GÉOMÉTRIE DE L^ESPACE
La conception des points de modes contraires s'applique aussi bien à la Géométrie de l'espace qu'à la Géométrie plane. Il suffira, pour le faire voir, de quelques exemples.
Lorsqu'on se donne trois axes rectangulaires xx\ yy'^ zz\ ayant O pour commune origine {fig* 8i), la position d'un
Fig. 8i.
point réel quelconque de l'espace est déterminée par les droites positives ou négatives x^y^ z, qui forment ses coordonnées. Or, rien n'empêche de prendre pour valeurs de x^y^ z des segments droits, d'ailleurs réels, imaginaires ou mixtes. Dès lors, la position de tout point imaginaire de l'espace peut être aussi bien fixée que celle d'un point réel. C'est ainsi que le point quelconque (M, M) est déterminé
GÉOMÉTRIE DE l'ESPAGE. I^I
par les coordonnées rectangulaires
^=zO(P,F). / = (P,P') (Q,QO. z = {Q,Q')(M,M').
Ce mode de représentation est d'ailleurs compatible avec tous les changements d'axes en usage.
Comparée au plan a^y à l'aide de parallèles à l'axe des z, une surface s'exprime par une équation de la forme
les variables x, y^ z^ étant les coordonnées réelles, imaginaires ou mixtes d'un quelconque de ses points. Le degré de cette équation, lorsqu'elle est algébrique, égale le nombre des intersections de la surface donnée avec chacun des axes.
Commençons par étudier les surfaces du premier degré.
Le plan réel peut être engendré par une droite de même mode, glissant parallèlement à elle-même et rencontrant dans toutes ses positions une autre droite réelle appelée directrice, La droite mobile prend de son côté le nom de génératrice. Les points réels ou imaginaires des deux droites font partie du plan et l'équation de ce dernier est de la forme
Plx -+• Bj -H Cz H- D=: o,
les coefficients A, B, C, D étant tous réels.
Lorsqu'un plan réel se disjoint, ses composantes se séparent en restant parallèles. Ces composantes ne cessent pas de contenir celles de même ordre des figures renfermées dans le plan.
L'équation d'un plan réel disjoint ne diffère de celle du plan réel simple que par le mode du terme D, qui devient imaginaire ou mixte.
Un plan peut encore êlre radié.
Soient, pour le faire voir, L(M,M') (fig* 82) la tige d'une
droite radiée, AB une droite réelle perpendiculaire à son plan.
Si Ton admet que la droite AB se disjoigne, ses composantes peuvent, en glissant parallèlement à elles-mêmes, parcourir des chemins égaux, l'une sur LM, Tautre sur LM'. Elles engendrent alors deux composantes planes de même ordre qu'elles et qui forment la nappe radiée (M,M') AB.
Rien n'empêche ensuite qu'arrivée en (M, M') la droite
Fig. 82.
mobile engendre une nouvelle nappe radiée (N,N') (M, M') ayant ses composantes parallèles à celles d'ordre inverse de la première. D'où la possibilité de faire décrire à cçtte même droite une Infinité de nappes radiées répondant aux branches de la droite fixe L(M,M'). L'ensemble de toutes ces nappes prend le nom àe plan radié, La droite L(M, M') en est la directrice et la droite AB la génératrice.
Il reste à montrer que le plan radié, tel qu'on vient de le définir, s'exprime en coordonnées reclangulaires par une équation du premier degré à trois variables, dont les coefficients sont de mode quelconque.
A cet effet, soit A(B, B') {fig- 83) une radiée qui coupe l'axe des >5 en (B, B') et dont la tige ait, pour plus de simpli-
GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE.
cité, ses composantes AB, AB' symétriques par rapport au plan xy. Prenons cette radiée pour directrice et la droite réelle AG du plan xy pour génératrice d'un plan radié.
Fiff. 83.
Si Pon désigne OA par /i, OC par q^ les équations de la directrice A ( B, B') sont
z = mix H- n.
