III I

La formule de Moivre admet aussi pour m des valeurs imaginaires ou mixtes. Mais, avant de le faire voir, il importe de simplifier l'expression des angles et des logarithmes, puis de définir les puissances imaginaires de la vectrice ou du nombre qui l'exprime.

On a vu que l'angle, dans la circonférence, et le logarithme, dans l'hyperbole équilatère, ne changent de mode qu'avec leur tangente ou leur second côté.

C'est ainsi que/(a) etF(a) étant des valeurs respectives de l'angle et du logarithme dont la tangente est a, ces valeurs, par un changement de mode de celle-ci, deviennent l'une /(ai), l'autre F (ai).

On sait aussi que

i/{a) z=:F{ai). iF{a) =/(«/),

c'est-à-dire que multiplier un angle ou un logarithme par i, c'est convertir l'angle en logarithme ou le logarithme en angle, et passer de la circonférence à l'hyperbole équilatère, ou vice versa.

Mais, dès qu'on se borne à comparer entre eux les angles, d'une part, les logarithmes, de l'autre, on ne tarde pas à reconnaître qu'après avoir désigné l'angle /{a), ou le logarithme F (a), par w, on peut sans ambiguïté représenter symboliquement /(ai) ou F(ai) par o)i, ce qui ne laisse pas d'être avantageux.

Les considérations précédentes ne s'appliquent, il est vrai,

AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. iSq

qu'aux angles et aux logarithmes dont la tangente est moindre en valeur absolue que l'unité. Mais rien n'empêche de dire que les grandeurs quelconques de l'une et de l'autre espèce changent de mode avec leur tangente ou leur second côté; puis de désigner constamment par co et tùi deux angles ou logarithmes ayant des tangentes égales et de modes contraires.

Je crois devoir ajouter, au risque de m'écarter sur ce point de l'opinion commune, qu'élever une vectrice à la puissance i, c'est la convertir en une autre vectrice ayant pour logarithme le sien changé de mode, et que la même définition s'applique à la valeur de la vectrice.

Étant données, dans l'hyperbole équilatère de rayon OK = i{fig. 78),lesvectricesO(C,C'),0(a,C),OD,OD', on a donc par définition