GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE. — POINTS DE MODES QUELCONQUES

Géométrie supérieure.

Les figures de Géométrie peuvent être étudiées sous trois points de vue différents, selon qu'il s'agit de leur forme, de leur expression numérique, ou de leur comparaison soit à la droite, soit au plan. De là, pour elles, trois sortes de propriétés, les unes descriptives, d'autres métriques, les troisièmes segmentaires ; celles-ci formant la transition des premières aux secondes.

Les propriétés descriptives des figures tendent à les isoler les unes des autres. Au contraire, leurs propriétés segmentaires ou métriques conduisent à les répartir en groupes naturels où elles peuvent indifféremment affecter deux manières d'être opposées, improprement dites l'une réelle, l'autre imaginaire ; puis à classer entre eux les nouveaux lieux géométriques ainsi obtenus.

La Géométrie supérieure traite de ces dernières figures. Elle leur applique les procédés de l'Analyse ancienne, mais elle ne laisse pas d'emprunter à la Géométrie de Descartes l'expression la plus générale de leurs propriétés métriques.

L'Analyse ancienne, tout en se bornant à l'étude des éléments absolus des figures, n'en découvrit pas moins les propriétés segmentaires des sections coniques et de quelques lieux analogues.

l6 CHAPITRE I.

Par un de ces traits de génie que l'histoire des Sciences enregistre avec orgueil, Descartes parvînt à conclure de ces mêmes propriétés des équations à deux ou trois variables représentant les lignes planes ou les surfaces et permettant d'étudier ces dernières à l'aide des seules ressources du calcul.

Les deux méthodes sont réciproques l'une de l'autre, puisque la première passe des propriétés descriptives des figures à leurs propriétés segmentaires ou métriques, tandis que la seconde suit autant que possible Tordre inverse. Il ne faut donc pas s'étonner que la Géométrie supérieure ait pu les concilier, les englober, pour mieux dire, en donnant à chacune l'extension désirable et les complétant l'une par l'autre.

Plus générale que l'Analyse ancienne, elle est à celle-ci ce que l'Algèbre est à l'Arithmétique, c'est-à-dire qu'aux éléments absolus des figures, elle en substitue d'autres qui peuvent affecter deux manières d'être opposées ou modes contraires j et qui, pour s'exprimer numériquement, nécessitent l'emploi rationnel de tous les symboles algébriques sans exception.

Plus soucieuse des propriétés de l'étendue et par là même plus féconde que la Géométrie de Descartes, elle met cette dernière en mesure de construire le lieu des équations à deux ou trois variables, quel que soit le mode de ses branches ou de ses nappes, de résoudre graphiquement les équations de degré quelconque à une seule inconnue et de faciliter l'étude des fonctions algébriques ou transcendantes.

En un mot, la Géométrie supérieure embrassant l'Analyse ancienne et celle de Descartes poursuit leur œuvre commune, mais généralise à la fois et ces deux méthodes d'investigation et les figures dont elles s'occupent.

Points de modes contraires.

Il convient, dès le début de la Géométrie supérieure, de généraliser la définition du point, afin d'en conclure une extension remarquable des propriétés segmentaires et métriques des figures.

Outre le point géométrique, tel qu'on le définit habituellement, j'ai proposé d'introduire dans la science de l'étendue deux éléments nouveaux : le point réel et le point imaginaire.

Chacun d'eux est le système de deux points géométriques ordinaires appelés composantes. Suivant que ces composantes, sans liaison mutuelle, sont superposées ou séparées l'une de l'autre, le point résultant est réel ou imaginaire.

La distinction, par chaque espèce de point, d'une première et d'une seconde composante est indispensable.

Deux points imaginaires sont conjugués quand ils sont inversement formés des mêmes composantes : c'est-à-dire quand la première composante de l'un est la seconde composante de l'autre, et réciproquement.

Le point réel ayant ses deux composantes superposées ne se distingue pas graphiquement d'un point géométrique ordinaire ; tandis que le point imaginaire se représente par ses deux composantes et se désigne par une parenthèse renfermant dans le même ordre qu'elles les lettres qui les affectent. Exemple : le point (M, M') et son conjugué (M', M).

J'appelle modes contraires les deux manières d'être opposées du point, tel que je viens de le définir. Ces deux manières d'être coexistent sans qu'il soit possible de les confondre et la transition de l'une à l'autre se fait de la façon la plus naturelle.

