ax -\- b z= o,

dont il suppose les coefficients réels, n'admet-il pas, en définitive : 1° la permanence des racines de cette équation lorsqu'elles cessent d'être réelles; 2^ l'existence sur la droite donnée de deux points imaginaires répondant à ces racines ; 3** l'accord de la Géométrie et de l'Algèbre, quelles que soient les valeurs réelles des coefficients a et b? Son principe des relations permanentes n'est donc pas autre chose que le principe de continuité changé de forme. Par suite, ses

INTHODUCTION. II

démonstrations ne sauraient être plus rigoureuses que celles de Poncelet. Elles se distinguent au surplus de ces dernières en ce qu'elles s'appuient davantage sur le calcul.

Enfin, pour utiliser dans le système de coordonnées reclilignes les valeurs imaginaires ou mixtes des fonctions et de leurs variables, M. Marie propose de les interpréter par des droites réelles. Mais il n'obtient de la sorte que des lieux géométriques n'offrant pas l'unité désirable.

Cependant, au cours de ces longues recherches, une idée lumineuse avait lui. Depuis longtemps déjà la comparaison de l'hyperbole équilatère avec la circonférence avait conduit de Moivre à l'importante formule qui porte son nom. C'est très probablement cette formule qui fit entrevoir à Robert Argand la possibilité d'assigner aux droites absolues une nouvelle manière d'être : la direction.

Lorsqu'une droite de longueur constante tourne dans un plan autour de son origine, elle est d'abord susceptible d'offrir deux directions opposées. Suivant Descartes, elle est positive pour une de ces directions, négative pour l'autre, réelle dans les deux cas. Dès que la droite prend une direction perpendiculaire aux précédentes, elle change de nature et devient imaginaire, indépendamment des sens contraires qu'elle peut encore affecter. C'est à Wallis que semble due cette manière de voir. Enfin, dans toute autre direction, la droite dont il s'agit équivaut, d'après Argand, à la somme des parties, l'une réelle, l'autre imaginaire, d'une brisée rectangle ayant même origine et même extrémité qu'elle. Telle est, dans son ensemble, la conception des droites dirigées ou quantités géométriques.

De l'aveu d'Argand, cette conception élégante et féconde n'a pas d'autre objet que l'interprétation des symboles algébriques. Mais il s'en faut déjà de bien peu que la Géométrie puisant en elle-même tous les moyens de généralisation qui lui sont nécessaires, ne soit en mesure de les étendre à l'Algèbre.

La direction ne constitue d'ailleurs pas un caractère suffisant d'imaginarité. D'abord elle ne s'entend que des droites. De plus, elle ne saurait se prêter à l'extension du système de coordonnées rectilignes. Enfin, Hamilton a montré que, dans l'expression d'une quantité géométrique, le terme imaginaire peut se représenter par un vecteur de direction quelconque.

Il est bon d'ajouter que, pour arriver à cette conclusion, le géomètre anglais part de relations analytiques purement conventionnelles et qu'il tendrait volontiers à faire de l'Algèbre un calcul de symboles, conduisant à des résultats plus ou moins susceptibles d'interprétation géométrique.

Nous voilà, par conséquent, bien loin de la Réforme cartésienne des Mathématiques et du but qu'elle se proposait d'atteindre, car, si la Géométrie pure s'est affranchie des entraves de l'Analyse ancienne, l'Algèbre semble vouloir imposer plus que jamais ses conceptions abstraites agrémentées au besoin de symboles dénués de sens.

On conviendra toutefois que les premiers résultats obtenus par Descartes, le parti qu'il a su tirer de l'emploi des droites de sens contraires, les services que n'ont cessé de rendre les quantités géométriques étaient de nature à fixer l'attention des chercheurs.

Je me suis demandé, pour ma part, s'il ne serait pas possible d'assigner aux éléments des figures de nouvelles manières d'être permettant de dissiper toutes les obscurités de l'Algèbre, puis, de généraliser l'Analyse ancienne et celle de Descartes pour en former la Géométrie supérieure.

