C',C)=:OD
ÔÏ5 = 0(C, G).
Si l'on désigne l'angle AOG par w et cet angle changé de mode par o)?, ces égalités se traduisent en nombre par les suivantes
( cos 0) -h f sin o) )' :— ces 0) i -h i sin o) i\ (coswt -ht sincD «;)'=: cos — (o -h isin — w, ( cos — CD -h t sin — o) )' t= cos — cd t -h « sin — w /, (cos — (oi -h «sin — 0)1*)' =z cos(o H- isino).
La même figure donne encore pour l'angle AOE dont la tangente excède l'unité
0(E, E')z=0(G,G'), 0(G,G')'=zO(E,E), 0(E',E)'=0(^,^'),
0(^,é'')==0(E,EO,
l4o CHAPITRE IV.
relations conduisant à des formules analogues aux précédentes.
Si l'on suppose que le point (E, E') vienne se confondre
Fig. 78.
avec le sommet (B, B'), ces dernières égalités deviennent respectivement
0(B',B)rz:0(B,B'),
et se traduisent en nombres par
AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l4l
OU, plus simplement, par
fi r= =b iy
D'où il suit que i* et — fi ont pour logarithmes, Tune,
± -i; l'autre, =p-i. Nous aurons à revenir plus loin sur ces
résultats.
Élever une vectrice ou le nombre qui l'exprime à la puissance mi, c'est l'élever d'abord à la puissance m, puis à la puissance i, ou vice versa,
La valeur numérique de la vectrice étant cosw -j- tsino), on a, par suite,
(cosco -t- i sintu)'"' r=: {cosuii -h i sirnûi)'"^
= cosmwi -h i sinmoii.
La généralité de la formule de Moivre ne laisse donc plus rien à désirer, car les puissances mixtes d'un nombre quelconque ne sont autres que les produits de ses puissances réelles par ses puissances imaginaires.
Revenons maintenant au système de Néper, afin d'en simplifier autant que possible la construction géométrique.
Soit OA = ^'2 i^fig* 79 ) le rayon d'une hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes O^, Oy, et, par suite, ayant pour équation xy = i*.
D'après la valeur de OA, le demi-carré construit sur le rayon a pour aire Tunité, et chaque logarithme s'exprime par l'aire même du secteur qui lui correspond.
D'un autre côté, grâce au choix des axes, vectrices et brisées peuvent se remplacer par de simples abscisses.
En effet, si l'on prend sur la courbe les points quelconques (L,L'), M,(N,N'), et qu'on abaisse de ces points les perpendiculaires (L,L')X, MiA, (N,F) (v,v') sur OA; (L,U) (/,/'), M/n, (N,N') (n,/i') sur O^, il est évident que les brisées OX(L,U), O^aM,' 0(v,vO(N,N') sont à la fois les pro-
lil CHAPITRE IV.
duîtspary/2 des abscisses O (/,/'), O m, 0(/i,n'), et des brisées qui, dans l'hyperbole équilatère de rayon r = i, répondaient aux logarithmes AO(L,U), AOM, AO(N,N'). De là
FJg- 79
l'équivalence de ces dernières brisées et des abscisses correspondantes. En sorte qu'on a finalement
/.0(/,/')==A.O(L,U), /.Om = AOM,
Dans ce dernier cas, on peut admettre que les logarithmes
AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l43
AO(L,U), IV10(N,1N') soient équivalents : en sorte que, si l'on rabat SN suivant SP perpendiculaire à OM et qu'on tire OP, l'angle MOP soit égal à AOL.
Cela posé, prolongeant OM et /iN jusqu'à leur rencontre en Q, on a évidemment SP = SN = SQ. Mais les droites OS, SQ, OM sont par construction proportionnelles aux droites O5, sn, Ont. D'où il suit qu'en élevant à Ox la perpendiculaire srii =^ sn et tirant O/ii, on forme un triangle Osn^ semblable à OSP. Ce qui donne l'hypoténuse Orii =^ Om et l'angle sOn^ ^= AOL. Il est donc facile de passer de la vectrice 0(N,N') à la quantité géométrique Oa?i et réciproquement. Or, si Ton désigne Ont par p et sOfit par 0, la quantité géométrique 0/i< a pour valeur
p(cos6 -h /sin6).
Mais telle est aussi la valeur de Os(n^n^). De plus, en désignant par a l'angle MO:r, on voit que la brisée OS(N,N^)
s'exprime par — — (cos0-l- ^sinô). L'addition de pareilles
brisées serait facile aussi bien que leur multiplication.