Les dénominations de point réel et de point imaginaire M. 2

l8 CHAPITRE 1.

sont donc mal choisies, puisqu'elles semblent indiquer qu'une seule des deux manières d'être du point existe réellement. Mais j'ai dû les adopter pour me conformer à l'usage.

Quelque mode qu'il affecte, le point, comme on va le voir, peut toujours engendrer des lignes, des surfaces et des volumes ; en sorte que la dualité qu'il présente est susceptible de s'étendre à toutes les figures géométriques.

Ligne droite.

Définitions et propriétés descriptives, — Lorsque les composantes d'un point décrivent, sur un plan, deux droites soit de même direction, soit de directions parallèles ou concourantes, le système de ces droites est un segment rec-

Fig. I.

tiligne dont elles forment \es composantes. Ces composantes correspondent à celles du point générateur. Leurs origines et leurs extrémités forment Vorigine et V extrémité du segment rectiligne qui se désigne par ces derniers points.

C'est ainsi que le segment dont l'origine est O et l'extrémité (A, A') {fig^ i) s'exprime par O (A, A').

De même, le segment ayant pour origine (A, A') et pour extrémité (B, B') se représente par (A, A') (B, B').

Un segment rectiligne est simple quand son origine est réelle ; disjoint quand elle est imaginaire.

0(A,A'), par exemple, est un segment simple; (A, A') (B, B'), un segment disjoint.

Les divers segments rectilignes se distinguent les uns des autres par la longueur ou Tangle de leurs composantes. Ils sont isoscèles ou scalènes, suivant que ces composantes ont, ou non, même longueur; radiés ou droits, suivant que les directions de ces mêmes composantes sont, ou non, concourantes.

Ainsi, OA, 0(B,B'), 0(C,C') {fig. 2) sont des seg-

Fiff. 2.

ments droits, les deux premiers isoscèles, le troisième scalène.

De même, 0(D,D'), 0(E,E') {fig. 3) sont des segments radiés, l'un scalène, l'autre isoscèle.

On peut abréger la dénomination de segment rectiligne

isoscèle en lui substituant celle de segment isorectiligne.

Deux segments rectilignes sont égaux, quand, appliqués l'un sur l'autre, ils ont même origine et même extrémité.

Deux segments rectilignes sont équipoUents, quelle que soit leur origine, lorsque leurs composantes, de même ordre, sont égales, de même sens et parallèles chacune à chacune.

Enfin, deux segments rectilignes sont inverses l'un de

l'autre, ou, le premier, direct, et, le second, inverse, quand ils ont leurs points conjugués deux à deux.

Exemple : 0(B,B') et 0(B',B), 0(D,D') et 0(D',D).

Le mode d'un segment isorectiligne simple ne dépend que de l'angle de ses composantes. Celles-ci peuvent être considérées comme étant Ae même sens tant qu'elles restent superposées ou qu'elles forment entre elles un angle aigu, et de sens contraires, quand cet angle est obtus ou qu'elles sont opposées l'une à l'autre. Le segment isorectiligne est dit réel, dans le premier cas; imaginaire, dans le second.

D'après cela, changer le mode d'un segment isorectiligne, c'est intervertir le sens d'une de ses composantes. Mais, afin de procéder avec ordre, il convient d'opérer toujours sur la première composante du segment donné, puis de prendre la seconde, qui reste fixe, pour première composante du nouveau segment.

C'est ainsi que, par des changements de mode successifs, le segment droit réel-positif OA {fig* 4) se transforme

Fig. 4.

d'abord en un segment imaginaire positif 0(A, A'), puis en un segment réel négatif OA', puis en un segment imaginaire négatif 0(A', A), pour revenir ensuite à son premier état.

Des opérations analogues font prendre au segment isoradié réel-positifO(A, A') {fig. 5) lesformes successives 0( A', A"), 0(A^ A'^Oï 0(A^ A), 0(A, A'), ....

Dans les mêmes conditions, le segment O (A', A), inverse de 0(A, A'), devient d'abord 0(A,A'''), puis O(A^A'0, 0(A',A), ....

D'où il suit que deux segments inverses l'un de l'autre conservent ce caractère dans toutes leurs transformations.

