AIRES
liques ayant cette unité pour module et répondant aux vectrlces 0(C, C), 0D\0(E^,E;). Enfin, aux angles
AOC =r a, AO ( D, D ) = p ï, AO ( E, E' ) = c -+- -y t
succèdent les logarithmes
AO(C, C) = ai, AOD' =-- - p, AO(E„ E[) = ci- y,
produits de ces angles par i.
Fig. 76.
Les coordonnées des points C, (D,D'), (E, E') étaient d'ailleurs
OC = ces a, Ce résina, 0<i=cospi, <i(D,D') =: sin^i,
0(e,e') =zcos{c-hfi), {e,e') (E,E') = sin(c -h yO-
On en conclut que les coordonnées des points (G, C), D', (E|,E1) forment les vectrices respectives
0(C, C) ^=: ces a H- isinay OD' = ces ^i-h i sin p ï,
0(Ei,El) =:cos(c + yO -i-«sin(c-hYi),
j36 chapitre IV.
et que ces vectrlces ont pour logarithmes
AO(C, C) = ai, AOD' = — p, AO(E„ e; ) = ci — y-
D'où il suit qu'une vectrice étant exprimée par
coscD -f- i sincD,
son logarithme l'est par tùi.
Si Ton multiplie l'une par l'autre les valeurs
cos (o 4- « sin (o , costù' -h i sin m'
de deux vectrices quelconques, on trouve pour produit
cos((o -h Cl)') -h i:sin((o -h co').
Le logarithme (w-r-w)* de ce produit est donc égal à la somme des logarithmes de ses facteurs.
De là les opérations graphiques suivantes :
Veut-on le produit des vectrices 0(C, C), 0(D, D') ^ Jig* 77), on l'obtient en faisant la somme
AOC/-4- AODiz=AOEi
de leurs logarithmes, puis en construisant la vectrice 0(E,E') qui répond à cette somme. De même, pour multiplier l'une par l'autre les vectrices OF, OG, il suffit de mener la corde AH parallèle à GF et la vectrice OH est le produit demandé. Enfin, si l'on se propose de multiplier la vectrice OG' par la vectrice 0(C, G'), il faut décrire, du point G comme centre, avec OG' pour rayon, l'arc de cercle G^ff répondant à l'angle au centre G'O^ =:= AOC, puis mener gh perpendiculaire sur le diamètre OG', et rabattre cette perpendiculaire suivant AL, AL', sur la direction conjuguée de ce diamètre, ce qui donne O (L, L') pour le produit cherché. Le produit de m vectrices toutes égales à cosw 4- «sinci> conduit à la formule de Moivre
(cosw •+- is[THsi)^=: cos/wcD -f- tsin/nb).
Cette formule montre que le logarithme de coso) + îsinw
étant (ùL celui de fcoso)
isino))'" est /nwi.
f"ig- 77-
Il suit de là que si Ton considère la progression géométrique
cosw-hisinco, C0S2CD -h isin2cD, ..., cosmto 4- «sin/wcD,
les logarithmes de ces termes forment la progression arithmétique
(ùl
nniii.
On prouve aisément du reste que la formule de Moivre comporte pour m des valeurs fractionnaires ou négatives. D'où la possibilité de remplacer les progressions précédentes par d'autres s'étendant de — 00 à 4- 00, et telles que la différence de deux termes consécutifs y soit moindre que toute valeur donnée.
l38 CHAPITRE IV.
L'ensemble des nouvelles progressions constitue le système de logarithmes népériens,
La veclrice ayant pour logarithme w :^ i prend le nom de base du système et se désigne par e. Sa valeur étant du reste cos — i -{- isin — «, on conclut des formules (i) et (2) trouvées plus haut (p. 126)