Tel est le problème que j'étudie depuis trente ans et dont je crois pouvoir aujourd'hui donner une solution complète.

A cet effet, je commence par ne voir dans le système de deux points géométriques, sans liaison mutuelle, qu'un point unique, réel quand ses composantes coïncident ; imaginaire dès qu'elles se séparent Tune de l'autre.

Ces deux manières d'être ou modes contraires se trans-

INTRODUCTION. l3

mettent ensuite du point aux segments reclilignes, qui suffisent dès lors pour légitimer toutes les règles du calcul algébrique et compléter le système de coordonnées de Descartes,

Après avoir étudié les variétés de la droite et des coniques rectilignes, j'arrive à constater que deux ou plusieurs courbes de modes convenables, mais de formes différentes, peuvent offrir des propriétés segmentaires identiques et s'exprimer par une seule et même équation. Ce qui me conduit à créer de nouveaux lieux géométriques formés chacun d'une infinité de branches subordonnées à l'une d'elles, puis à soumettre ces courbes générales soit à l'Analyse de Descartes, soit à celle des anciens.

Les aires planes, les angles, les logarithmes, comportent à leur tour deux modes contraires. Quant aux figures de l'espace, elles présentent la même généralité que celles du plan .

La Géométrie pure reçoit donc ainsi toute l'extension désirable. L'Algèbre, de son côté, devient la science générale des rapports entre grandeurs homogènes, et ses opérations découlent naturellement de celles qu'on effectue sur ces grandeurs. Il en résulte, en particulier, que les changements de toute figure variable entraînent comme conséquence ceux des formules correspondantes. En sorte que la corrélation des figures, telle que l'entrevoyait Garnot, s'impose d'ellemême et que la résolution complète des équations algébriques est désormais possible.

Enfin, comme les cordes idéales de Poncelet, les coordonnées imaginaires de Marie, les quantités géométriques d'Argand et les vecteurs d'Hamilton ne sont jamais que les premières composantes de segments rectilignes tels que je les définis, l'innovation que je propose concilie, en les " complétant, tous les essais antérieurs du même genre.

Ai-je besoin d'ajouter que, sans le Discours de la Méthode ni la Géométrie p je n'eusse jamais entrepris de pa-

l4i INTRODUCTION.

reilles recherches. Mon œuvre est donc avant tout un hommage à Descartes, à son mâle génie. D'autres ont déjà dgnalé sur divers points la puissante initiative du maître. J'apporte ma pierre au monument que lui doit la France.

Un mot encore et j'ai fini.

Von Staudt semble avoir eu le premier l'idée de représenter par un couple de points géométriques les points doubles d'une involution, lorsqu'ils cessent d'être réels.

Laguerre, dans ses leçons faites en 1870 à la salle Gerson, regarde un point imaginaire comme étant formé par les extrémités d'une droite variable. Quand cette droite s'annule, le point devient réel.

Pour moi, je le répète, j'assigne aux points réels ainsi qu'aux points imaginaires deux composantes absolument indépendantes l'une de l'autre, elles résultats auxquels j'arrive n'en sont que plus généraux.

On ne saurait disconvenir, enfin, que, par ses opérations sur les droites, Descartes n'ait proclamé dans une certaine mesure l'indépendance de la Géométrie et jeté les fondements de la Graphostatique. Mais faut-il se lancer éperdument dans cette voie nouvelle et tenter, comme Fa fait Von Staudt, d'affranchir la Géométrie supérieure ou de position de toute idée de grandeur? Faut-il, au contraire, laisser la science de l'étendue et celle des nombres marcher de pair en s'appuyant constamment l'une sur l'autre?

De ces deux méthodes, Descartes a choisi la seconde. C'est également celle que j'adopte comme étant de beaucoup la moins ambitieuse et la plus sûre.

GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. l5