Celles de la génératrice, dans la position AC, sont pareillement
Enfin, lorsque cette génératrice, glissant parallèlement à elle-même, vient prendre la position (D, D') (E, E') déterminée par OP = a, P ( D, D') = 3^, ses équations deviennent
y z=i px -\- a.
Pour que la disjointe (D,D') (E, E') rencontre A(B,B'), il faut que leurs équations soient satisfaites par les mêmes valeurs des variables. De là l'équation de condition
l54 CHAPITRE V.
Eliminant alors a et ^i entre cette équation et celles de (D,D')(E,E'), on trouve
pz -h mi {y — px)=ipn
pour l'équation du plan proposé, et tout autre plan radié donnerait une équation du même genre.
Parmi les quadriques ou surfaces du second ordre, la plus importante est la sphère dont toutes les autres peuvent se déduire. Aussi l'étudierons-nous spécialement.
Soient OA, OB {/Ig' 84) deux circonférences réelles égales, ayant pour centre commun l'origine O des coordonnées, et comprises l'une dans le plan zx^ l'autre dans le plan xjr.
Prenons la première de ces courbes pour directrice et la seconde pour génératrice, mais à condition que cette dernière, tout en glissant parallèlement à elle-même, de telle sorte que son centre reste sur O^, ait constamment pour diamètre la corde correspondante de la directrice. Dans ce ce cas, sa première branche engendre entre A et A' une nappe sphérique dont tous les points sont réels et dont le rayon est OA = OB = r.
Soit CEDE' la position de cette première branche répondant à l'abscisse réelle x = OC <C OA.
Les coordonnées d'un point quelconque F de la courbe par rapport aux axes CD, CE étant Cf=y^ fF = z, on a, d'après les propriétés segmentaires de la circonférence,
y^-hz^ = CE .
Mais la directrice OA, de son côté, donne
Donc
GEOMETRIE DE l'ESPACE. 1^5
est l'équation par rapport aux axes choisis de la nappe sphérique AA'.
En continuant de s'éloigner du plan j^z, la première branche
Fig. 81.
de la génératrice finit par arriver en A où elle se réduit à ce point.
Lorsque le plan mobile dépasse le point A et que sa distance au centre de la sphère est ir= OG, par exemple, sa trace sur zx rencontre la directrice en un point imaginaire
(H,H')dont les composantes sont symétriques par rapport
a XX .
Étant donnée dans ce plan mobile la circonférence de centre G et de rayon G(H,H'), il est facile de voir que les
l56 CHAPITRE V. ,
coordonnées d'un point quelconque (L, U) de cette circonférence satisfont à Péquation de la sphère.
En effet, soient HH', RK' deux a\es rectangulaires pris dans le plan mobile ;jk= G(/, /'), z = {lj /')(L,U), les coordonnées du point (L, U) relativement à ces axes. On a, par hypothèse,
Mais la directrice donne
j?2 + GHi =r\ D'où
Or, d'après la loi qui règle ses variations, la première branche de la génératrice OB, dès qu'elle dépasse le point A, se transforme en une circonférence telle que G (H, H'). Elle engendre alors un hyperboloïde ayant pour directrice A(H,H') et dont tous les points ont leurs composantes symétriques par rapport à xx' , Mais, d'après ce qu'on vient de dire, les coordonnées de ces points vérifient l'équation de la sphère. D'où la possibilité de regarder Thyperboloïde en question comme une nappe imaginaire du lieu. Je l'appelle en conséquence une conjuguée sphérique du premier genre.