J'appelle cycle l'ensemble des quatre manières d'être différentes que peut affecter un segment isorectiligne, et directions du cycle celles des composantes du segment. Ces directions se réduisent d'ailleurs à une seule pour le cycle droit.

Un cycle, isoradié a de plus pour axes les bissectrices des angles formés par ses directions. L'axe répondant au segment

Fig. 5.

réel- positif du cycle en sera dit Vaxe principal ou simplement l'a^e.

Le segment isorectangle ou dont les composantes sont égales et perpendiculaires entre elles est indifféremment réel ou imaginaire. Mais, dès qu'on le suppose réel-positif, il est susceptible d'engendrer un cycle isorectangle.

Lorsque deux cycles isorectilignes ont même origine et mêmes directions, sans que leurs points soient conjugués deux à deux, les segments qui les composent sont dits homogènes.

Pour additionner deux segments homogènes, il suffît de

Fig. 6.

mener par l'extrémité du premier un segment équipoUent au second. La somme ainsi obtenue est homogène à chacune de ses parties. De plus, elle peut se représenter dans tous les cas par le segment rectiligne ayant même origine et même extrémité qu'elle.

C'est ainsi qu'étant donnés {fig- 6) les segments droits

OA, OB, 0(B, B'), si, par l'extrémité A du premier segment on mène les équipollents A6, A(6, fc'), des deux autres il vient

Ob-Ok-\-OB,

O(^ft') :^OA-+-0(B,B').

De même, les segments isorectangles 0(C,C'), 0(D,D') (fég' 7) ont pour somme

0(û?,â?')^0(C,C')-^0(D,DO.

L'égalité des triangles OCrf, OCcf montre, dans ce der-

Fig. 7.

nier cas, que le segment mixte 0{d^ d') est isorectangle. En général, un segment radié mixte est scalène.

Lorsque les parties de la somme qu'il représente viennent à changer simultanément de mode, un segment mixte subit des transformations identiques à celles qu'on obtiendrait en changeant alternativement le sens de ses composantes. Le nouveau cycle qu'il engendre de la sorte peut s'appeler mixte.

Ainsi, le segment mixte

0(B, B') =: 0(A, AM -h (A, A') (B, B')

(/î^. 8), dont les parties changent ensemble de mode, engendre le cycle radié mixte OBB'B''B'''.

A moins d'être isorectangle, un pareil cycle ne renferme que des segments scalènes. Ces derniers, suivant qu'ils sont entre eux de même mode ou de modes contraires, ont des angles égaux ou supplémentaires compris entre compo-

Pig. 8.

santés de même ordre directement ou inversement proportionnelles.

L'ensemble de tous les segments rectilignes homogènes groupés dans un plan autour d'un même point forme, dans le sens le plus général du mot, une ligne droite ayant ce point pour origine.

L'ensemble des segments inverses des premiers constitue la droite inverse de la première.

Une droite est dite radiée ou réelle, suivant que les segments dont elle se compose sont radiés ou droits.

La droite rectangle est une variété de la radiée. Elle ne comporte que des segments isorectangles, c'est par elle que nous commencerons Tétude de la droite.

Soit 0(A, A') {fig. 9) un segment rectangle réel-positif.

Il détermine un cycle OPi.A! A!' h!'^ ayant Ox pour axe principal.

Les quatre segments 0(A, A'), 0(A', A"), 0(A^A'''), 0(A"', A) font partie d'une droite rectangle dont le point O est Vorigine réelle.

Lorsqu'ils viennent à croître indéfiniment, sans que leurs composantes cessent d'être égales, ces quatre segments se transforment en quatre branches isorectangles. Celles-ci font encore partie de la droite en question. Elles en forment le premier système.

Si l'on prend, dans ce premier système, deux segments quelconques de modes contraires entre eux, leur somme est, comme on sait, un segment isorectangle mixte. Celui-ci détermine un cycle de même nature, puis un système mixte ou conjugué du premier. D'où l'on voit, sans aller plus loin, que la droite rectangle se compose d'une infinité de systèmes partant de son origine réelle et subordonnés à l'un d'eux. Elle est d'ailleurs complètement déterminée par le segment réel-positif 0(A, A') ou par la branche correspon-

26 CHAPITRH 11.

dante. Celle-ci se nomme en conséquence la tige de la droite rectangle et lui donne ses axes.