Enfin, on pourrait encore tirer de ces mêmes brisées des quantités géométriques plus générales que celles de Robert Argand. Mais c'est assez insister sur ce point.
Étant donnée l'équation e^ = «, on trouve, en égalant les logarithmes des deux membres, x = La. Donc, le logarithme népérien d'une vectrice est l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir cette vectrice. hâfig, «jg donne par suite
^ l Or -h r/t =cosa) -f- rsinu) =ze^',
( Or-h r/'ti= coscD — ifsino) z=e-«^'
et l'on en conclut
g 0) I I ^ — (ai ^ e^^ e^^
coso) = , sino) izz : .
De même, le logarithme AOM = o) étant le produit par i de l'angle AO(M,M') = — (ùi, il vient
,- ( Os -\- sni^=z costùi — «sin(oï=:e^ ,
( 0.ç-h5/i't = cosa)t -r ïsina)t=: e~^,
d'où l'on tire
COSiû lz=z , Sm(ï)l= :
Ces relations s'étendent d'ailleurs aux angles ainsi qu'aux logarithmes mixtes.
Si, dans les formules (3) et (4), on remplace sinus et cosinus par leurs valeurs en fonction des angles qui leur correspondent, il vient
relations dont la seconde seule était démontrée.
La plupart des formules précédentes ont été calculées par Euler^ qui sut mettre fin à de longues discussions en prouvant que tout nombre possède une infinité de logarithmes népériens.
La Géométrie supérieure va nous conduire à la même conclusion, mais toujours en procédant avec plus de rigueur que l'Analyse, puisqu'elle n'a pas besoin, comme celle-ci, d'une foule de conventions pour étayer ses raisonnements.
Revenons, pour le faire voir, à l'hyperbole équilatère de rayon 0A=\/2. Soient xx\ y y' ses asymptotes; A, A', (B, B), (B',B) ses quatre sommets {fig- 8o).
La projection de OA sur O^ étant Oa = i, on voit d'abord que /. I = o. Mais, l'abscisse Oa restant invariable, le point générateur A peut, en devenant imaginaire, parcourir
une ou plusieurs fois la circonférence A(B, B^)A'. De là la possibilité d'accroître le logarithme népérien de Tunilé
Fig. 80.
réelle d'un multiple quelconque de l'aire iizi du cercle A A et d'écrire, en adoptant la notation de Cauchj,
/((l)) = 2Klt/,
K désignant un nombre entier quelconque ou zéro.
Comme la projection de OA'sur Ox est Oa' =:: — i, on voit pareillement que, pour aller de A en A', le point générateur de l'hyperbole doit parcourir d'abord la moitié de la circonférence A(B, B')A', puis une ou plusieurs fois cette même circonférence, et l'on en conclut
l46 CHAPITaE IV.
Les abscisses des sommets (B, B') et (B', B) étant O (a, a') = î, O (a', a) = — t, on en arrive de même aux formules
/((0)-(2K + i)7rt, /({-0) = (2K-l)7rï.
Enfin, comme toute droite passant par l'origine O coupe l'hyperbole équilatère en deux points dont l'abscisse peut être réelle, imaginaire ou mixte, il est facile d'en conclure que tout nombre possède une infinité de logarithmes népériens. Car, suivant que la droite en question est réelle ou radiée, les abscisses de ses points d'intersection avec l'hyperbole sont, d'une part, réelles ou imaginaires, comme
0/:=a, Om= — a, 0(/i,/i') = 6/, 0(/i',/i)=: — bi\
d'autre part, mixtes comme
O {p,p') = c-k-di.
Or, en raisonnant comme on vient de le faire, on trouve
aisément
l{{ — a)) — La -\-l {{ — !)).
l{{bi)) — Lb-\-l{{i)), l{{-bi)) = Lb-\-l({-i)), l ((c -+- di)) — l{c-\-di)-\-l ((i)) ,
et de même pour tout autre cas.
Il est une dernière question que le calcul semble impuissant à résoudre sans le secours de la Géométrie : c'est la détermination de i*.
Comme il est certain que
Euler ne fait pas difficulté d'en conclure
AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l47
et, par suite,
C'est étendre immédiatement la formule de Moivre aux puissances imaginaires des nombres, et la question, comme on l'a vu, n'est pas aussi facile à résoudre qu'elle le paraît au premier abord.
Vallès conteste, non sans raison, l'exactitude des deux dernières formules, puisqu'il en résulterait
:o; d'où
conséquence absurde, et qui ne saurait provenir que d'une fausse hypothèse. Mais il se contente d'interpréter géométriquement les symboles i', — i', sans en faire connaître la valeur.