Outre sa branche réelle, la génératrice comporte, comme on sait, une infinité de branches imaginaires. Celles-ci, dans leurs transformations successives, engendrent autant d'hyperboloïdes à une nappe tangents à la sphère AA' suivant des circonférences de grand cercle. Chacun de ces hyperboloïdes peut d'ailleurs être considéré comme faisant partie du lieu. Car, la génératrice occupant la position CED, par exemple, les coordonnées y = C(m, m'), >5 = (/??, m') (M, M') d'un quelconque (M, M') de ses points donnent
j2+52- CE
GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. iSj
De là, par conséquent, une infinité de nouvelles conjuguées sphériques que j'appelle du second genre. Toutes ces conjuguées viennent d'ailleurs passer par le point A où la génératrice se réduit à une conique rectangle ; puis, après leur coïncidence avec cette dernière, elles ont pour enveloppe la conjuguée du premier genre A (H, H'\
Admettons maintenant qur, dans sa position initiale NBK', le plan de la génératrice se disjoigne et que ses nappes, tout en restant parallèles à yz^ viennent couper l'axe xx' l'une en C, l'autre en C, le point (0,(7) ayant ses composantes symétriques par rapport à l'origine O. Comme la trace sur zx du plan disjoint (C, C) rencontre la directrice en (P, F'), la génératrice OB se transforme en une circonférence réelle ayant pour centre (C,C') et pour rayon (C,C')(P,P') ouCP. Les coordonnées de ses points satisfont encore à l'équation delà sphère. De plus, en passant d'une position à l'autre, elle engendre d'une part une conjuguée du second genre ayant pour cercle de gorge NBN', d'autre part une infinité de conjuguées du premier genre répondant aux branches imaginaires du même cercle. Ces dernières ont chacune pour axe transverse le diamètre mené de l'origine des coordonnées à leurs points de contact avec la sphère AA' et les composantes de leurs points sont symétriques par rapport à cet axe. Exemple :
N'(Pi,P'i).
Revenons enfin à la position réelle quelconque CEDE' de la génératrice et soit E(R,R') la branche directrice passant par le point E. Si l'on mène (R,R') (r, r') perpendiculaire à xx\ on voit aisément que les coordonnées de tous les points de la circonférence mixte ayant pour centre (r, /') et pour rayon (r, r') (R, R') vérifient l'équation de la sphère. Lorsque le plan de la génératrice passe de C en (r,r'), la première branche CEDE' donne naissance à une nappe hyperboloïdale qu'on pourrait obtenir par la rotation de E(R, R) autour de xx' ,
l58 CHAPITRE V.
J'appelle cette nappe une conjuguée sphérique du troisième genre. En même temps, les conjuguées de la génératrice deviennent celles d'une circonférence mixte et décrivent une infinité de nappes ayant pour directrices les positions correspondantes de E(R,R'). Ces nappes qui, par leur mode de génération, se distinguent essentiellement de toutes celles que nous venons d'étudier, s'appellent conjuguées sphériques du quatrième genre. La nappe dont la directrice est E (R, R') et dont la génératrice est la conjuguée mixte (R,R') (S, S'), par exemple, appartient à cette nouvelle et dernière catégorie.
L'ensemble de la nappe sphérique AA' et de toutes ses conjuguées prend le nom de sphère réelle. Cette sphère a pour centre l'origine O des coordonnées et pour rayon
OA = r.
Si l'on remplace les circonférences réelles OA, OR, parles circonférences imaginaires 0( A, A'), 0(R,R'), sans que les conditions auxquelles la génératrice est soumise soient en rien modifiées, on obtient une sphère imaginaire dont les nappes sont les mêmes que celles de la sphère réelle sous le rapport de la forme et n'en diffèrent que par la disposition des composantes de leurs points.
C'est ainsi que, dans la nouvelle sphère, les points de la nappe qui remplace AA' ont leurs composantes symétriques par rapport au centre; que ceux de la nappe répondant à A(H, H') ont leurs x imaginaires au lieu d'être réels, leurs z réels au lieu d'être imaginaires, et ainsi de suite.
Enfin, lorsqu'on part d'une directrice et d'une génératrice mixtes, la sphère qu'elles engendrent est de même mode qu'elles, ses nappes peuvent encore se construire sans trop de difficulté; mais elles sont naturellement plus compliquées que celles des autres sphères.