Ajoutons que chaque branche de la droite proposée peut être prise au besoin pour tige secondaire et fournir ainsi tous les autres points de cette droite.

Enfin, ce n'est pas seulement autour de l'origine O que les points de la droite 0(A, A') se répartissent en une infinité de branches isorectangles. Car tout autre point de cette droite est susceptible de devenir Vorigine imaginaire d'une infinité de branches du même genre.

En effet, si, d'un point quelconque (A, A') de la droite proposée, on mène l'équipoUent (A, A') (B, B') d'un segment isorectangle quelconque issu de l'origine O, le point (B, B') fait nécessairement partie de cette droite. Et, réciproquement, le segment (A, A') (B, B') mené par le point (A, A') et le point quelconque (B, B') de celle-ci ne saurait être que l'équipoUent d'un des segments isoreclangles partant de l'origine O.

Donc, le point imaginaire (A, A') est l'origine d'une infinité de branches disjointes équipoUentes à celles dont l'origine est réelle. Et l'on peut en dire autant de tous les autres points de la droite rectangle.

Comme on est libre en outre d'adopter pour tige secondaire une quelconque des nouvelles branches, on en conclut que :

Chaque point d'une droite rectangle et chaque branche issue de ce point peuvent, à l'occasion, jouer le même rôle que l'origine réelle et la tige de cette droite.

Nous n'aurons guère qu'à répéter pour la droite radiée ce qui vient d'être dit de la droite rectangle.

Le segment isoradié 0(A, A^) {fig* lo) engendre d'abord un cycle isoradié dont l'axe principal est Ox^ puis un premier système de même nature.

La somme de deux segments de modes contraires appartenant à ce premier système donne ensuite un segment radié

LIGNE DROlTi:. — CONIQUES RECTILIGNES. Tj

mixte. Celui-ci détermine à son tour un cycle radié dont les segments scalènes peuvent croître indéfiniment sans que leurs composantes cessent d'être proportionnelles : et l'on obtient de la sorte un système radié mixte.

De là la possibilité de construire autour de l'origine O, d'abord un premier système isoradié, puis une infinité de systèmes radiés mixtes conjugués de celui-ci.

L'ensemble de tous ces systèmes constitue la droite radiée,

Fig. 10.

dont l'origine réelle est O, la tige 0(A, A') et l'axe O^.

Cette droite comporte d'ailleurs autant d'origines imaginaires que de points de cette espèce, autant de tiges secondaires que de branches issues de ces mêmes points.

Il ne reste plus qu'à dire quelques mots de la droite réelle.

Tout segment droit réel-positif OA détermine un cycle isoscèle; puis un premier système droit du même genre.

La somme de deux segments de modes contraires pris dans ce premier système donne ensuite un segment, puis un cycle droit mixte. Les quatre segments d'un pareil cycle sont d'ailleurs scalènes et peuvent croître indéfiniment sans que leurs composantes cessent d'être proportionnelles. Le cycle se transforme alors en un système droit mixte, et rien n'empêche de concevoir, à partir de l'origine réelle O, une infinité de systèmes analogues ayant, comme le premier, pour direction OA.

L'ensemble de tous ces systèmes est une droite réelle, et

chaque point de celle-ci peut être l'origine d'une infinité de systèmes du même genre.

Enfin, lorsqu'un point imaginaire a ses composantes symétriques par rapport à une droite réelle, il peut décrire une infinité de segments équipoUents à ceux de la droite. L'ensemble de ces nouveaux segments forme encore une droite réelle qui se nomme disjointe et dont la première droite est Vaxe.

Ainsi (M, M') (N, N') {fig. ii) est une droite réelle disjointe ayant pour axe AB.

Les droites radiées et réelles peuvent évidemment se dé-

Fig. II.

duire de la droite rectangle en projetant celle-ci, d'une part, sur un plan quelconque passant par son axe principal, d'autre part, sur cet axe même. De là les services que sont appelées à rendre, dans les applications, ces propriétés projectives.

D'après ce qu'on a dit plus haut, une droite est donnée par deux quelconques de ses points. Mais, lorsque ces points déterminent un segment mixte de la droite, il importe de savoir trouver immédiatement la somme isorectiligne correspondante.

Soit d'abord le segment droit mixte 0(A,A') {fig- 12).

Fig. 12.

Si l'on prend le milieu B de l'intervalle AA', il vient immédiatement