Or, ainsi que je l'ai fait voir, les logarithmes népériens
des nombres i^ et — i^ sont respectivement d= - i, zp - i. Il
en résulte
et, si l'on applique à ces nouvelles formules le raisonnement de Vallès, on trouve, en prenant simultanément les signes supérieurs ou les signes inférieurs,
d'où
^ Il . TZ
e ^ -\- e ^ z=zo'
résultat exact.
Observons enfin qu'en appliquant aux segments droits la définition donnée plus haut des puissances imaginaires, on
l48 CHAPITRE IV.
a, par exemple (y?^;. 80),
0{p,p')^Ol',
Ol'=0{p',p).
d'où les formules symboliques suivantes :
dans lesquelles x, xi, — x, —xi représentent les logarithmes A.OL, AO(P,P j, AOL', AO (P',P), dont les tangentes forment un cycle complet.
Je n'entrerai pas dans de plus longs détails à propos des fonctions transcendantes. Mais on me permettra de clore ce Chapitre par quelques aperçus d'un de nos plus profonds géomètres sur le même sujet.
La théorie des angles considérée en elle-même, dit Poinsot ( ' ), n'appartient pas seulement à la Géométrie, comme on pourrait le croire d'abord; mais c'est encore une partie essentielle de l'Analyse mathématique. Ces quantités remarquables., ou plutôt ces rapports auxquels la Géométrie donne naissance et qu'on nomme les angles, se présentent en Algèbre, d'une manière aussi naturelle et aussi nécessaire que les exposants ou les logarithmes. Par leurs propriétés toutes semblables, elles en sont inséparables. Car si la division du logarithme en parties égales répond à l'extraction de la racine, d'une quantité réelle, la division de l'angle en parties égales répond de même à l'extraction de la racine d'une quantité imaginaire. Or, les quantités réelles et celles qu'on nomme imaginaires se présentent également toutes deux dans nos transformations analytiques; elles se mêlent,
( ') Poinsot, Bêche/ ches sur l'analyse des sections angulaires. Paris, 182S.
AIRES. — FONCTIONS TRANSCENDANTES. l4î>
pour ainsi dire, à tous nos calculs, et c'est même dans cette combinaison de symboles réels et d'imaginaires que consiste la nature propre de l'Algèbre. On voit donc que cette science, par l'exécution actuelle des opérations qu'elle indique, exige à la fois la considération des angles et celle des logarithmes.
Dans la vue d'abréger les calculs ordinaires de l'Arithmétique, les géomètres ont d'abord imaginé les logarithmes; et, par l'usage particulier de la Trigonométrie, ils ont ensuite construit des Tables de sinus. C'étaient en apparence deux objets différents qu'ils s'étaient proposés ; mais on voit qu'ils avaient travaillé, sans y songer, aux deux parties intégrales d'une seule et même théorie. Car une Table de logarithmes à laquelle ne serait pas jointe la Table des sinus serait une Table incomplète pour l'Analyse, l'une et l'autre n'en formant au fond qu'une seule dont elles sont comme les deux moitiés inséparables. A la vérité, ces Tables se trouvent réunies depuis longtemps pour la commodité des calculateurs; mais je veux dire que cette réunion, qui ne paraît due qu'à une sorte de convenance particulière, doit être aujourd'hui regardée comme tenant à la nature même de la science mathématique. Si l'on eût d'abord considéré les choses de ce point de vue général, comme il aurait paru tout aussi naturel et aussi facile d'opérer sur les imaginaires que sur les quantités réelles, les géomètres ne se seraient point arrêtés si longtemps à la considération de ces cas singuliers où les inconnues, quoique réelles, ne se présentent pourtant que sous la forme d'imaginaires, et il est très vraisemblable que le fameux cas irréductible n'eût pas môme été remarqué.
Je ne présente en passant ces réflexions que dans l'intérêt de la philosophie de la science, partie trop négligée par la plupart des auteurs et peut-être la plus digne d'être cultivée, car nos formules et nos théorèmes les plus remarquables sont bien moins utiles et moins précieux en eux-mêmes que cette sorte de métaphysique qui les éclaire et les domine, et qui seule peut rendre à l'esprit de nouvelles forces, quand il faut se conduire et s'avancer plus loin dans les sciences.
A part une délimitation factice entre la Géométrie et l'Algèbre, il me semble difficile de mieux penser comme de mieux dire.