L'équation d'une sphère quelconque ayant pour centre un
GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. i59
poîntdont les coordonnées rectangulaires x=a^y=^b^z^^c sont réelles, imaginaires ou mixtes, est d^ailleurs
Lorsque le rayon r, quel qu'en soit le mode, s'annule, la sphère se transforme en un cône rectangle imaginaire dont les nappes sont asymptotes aux siennes et dont le sommet est le centre.
Je crois avoir assez montré par ces exemples que l'emploi des points de modes contraires a son utilité pour les surfaces comme pour les lignes planes. Aussi, pour terminer cette étude, n'ai-je plus qu'à dire encore quelques mots des distances et des vectrices telles que je les ai définies pour le plan.
La distance de deux points de l'espace est le rayon de la sphère ayant l'un de ces points pour centre et passant par l'autre.
Si les points donnés ont pour coordonnées rectangulaires, l'un œ' ^ y\ z\ l'autre a:", y, ^\ leur distance S est donc fournie par la formule
La distance de deux points de l'espace peut toujours se construire à l'aide des coordonnées rectangulaires de ces points.
Soient, par exemple, Ox^ Oy, O^ {^fig* 85) trois axes rectangulaires; (M, M') un point quelconque de l'espace;
.r = 0(A,A'j, 7zn(A.,A')(B,B0, ^i= (B,B') (M, M').
les coordonnées de ce point.
Si l'on détermine la distance (A, A'j (M, M^) et qu'on rabatte cette distance suivant (A, A^) (m, m') perpendiculaire à Orc dans le plan zx^ il ne reste plus qu'à construire le ravon de la circonférence ayant pour centre le point O et passant
CBAPITBE T.
par 'iw, m yf^3nT obtenir la distance cherchée O ^M, M . En eflet, si l'on désigne par B la distance O in, «tz , il vient
= jf
L*an«;le de la distance O • M, M'; avec Taxe des x est d^ail-
Fîg. S5.
leurs celui de la droite O (/n, m') avec ce même axe. En sorte qu'en désignant cet angle par a, on a
X =L(i ces 7..
On peut remarquer aussi que les distances de l'origine O à tous les points de la circonférence de centre (A, A') et de rayon (A, A) (m, nî) sont égales entre elles et qu'ayant chacune O (A, A) pour projection sur Ox, elles font toutes avec cet axe le même angle a.
Désignant par g, y les angles que la distance 0(M, M') fait avec Oj', O5, on a de même
et, par suite,
j=rocosp, >s=:z8cosy;
=:z 8- (cos^a -h cos'f -h cos-y)
GEOMETRIE DE L ESPACE. l6l
quelles que soient les valeurs de S et des angles a, g, y. On en conclut, du reste,
ces' a 4- cos-p4-cos'Y=:3 i,
comme dans le cas d'angles réels.
Si l'on projette sur O (M, M') la brisée
0(A,A')(B,B')(M,M'), il vient
8 = ^ cos.a -h / ces ^ -h z ces y ;
et cette dernière formule permet de trouver l'angle de deux distances quelconques issues de O.
Rapportée à trois diamètres rectangulaires, la sphère réelle, imaginaire ou mixte se transforme, par le changement de mode de ses z^ en un hyperboloïde équilatère de même rayon ; et, si l'équation de l'une est
celle de l'autre est
Tout segment rectiligne mené du centre de l'hyperboloïde équilatère à l'un de ses points conserve le nom de vectrice.
Les coordonnées rectangulaires d'un point quelconque M de l'espace étant
a7rz:0A = a, jizrAB = ^, ^z=iBM = c
{fig, 86), la distance OM de l'origine à ce point est, comme on sait, donnée par la formule
8 = \Jx^ -t- 7* -t- ^^
z=L\Ja^-\-b'-\-c'.
La direction OM est fournie par les angles a, g, y, qu'elle fait avec les axes. Mais on peut la déterminer encore d'une autre façon.
En effet, la sphère de centre O et de rajon Oq = i, coupant OM en m, Oz en /?, et les planes xz^ xy, jsOM, suivant les grands cercles pq^ qr, pSj il suffit de connaître la longitude qOs = 'kella. latitude s O m = 8 du point M pour en conclure la direction OM.
Dès qu'on multiplie BM = c par i, le point M se trans-
Fig. 86.
yy
forme en un point imaginaire ( M, M) et le segment rectiligne OM en une vectrice O (M, M) dont le module est
^'-\-b^ -Cl
Comme le point (M, M^) ne cesse pas d'avoir pour longitude X et que sa latitude devient ^0 (m, /n')=:6i, la vectrice O (M, M') est déterminée, d'un côté, par cette longitude et de l'autre par la relation
0(M,MO = OB-hBMi
:= p (cosô -h isinô).
GÉOMÉTRIE DE l'ESPAGE. i63
La vectrice unité O (/w, m!) a de même pour longitude X et pour mesure
O (w, m') =1: cos6 4- t sinô.
Il est bon d'ajouter que, lorsque la distance Ont devient la vectrice O (m, m'), Tangie grOm se transforme en un logarithme qO {m^m') et que celui-ci peut être considéré comme la somme X -i- 61 de la longitude et de la latitude du point (m, m').
L'addition des vectrices de l'espace consiste à les composer cînématiquement comme on l'a fait pour les vectrices coplanaires.
Le produit de deuK vectrices de l'espace s'obtient en effectuant la somme de leurs longitudes et celle de leurs latitudes, puis en affectant celle-ci du produit de leurs modules.
Si Ton rapporte l'hyperboloïde équilatère non plus à ses axes, mais à trois diamètres conjugués quelconques, les conclusions précédentes n'en subsistent pas moins. Les propriétés des brisées rectangles s'étendent donc aux brisées obliques et les vectrices qui répondent aux unes comme aux autres sont susceptibles des mêmes opérations.
Dans toute expression de la forme p(cosO H- isin6), le géomètre anglais Hamilton voit deux parties entièrement distinctes, l'une algébrique pcos6, l'autre purement symbolique ip sinO. Il substitue d'ailleurs à cette dernière le trinôme ai + bj 4- c/:, formé d'une part des constantes a, 6,c, d'autre part des symboles i^j\kj assujettis à certaines règles conventionnelle, set crée de la sorte une Algèbre symbolique n'offrant plus, du moins en apparence, que des analogies lointaines avec la science de l'étendue.
\ Je vais essayer de prouver que la manière de procéder
d'Hamilton se rattache directementàla Géométrie cartésienne. Mais, pour ne pas modifier la signification précise que
l64 CHAPITRE V.
j'attache à la lettre i, je remplacerai, dans ce qui va suivre, les variables tj/jA", d'Hamilton, par les variables y, A*, /.
Soit d'abord OA=rr i {fig. 87) le rayon d'une hyperbole équilatère coupant en (B, B') l'axe Oy perpendiculaire à OA.
Lorsque le point A, devenant imaginaire, décrit la branche circulaire A(B, B') de l'hyperbole proposée, le segment OA
Fig. 87.
se transforme successivement en 0(M, M'), 0(N, N'), puis, enfin, en 0(B, B'). Or, de même que le produit des vec triées 0(M, M'), 0(N, N') s'obtient en faisant la somme de leurs logarithmes, de même le produit de OA par 0(B, B') a pour
logarithme o -\ i et par suite égale 0(B, B'). On voit
pareillement que le produit de OA par 0(B, B') ayant pour logarithme o -\-%i n'est autre que OA' = — i .
Observons enfin que les considérations précédentes s'appliquent encore au cas où, l'axe Oy étant quelconque, la circonférence A(B, B') se transforme en une ellipse hyperbolique.
Cela posé, soient aa/, PP', yy' ^fig* ^8) trois axes ayant O pour origine et que, pour plus de simplicité, nous supposerons rectangulaires.
Portons respectivement sur chacun d'eux les segments
